שאלון 35571 — קיץ מועד א׳ 2024

22 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · סדרות

   הוכיחו באינדוקציה מתמטית כי לכל n טבעי מתקיים 4 + 13 + ... + (5n² + 3n)/2 = n(n+1)(5n+7)/6.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שלב הבדיקה: עבור n = 1 אגף שמאל הוא (5 + 3)/2 = 4
   2. אגף ימין: 1 · 2 · 12 / 6 = 4 ✓
   3. הנחת האינדוקציה: נניח שהטענה נכונה עבור n = k, כלומר הסכום שווה k(k+1)(5k+7)/6
   4. שלב הצעד: נוסיף את האיבר הבא, (5(k+1)² + 3(k+1))/2 = (5k² + 13k + 8)/2
   5. k(k+1)(5k+7)/6 + (5k² + 13k + 8)/2
   6. נפרק: 5k² + 13k + 8 = (k+1)(5k+8)
   7. = (k+1)[k(5k+7) + 3(5k+8)]/6 = (k+1)(5k² + 22k + 24)/6
   8. נפרק שוב: 5k² + 22k + 24 = (k+2)(5k+12)
   9. = (k+1)(k+2)(5k+12)/6, וזהו בדיוק אגף ימין עבור n = k+1
   10. לפי אקסיומת האינדוקציה הטענה נכונה לכל n טבעי

   תשובה: הטענה נכונה לכל n טבעי

2. שאלה 2 · סדרות

   נתונה סדרה הנדסית A שאיברה הראשון הוא 1 ומנתה q מקיימת ‎−1 < q < 0. בונים סדרה חדשה B שאיברה הכללי הוא bₙ = aₙ · a₍ₙ₊₂₎. הוכיחו כי B היא סדרה הנדסית ומצאו את מנתה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נחשב את היחס בין שני איברים עוקבים
   2. b₍ₙ₊₁₎/bₙ = (a₍ₙ₊₁₎ · a₍ₙ₊₃₎) / (aₙ · a₍ₙ₊₂₎)
   3. a₍ₙ₊₁₎/aₙ = q וגם a₍ₙ₊₃₎/a₍ₙ₊₂₎ = q
   4. b₍ₙ₊₁₎/bₙ = q · q = q²
   5. היחס קבוע ואינו תלוי ב-n, לכן B הנדסית ומנתה q²
   6. q שלילי, לכן q² חיובי — כל איברי B חיוביים

   תשובה: B הנדסית ומנתה q²

3. שאלה 3 · סדרות

   נתונה סדרה הנדסית A שאיברה הראשון 1 ומנתה q מקיימת ‎−1 < q < 0. נתונה גם B שמנתה q² וכל איבריה חיוביים. קבעו לגבי כל טענה אם היא נכונה: (I) הסדרה A אינה עולה ואינה יורדת. (II) הסדרה B עולה. (III) האיברים במקומות הזוגיים ב-A יוצרים סדרה עולה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. (I) המנה שלילית, לכן האיברים מחליפים סימן לסירוגין
   2. סדרה שמחליפה סימן אינה עולה ואינה יורדת ← הטענה נכונה
   3. (II) מנת B היא q², ומאחר ש-‎−1 < q < 0 מתקיים 0 < q² < 1
   4. מנה בין 0 ל-1 עם איברים חיוביים ← הסדרה יורדת ← הטענה אינה נכונה
   5. (III) המקומות הזוגיים ב-A: היחס ביניהם הוא a₍ₙ₊₂₎/aₙ = q², כלומר 0 < q² < 1
   6. האיברים במקומות הזוגיים שליליים, והכפלה בגורם בין 0 ל-1 מקרבת אותם לאפס
   7. כלומר הם גדלים ← הטענה נכונה

   תשובה: I נכונה, II אינה נכונה, III נכונה

4. שאלה 4 · סדרות

   בסדרה הנדסית A האיבר הראשון הוא 1 והמנה q מקיימת ‎−1 < q < 0. הסדרה B שאיברה הכללי bₙ = aₙ · a₍ₙ₊₂₎ היא אין-סופית וסכומה 1/8. מצאו את q.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. b₁ = a₁ · a₃ = 1 · q² = q²
   2. מנת B היא q², ולכן S = b₁/(1 − q²)
   3. q²/(1 − q²) = 1/8
   4. 8q² = 1 − q²
   5. 9q² = 1 → q² = 1/9
   6. q = ±1/3, והתנאי ‎−1 < q < 0 מותיר q = −1/3

   תשובה: q = −1/3

5. שאלה 5 · סדרות

   נתונות סדרה הנדסית A עם a₁ = 1 ו-q = −1/3, וסדרה B עם bₙ = aₙ · a₍ₙ₊₂₎. נתונה סדרה שלישית C שאיברה הכללי הוא cₙ = aₙ/bₙ. מצאו את המנה של C ואת האיבר הראשון שלה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. c₍ₙ₊₁₎/cₙ = (a₍ₙ₊₁₎/aₙ) · (bₙ/b₍ₙ₊₁₎)
   2. = q · (1/q²) = 1/q
   3. 1/(−1/3) = −3, ולכן מנת C היא ‎−3
   4. c₁ = a₁/b₁ = 1/q² = 1/(1/9) = 9

   תשובה: מנה ‎−3 , c₁ = 9

6. שאלה 6 · סדרות

   בסדרה הנדסית C האיבר הראשון הוא 9 והמנה ‎−3. נתון כי הסכום c₃ + c₄ + ... + c_m שווה ל-44,307. מצאו את m.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. הסכום מתחיל מ-c₃, ולכן יש בו m − 2 איברים
   2. c₃ = 9 · (−3)² = 81
   3. S = c₃((−3)^(m−2) − 1)/(−3 − 1) = 44,307
   4. 81((−3)^(m−2) − 1)/(−4) = 44,307
   5. (−3)^(m−2) − 1 = −2,188
   6. (−3)^(m−2) = −2,187 = (−3)⁷
   7. m − 2 = 7 → m = 9

   תשובה: m = 9

7. שאלה 7 · הסתברות

   בחידון חמש שאלות, וההסתברות לענות נכון על כל אחת מהן היא P. ההסתברות שמתמודד יענה נכון על 4 שאלות לכל היותר היא 0.83193. מצאו את P.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. '4 לכל היותר' הוא המשלים של 'נכון על כל חמש השאלות'
   2. 1 − P⁵ = 0.83193
   3. P⁵ = 0.16807
   4. P = 0.16807^(1/5)
   5. P = 0.7

   תשובה: P = 0.7

8. שאלה 8 · הסתברות

   בחידון חמש שאלות, וההסתברות לענות נכון על כל אחת היא 0.7 (בלתי תלויות). מצאו את ההסתברות שמתמודד יענה נכון על 3 שאלות בדיוק.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נוסחת ברנולי עם n = 5, k = 3, p = 0.7
   2. P = C(5,3) · 0.7³ · 0.3²
   3. C(5,3) = 10
   4. P = 10 · 0.343 · 0.09
   5. P = 0.3087

   תשובה: 0.3087

9. שאלה 9 · הסתברות

   בחידון חמש שאלות. עבור כל תשובה נכונה מקבלים נקודות בדיוק כמספר השאלה (שאלה 1 שווה נקודה אחת, שאלה 5 שווה 5 נקודות). ההסתברות לענות נכון על כל שאלה היא 0.7. מצאו את ההסתברות שמתמודד יצבור 14 נקודות לפחות.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. הניקוד המקסימלי הוא 1+2+3+4+5 = 15
   2. 14 נקודות לפחות פירושו 15 או 14
   3. 15 נקודות: כל חמש נכונות. P = 0.7⁵ = 0.16807
   4. 14 נקודות: כל השאלות חוץ מהראשונה. P = 0.3 · 0.7⁴ = 0.3 · 0.2401 = 0.07203
   5. P = 0.16807 + 0.07203 = 0.2401

   תשובה: 0.2401

10. שאלה 10 · הסתברות

    בחידון חמש שאלות, ועבור כל תשובה נכונה מקבלים נקודות כמספר השאלה. ההסתברות לענות נכון על כל שאלה היא 0.7. מצאו את ההסתברות שמתמודד יצבור 6 נקודות בדיוק.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נמצא את כל הצירופים שסכומם 6: {1,2,3} , {2,4} , {1,5}
    2. {1,2,3}: שלוש נכונות ושתיים שגויות = 0.7³ · 0.3² = 0.03087
    3. {2,4}: שתיים נכונות ושלוש שגויות = 0.7² · 0.3³ = 0.01323
    4. {1,5}: שתיים נכונות ושלוש שגויות = 0.7² · 0.3³ = 0.01323
    5. P = 0.03087 + 0.01323 + 0.01323 = 0.05733

    תשובה: 0.05733

11. שאלה 11 · הסתברות

    בחידון חמש שאלות, ועבור כל תשובה נכונה מקבלים נקודות כמספר השאלה. ידוע כי אחינועם ענתה נכון על 3 שאלות בדיוק. מהי ההסתברות שהיא צברה 6 נקודות בדיוק?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. בהינתן ש-3 שאלות נענו נכון, יש C(5,3) = 10 צירופים אפשריים
    2. כל הצירופים שווי הסתברות, כי לכל אחד אותה מכפלה 0.7³ · 0.3²
    3. 6 נקודות מתוך שלוש שאלות אפשרי רק בצירוף {1,2,3}
    4. זהו צירוף אחד מתוך 10
    5. P = 1/10

    תשובה: 1/10

12. שאלה 12 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = 4x/(x² − a²)², כאשר a > 0 פרמטר. מצאו את תחום ההגדרה ואת משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. המכנה מתאפס כאשר x² = a², כלומר x = a או x = −a
    2. תחום ההגדרה: x ≠ ±a
    3. שתיהן מאפסות את המכנה ולא את המונה, ולכן x = a ו-x = −a אסימפטוטות אנכיות
    4. כאשר x ← ∞ המכנה מתנהג כמו x⁴ והמונה כמו x
    5. המנה שואפת ל-0, ולכן y = 0 אסימפטוטה אופקית

    תשובה: תחום x ≠ ±a ; אסימפטוטות x = a , x = −a ו-y = 0

13. שאלה 13 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = 4x/(x² − a²)², כאשר a > 0. מצאו את תחומי העלייה והירידה שלה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נגזור לפי כלל המנה
    2. f'(x) = 4[(x²−a²)² − x · 2(x²−a²) · 2x] / (x²−a²)⁴
    3. נוציא (x²−a²) כגורם משותף במונה
    4. f'(x) = 4(x²−a²)[(x²−a²) − 4x²] / (x²−a²)⁴
    5. f'(x) = 4(−3x² − a²) / (x²−a²)³
    6. המונה ‎−3x² − a² שלילי לכל x
    7. בתחום ‎−a < x < a מתקיים x² − a² < 0, ולכן המכנה שלילי ← f' > 0 ← עלייה
    8. מחוץ לתחום זה המכנה חיובי ← f' < 0 ← ירידה

    תשובה: עולה בתחום ‎−a < x < a ; יורדת בתחום x > a ובתחום x < −a

14. שאלה 14 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = 4x/(x² − a²)² עם a > 0. הראו כי f היא פונקציה אי-זוגית, וקבעו את תחומי החיוביות והשליליות שלה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. f(−x) = 4(−x)/((−x)² − a²)² = −4x/(x² − a²)²
    2. ((−x)² = x², לכן המכנה לא השתנה
    3. f(−x) = −f(x), ולכן הפונקציה אי-זוגית והגרף סימטרי לראשית
    4. המכנה (x²−a²)² הוא ריבוע ולכן חיובי בכל תחום ההגדרה
    5. הסימן נקבע כולו על ידי המונה 4x
    6. x > 0 ← חיובית ; x < 0 ← שלילית

    תשובה: אי-זוגית ; חיובית עבור 0 < x < a ועבור x > a ; שלילית עבור ‎−a < x < 0 ועבור x < −a

15. שאלה 15 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = 4x/(x² − a²)² עם a > 0. הפונקציה g(x) מוגדרת באותו תחום, מקיימת g'(x) = f(x), וגרפה עובר בראשית הצירים. מצאו את g(x).

    פתרון שלב אחר שלב

    1. g(x) = ∫ 4x(x² − a²)^(−2) dx
    2. נזהה נגזרת פנימית: הנגזרת של x² − a² היא 2x
    3. g(x) = 2 ∫ 2x(x² − a²)^(−2) dx = 2 · (x² − a²)^(−1)/(−1) + c
    4. g(x) = −2/(x² − a²) + c
    5. נציב את (0 , 0): −2/(0 − a²) + c = 0
    6. 2/a² + c = 0 → c = −2/a²
    7. g(x) = −2/(x² − a²) − 2/a²

    תשובה: g(x) = −2/(x² − a²) − 2/a²

16. שאלה 16 · טריגונומטריה

    נתונה הפונקציה f(x) = cos x − √(cos x). מצאו את תחום ההגדרה שלה בתחום ‎−π ≤ x ≤ π, והראו כי היא פונקציה זוגית.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הביטוי בשורש אי-שלילי: cos x ≥ 0
    2. בתחום ‎−π ≤ x ≤ π מתקיים cos x ≥ 0 עבור ‎−π/2 ≤ x ≤ π/2
    3. לזוגיות: f(−x) = cos(−x) − √(cos(−x))
    4. cos היא פונקציה זוגית, ולכן cos(−x) = cos x
    5. f(−x) = cos x − √(cos x) = f(x)
    6. הפונקציה זוגית והגרף סימטרי לציר ה-y

    תשובה: תחום ההגדרה ‎−π/2 ≤ x ≤ π/2 ; הפונקציה זוגית

17. שאלה 17 · טריגונומטריה

    נתונה f(x) = cos x − √(cos x) בתחום ‎−π/2 ≤ x ≤ π/2. מצאו את נקודות החיתוך עם ציר ה-x, וקבעו את סימן הפונקציה בתחום.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. cos x − √(cos x) = 0 → cos x = √(cos x)
    2. מספר שווה לשורש של עצמו רק כאשר הוא 0 או 1
    3. cos x = 0 → x = ±π/2
    4. cos x = 1 → x = 0
    5. בתוך התחום מתקיים 0 < cos x < 1, ואז √(cos x) > cos x
    6. לכן f(x) < 0 בכל שאר התחום — הפונקציה אי-חיובית

    תשובה: חיתוך ב-(−π/2 , 0) , (0 , 0) , (π/2 , 0) ; הפונקציה אי-חיובית

18. שאלה 18 · טריגונומטריה

    נתונה f(x) = cos x − √(cos x) בתחום ‎−π/2 ≤ x ≤ π/2. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון וקבעו את סוגן.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נגזור: f'(x) = −sin x + sin x/(2√(cos x))
    2. נוציא גורם משותף: f'(x) = sin x(1 − 2√(cos x)) / (2√(cos x))
    3. אפסי הנגזרת: sin x = 0 → x = 0
    4. או 2√(cos x) = 1 → cos x = 0.25 → x ≈ ±1.32
    5. f(0) = 1 − 1 = 0 → (0 , 0)
    6. f(1.32) = 0.25 − 0.5 = −0.25 → (±1.32 , −0.25)
    7. הפונקציה אי-חיובית ומתאפסת ב-0 וב-±π/2, לכן אלה נקודות מקסימום
    8. ו-(±1.32 , −0.25) הן נקודות המינימום

    תשובה: (0 , 0) מקסימום, (±1.32 , −0.25) מינימום, (±π/2 , 0) מקסימום קצה

19. שאלה 19 · טריגונומטריה

    נתונה f(x) = cos x − √(cos x), שהיא אי-חיובית בתחום ‎−π/2 ≤ x ≤ π/2. השטח הכלוא בין הגרף לציר ה-x בתחום 0 ≤ x ≤ π/2 הוא S. נתונה g(x) = k − f(x) כאשר k > 0. נתון שהשטח בין גרף f לגרף g בתחום ‎−π/2 ≤ x ≤ π/2 שווה ל-10S. מצאו את k.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הפונקציה זוגית, ולכן השטח בכל התחום הוא 2S
    2. ‎−f(x) הוא שיקוף של f מעל ציר ה-x, ושטחו זהה: 2S
    3. g(x) = k − f(x) היא אותו שיקוף מוזז ב-k יחידות כלפי מעלה
    4. השטח בין f ל-g מורכב מ-2S (מתחת ל-f) ועוד 2S (מעל) ועוד מלבן
    5. רוחב המלבן הוא π (מ-‎−π/2 עד π/2) וגובהו k, כלומר שטחו k·π
    6. 2S + 2S + kπ = 10S
    7. kπ = 6S → k = 6S/π

    תשובה: k = 6S/π

20. שאלה 20 · חשבון דיפרנציאלי

    מלבן ACDE חסום בחצי מעגל שרדיוסו R, כך שהצלע AE מונחת על הקוטר. הנקודה O היא מרכז המעגל ו-AC = x, כאשר C נמצאת על הקוטר בין A ל-O. הביעו באמצעות x ו-R את שטח המלבן.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. OC = R − x (המרחק מהמרכז לנקודה C)
    2. במשולש COD ישר הזווית, OD הוא רדיוס באורך R
    3. לפי פיתגורס: CD² = R² − (R − x)²
    4. CD² = R² − R² + 2Rx − x² = 2Rx − x²
    5. CD = √(−x² + 2Rx)
    6. S = AC · CD = x·√(−x² + 2Rx)

    תשובה: S = x·√(−x² + 2Rx)

21. שאלה 21 · חשבון דיפרנציאלי

    שטח מלבן החסום בחצי מעגל שרדיוסו R הוא S(x) = x·√(−x² + 2Rx), בתחום R < x < 2R. מצאו עבור איזה x השטח מקסימלי.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נגזור לפי כלל המכפלה
    2. S'(x) = √(−x² + 2Rx) + x·(−2x + 2R)/(2√(−x² + 2Rx))
    3. מכנה משותף: S'(x) = [2(−x² + 2Rx) + x(−2x + 2R)] / (2√(−x² + 2Rx))
    4. המונה: −2x² + 4Rx − 2x² + 2Rx = −4x² + 6Rx
    5. נשווה לאפס: −4x² + 6Rx = 0 → 2x(−2x + 3R) = 0
    6. x = 0 נפסל (מחוץ לתחום), נשאר x = 1.5R
    7. המונה הוא פרבולה הפוכה שעוברת מחיוביות לשליליות ב-1.5R ← מקסימום

    תשובה: x = 1.5R

22. שאלה 22 · חשבון דיפרנציאלי

    במלבן החסום בחצי מעגל שרדיוסו R, השטח מקסימלי כאשר AC = 1.5R. נתון כי סכום שטחי המשולשים CDF ו-AFE שווה למחצית שטח המלבן. מצאו את הסכום המקסימלי של שטחי שני המשולשים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נציב x = 1.5R בביטוי לצלע: CD = √(−(1.5R)² + 2R·1.5R)
    2. CD = √(−2.25R² + 3R²) = √(0.75R²)
    3. CD = (√3/2)·R
    4. שטח המלבן: 1.5R · (√3/2)R = (3√3/4)·R²
    5. סכום שטחי שני המשולשים הוא מחצית מכך
    6. S = (3√3/8)·R²

    תשובה: 3√3·R²/8