שאלון 35571 — קיץ מועד א׳ 2023

8 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · הסתברות

   במכללה ערכו משאל שבו השתתפו כל תלמידי שנה א' וכל תלמידי שנה ב', בלי נמנעים. 80% מן המשתתפים שבעד ההצעה הם תלמידי שנה א', ומספר תלמידי שנה א' שבעד ההצעה שווה למספר תלמידי שנה ב' שנגד ההצעה. בחרו באקראי אחד מתלמידי שנה ב'. מהי ההסתברות שהוא נגד ההצעה?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נסמן: A₁ תלמידי שנה א' בעד, B₁ תלמידי שנה ב' בעד, B₂ תלמידי שנה ב' נגד
   2. 80% מן התומכים הם שנה א': A₁ = 0.8(A₁ + B₁)
   3. 0.2A₁ = 0.8B₁ ומכאן A₁ = 4B₁
   4. נתון גם A₁ = B₂, ולכן B₂ = 4B₁
   5. מספר תלמידי שנה ב' הוא B₁ + B₂ = 5B₁
   6. P(נגד | שנה ב') = 4B₁ / 5B₁ = 0.8

   תשובה: 0.8

2. שאלה 2 · הסתברות

   במשאל, ההסתברות שתלמיד שנה ב' הוא בעד ההצעה היא 0.2. ידוע כי ההסתברות שתלמיד שנבחר מבין תלמידי שנה א' הוא בעד ההצעה גדולה ב-13/35 מן ההסתברות המקבילה בשנה ב'. נסמן ב-p את ההסתברות לבחור באקראי תלמיד שבעד ההצעה מכלל המשתתפים. חשבו את p.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. P(בעד | שנה ב') = 1/5
   2. P(בעד | שנה א') = 1/5 + 13/35 = 7/35 + 13/35 = 20/35 = 4/7
   3. נסמן B₁ = k, ואז A₁ = 4k ו-B₂ = 4k
   4. מכיוון ש-A₁/(A₁ + A₂) = 4/7, ואם A₁ = 4k אז סך שנה א' הוא 7k
   5. לכן A₂ = 3k (שנה א' נגד)
   6. סך המשתתפים: 4k + 3k + k + 4k = 12k
   7. סך התומכים: A₁ + B₁ = 4k + k = 5k
   8. p = 5k / 12k = 5/12

   תשובה: p = 5/12 ≈ 0.417

3. שאלה 3 · הסתברות

   במשאל: תלמידי שנה א' בעד 4k, שנה א' נגד 3k, שנה ב' בעד k, שנה ב' נגד 4k. בחרו באקראי אחד מן המשתתפים. חשבו את ההסתברות שמתקיים לפחות אחד משני התנאים: המשתתף הוא תלמיד שנה ב', או שהוא בעד ההצעה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נעבור למאורע המשלים: לא שנה ב' וגם לא בעד
   2. כלומר תלמיד שנה א' שנגד ההצעה
   3. מספרם: 3k מתוך 12k
   4. P(המשלים) = 3k/12k = 1/4
   5. P(המבוקש) = 1 − 1/4
   6. = 3/4

   תשובה: 3/4

4. שאלה 4 · הסתברות

   בוחרים באקראי 5 מן המשתתפים במשאל, וידוע שכולם תלמידי שנה ב'. ההסתברות שתלמיד שנה ב' הוא בעד ההצעה היא 0.2. מהי ההסתברות שלפחות שניים מהם בעד וגם לפחות שניים מהם נגד?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מבין 5 תלמידים, "לפחות 2 בעד וגם לפחות 2 נגד" פירושו 2 או 3 בעד
   2. זו התפלגות בינומית עם n = 5 ו-p = 0.2
   3. P(2 בעד) = C(5,2)·0.2²·0.8³ = 10 · 0.04 · 0.512 = 0.2048
   4. P(3 בעד) = C(5,3)·0.2³·0.8² = 10 · 0.008 · 0.64 = 0.0512
   5. המקרים זרים, ולכן מחברים
   6. P = 0.2048 + 0.0512 = 0.256

   תשובה: 0.256

5. שאלה 5 · גיאומטריה

   הנקודות A, B ו-C על מעגל, והנקודה E היא אמצע הקשת BC. בנקודה E מעבירים משיק למעגל החותך את המשך המיתר AB בנקודה G. הוכיחו כי המשולשים AGE ו-AEC דומים.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. הזווית ב-A משותפת לשני המשולשים (הזווית GAE היא הזווית EAC)
   2. הזווית בין המשיק GE למיתר EB שווה לזווית ההיקפית הנשענת על הקשת EB מן הצד השני
   3. E היא אמצע הקשת BC, ולכן הקשתות BE ו-EC שוות
   4. זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות — שוות זו לזו
   5. מכאן שהזווית AGE שווה לזווית AEC
   6. שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן המשולשים דומים לפי ז.ז

   תשובה: המשולשים דומים לפי ז.ז

6. שאלה 6 · גיאומטריה

   במעגל, המשולשים AGE ו-AEC דומים. נתון AG = 6 ו-AE = 6√3. חשבו את אורך המיתר AC.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מן הדמיון: AG/AE = AE/AC
   2. כלומר AE² = AG · AC
   3. (6√3)² = 6 · AC
   4. 108 = 6 · AC
   5. AC = 18

   תשובה: AC = 18

7. שאלה 7 · טריגונומטריה

   נתון מעוין ABCD, והנקודה E היא אמצע הצלע BC. נסמן ב-x את הזווית BCD. שטח המשולש ECD הוא 18. הביעו באמצעות x את אורך צלע המעוין.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נסמן ב-a את אורך צלע המעוין. במעוין כל הצלעות שוות
   2. E אמצע BC, ולכן EC = a/2
   3. CD = a, והזווית ביניהן היא x
   4. שטח משולש: S = ½ · EC · CD · sin x
   5. 18 = ½ · (a/2) · a · sin x = a²·sin x / 4
   6. a² = 72/sin x
   7. a = √(72/sin x)

   תשובה: a = √(72/sin x)

8. שאלה 8 · טריגונומטריה

   במעוין ABCD, הנקודה E היא אמצע BC, הזווית BCD היא x, ושטח המשולש ECD הוא 18. חשבו את האורך המינימלי של הקטע DE.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. לפי משפט הקוסינוסים במשולש ECD: DE² = EC² + CD² − 2·EC·CD·cos x
   2. DE² = a²/4 + a² − a²·cos x = a²(5/4 − cos x)
   3. נציב a² = 72/sin x: DE² = 72(1.25 − cos x)/sin x
   4. נגזור לפי x ונשווה לאפס
   5. הנגזרת מתאפסת כאשר cos x = 0.8, כלומר x ≈ 36.87°
   6. נציב: DE² = 72(1.25 − 0.8)/0.6 = 72 · 0.45 / 0.6 = 54
   7. DE = √54 = 3√6 ≈ 7.35

   תשובה: 3√6 ≈ 7.35, המתקבל כאשר cos x = 0.8