שאלון 35571 — מועד מיוחד 2023

10 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · סדרות

   במעגל שמרכזו O בונים סדרה אין-סופית של משולשים שווי שוקיים. זוויות הראש הן זוויות מרכזיות והשוקיים הם רדיוסים. זווית הראש של המשולש הראשון היא a, ובכל משולש נוסף זווית הראש קטנה פי 2 מקודמתה. סכום כל זוויות הראש הוא 240°. מצאו את a.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. זוויות הראש יוצרות סדרה הנדסית אין-סופית: a, a/2, a/4, …
   2. המנה היא q = 1/2, ומכיוון ש-|q| < 1 הסדרה מתכנסת
   3. סכום סדרה הנדסית אין-סופית: S = a₁/(1 − q)
   4. 240 = a/(1 − 1/2)
   5. 240 = a/0.5 = 2a
   6. a = 120°

   תשובה: a = 120°

2. שאלה 2 · טריגונומטריה

   במעגל שרדיוסו R בונים סדרה אין-סופית של משולשים שווי שוקיים שזוויות הראש שלהם 120°, 60°, 30°, … (כל אחת חצי מקודמתה) והשוקיים הם רדיוסים. האם שטחי המשולשים מהווים סדרה הנדסית? נמקו.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שטח משולש שווה שוקיים עם שוקיים R וזווית ראש θ הוא S = ½R²·sin θ
   2. השטחים הם ½R²·sin120°, ½R²·sin60°, ½R²·sin30°, ½R²·sin15°, …
   3. היחס בין השני לראשון: sin60°/sin120° = 0.866/0.866 = 1
   4. היחס בין השלישי לשני: sin30°/sin60° = 0.5/0.866 ≈ 0.577
   5. היחס בין הרביעי לשלישי: sin15°/sin30° ≈ 0.2588/0.5 ≈ 0.518
   6. היחסים אינם שווים זה לזה, ולכן הסדרה אינה הנדסית

   תשובה: לא — היחס בין שטחים עוקבים אינו קבוע

3. שאלה 3 · סדרות

   נתונה סדרה חשבונית A ובה 2n איברים והפרש d. מגדירים סדרה B על ידי bₘ = aₘ + aₘ₊₁, ובה 2n−1 איברים. הוכיחו כי B חשבונית והביעו את ההפרש שלה באמצעות d.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נחשב את ההפרש בין שני איברים עוקבים ב-B
   2. bₘ₊₁ − bₘ = (aₘ₊₁ + aₘ₊₂) − (aₘ + aₘ₊₁)
   3. = aₘ₊₂ − aₘ
   4. ב-A חשבונית, aₘ₊₂ − aₘ = 2d
   5. לכן bₘ₊₁ − bₘ = 2d לכל m, כלומר ההפרש קבוע ואינו תלוי ב-m
   6. מכאן ש-B חשבונית והפרשה 2d

   תשובה: B חשבונית עם הפרש 2d

4. שאלה 4 · סדרות

   בסדרה החשבונית A יש 2n איברים, ובסדרה B מתקיים bₘ = aₘ + aₘ₊₁ (2n−1 איברים). נסמן ב-S_A את סכום A וב-S_B את סכום B. הוכיחו כי S_B/S_A = (2n−1)/n.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. S_B = Σ(aₘ + aₘ₊₁) עבור m מ-1 עד 2n−1
   2. בפתיחת הסכום כל איבר של A מופיע פעמיים, פרט לראשון ולאחרון שמופיעים פעם אחת
   3. S_B = 2·S_A − a₁ − a₂ₙ
   4. בסדרה חשבונית S_A = 2n(a₁ + a₂ₙ)/2 = n(a₁ + a₂ₙ)
   5. S_B = 2n(a₁ + a₂ₙ) − (a₁ + a₂ₙ) = (2n−1)(a₁ + a₂ₙ)
   6. S_B/S_A = (2n−1)(a₁ + a₂ₙ) / [n(a₁ + a₂ₙ)] = (2n−1)/n

   תשובה: S_B/S_A = (2n−1)/n

5. שאלה 5 · הסתברות

   מועמד נבחן בשני מבחנים. ההסתברות להצליח בראשון היא P (כאשר 0.2 < P < 0.5). אם הצליח בראשון, ההסתברות להצליח בשני היא P + 0.3; אם נכשל בראשון, ההסתברות להצליח בשני היא P − 0.1. ההסתברות להצליח בדיוק במבחן אחד היא 9/40. מצאו את P.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. בדיוק אחד = (הצליח בראשון ונכשל בשני) + (נכשל בראשון והצליח בשני)
   2. = P·(1 − (P + 0.3)) + (1 − P)·(P − 0.1)
   3. = P(0.7 − P) + (1 − P)(P − 0.1)
   4. = 0.7P − P² + P − 0.1 − P² + 0.1P
   5. = −2P² + 1.8P − 0.1
   6. נשווה ל-9/40 = 0.225: −2P² + 1.8P − 0.1 = 0.225
   7. 2P² − 1.8P + 0.325 = 0
   8. הדיסקרימיננטה: 1.8² − 4·2·0.325 = 3.24 − 2.6 = 0.64, ושורשה 0.8
   9. P = (1.8 ± 0.8)/4, כלומר P = 0.65 או P = 0.25
   10. לפי התנאי 0.2 < P < 0.5 נפסל 0.65, ולכן P = 0.25

   תשובה: P = 0.25

6. שאלה 6 · הסתברות

   ההסתברות להצליח במבחן הראשון היא 0.25; מי שהצליח בראשון מצליח בשני בהסתברות 0.55, ומי שנכשל בראשון מצליח בשני בהסתברות 0.15. מתקבל ללימודים רק מי שהצליח בשני המבחנים. ידוע שמועמד הצליח לפחות במבחן אחד. מהי ההסתברות שהתקבל?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. P(הצליח בשניהם) = 0.25 · 0.55 = 0.1375
   2. P(נכשל בשניהם) = 0.75 · 0.85 = 0.6375
   3. P(לפחות אחד) = 1 − 0.6375 = 0.3625
   4. זו הסתברות מותנית: P(שניהם | לפחות אחד) = P(שניהם)/P(לפחות אחד)
   5. = 0.1375 / 0.3625
   6. = 11/29 ≈ 0.3793

   תשובה: 11/29 ≈ 0.3793

7. שאלה 7 · הסתברות

   ההסתברות שמועמד יתקבל (יצליח בשני המבחנים) היא 0.1375, וההסתברות שייכשל בשני המבחנים היא 0.6375. שלושה מועמדים נבחנו. מהי ההסתברות ששניים מהם התקבלו ואחד נכשל בשני המבחנים?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מדובר בשלושה מועמדים בלתי תלויים
   2. ההסתברות למועמד מסוים להתקבל היא 0.1375, ולהיכשל בשניהם 0.6375
   3. מספר הסידורים שבהם שניים מתקבלים ואחד נכשל בשניהם: 3!/(2!·1!) = 3
   4. P = 3 · 0.1375² · 0.6375
   5. 0.1375² = 0.01890625
   6. P = 3 · 0.01890625 · 0.6375 ≈ 0.0362

   תשובה: ≈ 0.0362

8. שאלה 8 · הסתברות

   ההסתברות שמועמד יתקבל היא 0.1375. n מועמדים (n ≥ 2) נבחנו. הביעו באמצעות n את ההסתברות שלפחות מועמד אחד התקבל וגם לפחות מועמד אחד לא התקבל.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. המאורע המשלים מורכב משני מקרים זרים: כולם התקבלו, או אף אחד לא התקבל
   2. P(כולם התקבלו) = 0.1375ⁿ
   3. P(אף אחד לא התקבל) = (1 − 0.1375)ⁿ = 0.8625ⁿ
   4. שני המקרים זרים, ולכן מחברים אותם
   5. P(המבוקש) = 1 − 0.1375ⁿ − 0.8625ⁿ

   תשובה: 1 − 0.1375ⁿ − 0.8625ⁿ

9. שאלה 9 · גיאומטריה אנליטית

   ישר ששיפועו −2 חותך את החלק החיובי של ציר ה-x בנקודה B ואת החלק החיובי של ציר ה-y בנקודה A. הנקודה D על הישר ברביע הראשון, והנקודה E על ציר ה-x כך ש-DE מקביל לציר ה-y. נסמן OE = p. שטח המשולש OED הוא p/2. הביעו באמצעות p את משוואת הישר AB.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שיעור ה-x של D הוא p, ואורך DE הוא שיעור ה-y שלה
   2. שטח המשולש OED = ½ · OE · DE = ½ · p · DE
   3. נתון ששטח זה שווה p/2, ולכן ½·p·DE = p/2
   4. מכאן DE = 1, כלומר D(p, 1)
   5. הישר בשיפוע −2 דרך D: y − 1 = −2(x − p)
   6. y = −2x + 2p + 1

   תשובה: y = −2x + 2p + 1

10. שאלה 10 · חשבון דיפרנציאלי

    הישר y = −2x + 2p + 1 חותך את הצירים בנקודות A ו-B, ומשולש OED ששטחו p/2 בנוי כך ש-OE = p. מצאו את הערך של p שבעבורו היחס בין שטח המשולש OED ובין שטח המשולש ABO הוא מקסימלי.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. A על ציר ה-y: A(0, 2p+1). B על ציר ה-x: 0 = −2x + 2p + 1 ולכן B((2p+1)/2, 0)
    2. S_ABO = ½ · (2p+1) · (2p+1)/2 = (2p+1)²/4
    3. היחס: R(p) = (p/2) / [(2p+1)²/4] = 2p/(2p+1)²
    4. נגזור: R′(p) = [2(2p+1)² − 2p·2·2(2p+1)] / (2p+1)⁴
    5. = [2(2p+1) − 8p]/(2p+1)³ = (2 − 4p)/(2p+1)³
    6. R′(p) = 0 כאשר 2 − 4p = 0, כלומר p = 0.5
    7. הנגזרת חיובית לפני 0.5 ושלילית אחריה, ולכן זו נקודת מקסימום
    8. היחס המקסימלי: 2·0.5/(2·0.5+1)² = 1/4 = 0.25

    תשובה: p = 0.5, והיחס המקסימלי הוא 0.25