שאלון 35571 — קיץ מועד א׳ 2022

15 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · סדרות

   הוכיחו כי לכל n טבעי הביטוי 4ⁿ − 1 מתחלק ב-3 ללא שארית.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נוכיח באינדוקציה. שלב הבדיקה: עבור n = 1 מתקבל 4 − 1 = 3, שמתחלק ב-3 ללא שארית
   2. הנחת האינדוקציה: נניח שעבור n = k הביטוי (4^k − 1)/3 הוא מספר שלם
   3. שלב הצעד: נבחן את (4^(k+1) − 1)/3 = (4 · 4^k − 1)/3
   4. נוסיף ונחסיר 4: (4 · 4^k − 4 + 3)/3 = 4(4^k − 1)/3 + 1
   5. המחובר הראשון שלם לפי הנחת האינדוקציה, והמחובר השני הוא 1
   6. לכן הסכום שלם, כלומר 4^(k+1) − 1 מתחלק ב-3
   7. לפי אקסיומת האינדוקציה הטענה נכונה לכל n טבעי

   תשובה: הטענה נכונה לכל n טבעי

2. שאלה 2 · סדרות

   מצאו דוגמה לערך p שעבורו הביטוי 4^(n+1) + p מתחלק ב-12 ללא שארית לכל n טבעי.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נכתוב את הביטוי כ-(4^(n+1) + p)/12
   2. נוסיף ונחסיר 4: (4^(n+1) − 4 + 4 + p)/12 = 4(4ⁿ − 1)/12 + (4 + p)/12
   3. המחובר הראשון הוא (4ⁿ − 1)/3, שהוא שלם לפי הסעיף הקודם
   4. כדי שהסכום כולו יהיה שלם, צריך ש-(4 + p)/12 יהיה שלם
   5. עבור p = 8 מתקבל 12/12 = 1, שהוא שלם
   6. בדיקה: n = 1 נותן 16 + 8 = 24 = 12 · 2, ו-n = 2 נותן 64 + 8 = 72 = 12 · 6

   תשובה: p = 8

3. שאלה 3 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקציה f(x) = (2 − 1/x)³. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת האסימפטוטה האופקית שלה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. תחום ההגדרה: המכנה 1/x מחייב x ≠ 0
   2. לבדיקת האסימפטוטה האופקית נחשב את הגבול כאשר x שואף לאינסוף
   3. כאשר x שואף לאינסוף, הביטוי 1/x שואף ל-0
   4. לכן הביטוי בסוגריים שואף ל-2
   5. ומכאן f(x) שואף ל-2³ = 8
   6. אותו חישוב מתקבל גם כאשר x שואף למינוס אינסוף, לכן y = 8 היא אסימפטוטה אופקית משני הצדדים

   תשובה: תחום ההגדרה x ≠ 0, אסימפטוטה אופקית y = 8

4. שאלה 4 · הסתברות

   נטע משחקת משחק שבו ההסתברות שתפסיד היא p, וההסתברות שתנצח היא 3p. ידוע שאם היא משחקת שני משחקים בזה אחר זה, ההסתברות שתנצח לפחות במשחק אחד היא 4.5p. מצאו את p.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. המאורע המשלים ל-"תנצח לפחות במשחק אחד" הוא "לא תנצח באף אחד משני המשחקים"
   2. ההסתברות לא לנצח במשחק בודד היא 1 − 3p
   3. לכן ההסתברות לא לנצח בשני המשחקים היא (1 − 3p)²
   4. נקבל את המשוואה 1 − 4.5p = (1 − 3p)²
   5. נפתח את האגף הימני: 1 − 4.5p = 1 − 6p + 9p²
   6. נעביר אגפים: 1.5p = 9p²
   7. נחלק ב-p, שהוא שונה מאפס: 1.5 = 9p
   8. לכן p = 1.5/9 = 1/6

   תשובה: p = 1/6

5. שאלה 5 · הסתברות

   ההסתברות שנטע תנצח במשחק היא 0.5. נטע שיחקה חמישה משחקים בזה אחר זה. מהי ההסתברות שתנצח בשלושה משחקים לפחות?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מדובר בהתפלגות בינומית עם n = 5 ו-p = 0.5
   2. "שלושה לפחות" פירושו שלושה, ארבעה או חמישה ניצחונות
   3. P(3) = C(5,3) · 0.5³ · 0.5² = 10 · 0.5⁵ = 10/32
   4. P(4) = C(5,4) · 0.5⁴ · 0.5 = 5 · 0.5⁵ = 5/32
   5. P(5) = C(5,5) · 0.5⁵ = 1 · 0.5⁵ = 1/32
   6. הסכום הוא (10 + 5 + 1)/32 = 16/32 = 0.5

   תשובה: 0.5

6. שאלה 6 · הסתברות

   ההסתברות שנטע תפסיד במשחק היא 1/6. נטע שיחקה חמישה משחקים. מהי ההסתברות שלא תפסיד באף משחק?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. ההסתברות לא להפסיד במשחק בודד היא 1 − 1/6 = 5/6
   2. המשחקים בלתי תלויים זה בזה
   3. לכן ההסתברות לא להפסיד בכל חמשת המשחקים היא (5/6)⁵
   4. (5/6)⁵ = 5⁵/6⁵ = 3125/7776
   5. בקירוב עשרוני זה כ-0.4019

   תשובה: 3125/7776

7. שאלה 7 · סדרות

   נתונה סדרה הנדסית מתכנסת שאיברה הראשון 32 ומנתה 1/3. מצאו את סכום כל האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. האיברים במקומות הזוגיים הם b₂, b₄, b₆ וכן הלאה
   2. היחס בין כל שני איברים עוקבים בסדרה החדשה הוא q² = (1/3)² = 1/9
   3. לכן גם הסדרה הזו הנדסית, ומנתה 1/9
   4. האיבר הראשון שלה הוא b₂ = 32 · (1/3) = 32/3
   5. מכיוון ש-1/9 קטן מ-1 הסדרה מתכנסת, ונשתמש בנוסחת הסכום
   6. S = (32/3)/(1 − 1/9) = (32/3)/(8/9)
   7. = (32/3) · (9/8) = 12

   תשובה: 12

8. שאלה 8 · סדרות

   נתונה סדרה הנדסית מתכנסת שאיברה הראשון 32 ומנתה 1/3. מצאו את סכום כל האיברים שנמצאים במקומות המתחלקים ב-5.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. האיברים המבוקשים הם b₅, b₁₀, b₁₅ וכן הלאה
   2. היחס בין כל שניים עוקבים בסדרה החדשה הוא q⁵ = (1/3)⁵ = 1/243
   3. לכן הסדרה החדשה הנדסית ומתכנסת, שהרי 1/243 קטן מ-1
   4. האיבר הראשון שלה הוא b₅ = 32 · (1/3)⁴ = 32/81
   5. S = (32/81)/(1 − 1/243) = (32/81)/(242/243)
   6. = (32/81) · (243/242) = (32 · 3)/242 = 96/242
   7. נצמצם ב-2: 48/121

   תשובה: 48/121

9. שאלה 9 · סדרות

   בסדרה הנדסית מתכנסת שמנתה 1/3, מצאו את היחס בין האיבר החמישי לבין סכום כל האיברים שאחריו.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. סכום כל האיברים שאחרי האיבר החמישי הוא סכום סדרה הנדסית מתכנסת שאיברה הראשון b₆
   2. לכן הסכום הוא b₆/(1 − q)
   3. היחס המבוקש הוא b₅ חלקי b₆/(1 − q)
   4. = b₅ · (1 − q)/b₆
   5. מכיוון ש-b₆ = b₅ · q, נקבל (1 − q)/q
   6. נציב q = 1/3: (1 − 1/3)/(1/3) = (2/3)/(1/3) = 2
   7. שימו לב שהתוצאה אינה תלויה באיבר עצמו אלא רק במנה, ולכן היחס הזה זהה לכל איבר בסדרה

   תשובה: 2

10. שאלה 10 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = 2x + 2/x. מצאו את תחום ההגדרה, את שיעורי נקודות הקיצון ואת סוגן.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. תחום ההגדרה: המכנה מחייב x ≠ 0
    2. הנגזרת: f'(x) = 2 − 2/x²
    3. נאחד למכנה משותף: f'(x) = 2(x² − 1)/x²
    4. נשווה לאפס: x² − 1 = 0, כלומר x = 1 או x = −1
    5. f(1) = 2 + 2 = 4, ולכן הנקודה היא (1, 4)
    6. f(−1) = −2 − 2 = −4, ולכן הנקודה היא (−1, −4)
    7. המכנה x² חיובי תמיד, ולכן סימן הנגזרת נקבע לפי x² − 1
    8. עבור x מעט גדול מ-1 הנגזרת חיובית ועבור x מעט קטן מ-1 היא שלילית, לכן (1, 4) היא מינימום
    9. באופן דומה (−1, −4) היא מקסימום

    תשובה: תחום ההגדרה x ≠ 0, מינימום ב-(1, 4), מקסימום ב-(−1, −4)

11. שאלה 11 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = 2x + 2/x, ונתונה g(x) = f(x) · f'(x). חשבו את השטח הכלוא בין גרף g וציר ה-x בתחום שבין x = 1 ל-x = 4, ובין x = −4 ל-x = −1.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נשים לב ש-f(x) · f'(x) היא בדיוק הנגזרת של f²(x)/2
    2. לכן הפונקציה הקדומה של g היא f²(x)/2
    3. בתחום מ-1 עד 4: נציב f(4) = 8 + 0.5 = 8.5, ולכן f²(4)/2 = 72.25/2 = 36.125
    4. f(1) = 4, ולכן f²(1)/2 = 16/2 = 8
    5. השטח בתחום הזה הוא 36.125 − 8 = 28.125
    6. מהסימטריה של הפונקציה, השטח בתחום מ-−4 עד −1 שווה בערכו המוחלט ל-28.125
    7. סך השטח הוא 28.125 + 28.125 = 56.25

    תשובה: 56.25

12. שאלה 12 · טריגונומטריה

    נתונה הפונקציה f(x) = (2cos²x + sin2x)/(2cosx) בתחום שבין 0 ל-2π. פשטו את הביטוי ומצאו את תחום ההגדרה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נשתמש בזהות sin2x = 2sinx · cosx
    2. המונה הופך ל-2cos²x + 2sinx · cosx
    3. נוציא גורם משותף 2cosx: המונה הוא 2cosx(cosx + sinx)
    4. נצמצם עם המכנה 2cosx ונקבל f(x) = cosx + sinx
    5. הצמצום חוקי רק כאשר cosx שונה מאפס
    6. בתחום שבין 0 ל-2π הפונקציה cosx מתאפסת ב-x = π/2 וב-x = 3π/2
    7. לכן שתי הנקודות האלה מוצאות מתחום ההגדרה

    תשובה: f(x) = cosx + sinx, תחום ההגדרה כל התחום פרט ל-x = π/2 ו-x = 3π/2

13. שאלה 13 · טריגונומטריה

    נתונה הפונקציה f(x) = cosx + sinx בתחום שבין 0 ל-2π. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. לחיתוך עם ציר ה-x נציב y = 0: cosx + sinx = 0
    2. נעביר אגף: sinx = −cosx
    3. נחלק ב-cosx כאשר הוא שונה מאפס: tanx = −1
    4. הפתרון הבסיסי הוא x = −π/4, והפתרון הכללי x = −π/4 + πk
    5. בתחום שבין 0 ל-2π מתקבלים x = 3π/4 ו-x = 7π/4
    6. לחיתוך עם ציר ה-y נציב x = 0: f(0) = cos0 + sin0 = 1 + 0 = 1
    7. לכן נקודת החיתוך היא (0, 1)

    תשובה: עם ציר ה-x בנקודות 3π/4 ו-7π/4, ועם ציר ה-y בנקודה (0, 1)

14. שאלה 14 · טריגונומטריה

    נתונה הפונקציה f(x) = cosx + sinx בתחום שבין 0 ל-2π. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון הפנימיות ואת סוגן.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הנגזרת: f'(x) = −sinx + cosx
    2. נשווה לאפס: cosx = sinx
    3. נחלק ב-cosx: tanx = 1
    4. בתחום הנתון מתקבלים x = π/4 ו-x = 5π/4
    5. f(π/4) = √2/2 + √2/2 = √2
    6. f(5π/4) = −√2/2 − √2/2 = −√2
    7. הנגזרת השנייה היא f''(x) = −cosx − sinx
    8. f''(π/4) = −√2, שלילית, ולכן (π/4, √2) היא נקודת מקסימום
    9. f''(5π/4) = √2, חיובית, ולכן (5π/4, −√2) היא נקודת מינימום

    תשובה: מקסימום ב-(π/4, √2) ומינימום ב-(5π/4, −√2)

15. שאלה 15 · טריגונומטריה

    נתונה הפונקציה f(x) = cosx + sinx. חשבו את השטח הכלוא בין גרף הנגזרת f'(x) לבין ציר ה-x בתחום שבין x = 3π/4 ל-x = 5π/4.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. האינטגרל של הנגזרת בתחום נתון שווה להפרש ערכי הפונקציה בקצוות
    2. בתחום שבין 3π/4 ל-5π/4 הפונקציה f יורדת, ולכן הנגזרת שלילית והגרף מתחת לציר
    3. לכן השטח הוא ערך מוחלט של ההפרש
    4. f(5π/4) = −√2/2 − √2/2 = −√2
    5. f(3π/4) = −√2/2 + √2/2 = 0
    6. ההפרש הוא −√2 − 0 = −√2
    7. השטח הוא הערך המוחלט: √2, בקירוב 1.41

    תשובה: √2