שאלון 35571 — חורף 2023

16 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · טריגונומטריה

   נתונה הפונקציה f(x) = −2/sinx. חשבו את השטח הכלוא בין גרף הנגזרת f'(x) לבין ציר ה-x בתחום שבין x = 1.7 ל-x = 2.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. האינטגרל של הנגזרת שווה להפרש ערכי הפונקציה בקצוות
   2. בתחום הזה הפונקציה יורדת, ולכן הנגזרת שלילית והגרף מתחת לציר
   3. f(2) = −2/sin(2) = −2/0.9093 = −2.1995
   4. f(1.7) = −2/sin(1.7) = −2/0.9917 = −2.0168
   5. ההפרש הוא −2.1995 − (−2.0168) = −0.1827
   6. השטח הוא הערך המוחלט: כ-0.1827

   תשובה: כ-0.1827

2. שאלה 2 · סדרות

   נתונה הזהות 1·2 + 4·7 + 7·12 + ... + (3n−2)(5n−3) = n(5n² − 2n − 1), הנכונה לכל n טבעי. חשבו את ערך הביטוי 7·12 + 10·17 + ... + 58·97.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נזהה את המחובר האחרון בביטוי המבוקש: 58·97
   2. לפי הזהות, המחובר הכללי הוא (3n−2)(5n−3), ולכן נבדוק עבור איזה n מתקבל 58·97
   3. 3n − 2 = 58 נותן n = 20, וגם 5n − 3 = 97 נותן n = 20, כך שהמחובר האחרון מתאים ל-n = 20
   4. סכום כל הזהות עד n = 20 הוא 20 · (5·400 − 40 − 1) = 20 · 1959 = 39,180
   5. הביטוי המבוקש מתחיל מ-7·12, כלומר חסרים בו שני המחוברים הראשונים
   6. המחוברים החסרים הם 1·2 = 2 ו-4·7 = 28, וסכומם 30
   7. לכן הערך המבוקש הוא 39,180 − 30 = 39,150

   תשובה: 39,150

3. שאלה 3 · סדרות

   נתונה הזהות 1·2 + 4·7 + ... + (3n−2)(5n−3) = n(5n² − 2n − 1). מצאו את הערך של C שעבורו מתקיים 1·2 + 4·7 + ... + (3n−2)(5n−3) + (3n+1)(5n+2) = (n+1)(5n² + 8n + C).

   פתרון שלב אחר שלב

   1. באגף שמאל נוסף מחובר אחד, לפי אותו כלל: הגורם השמאלי גדל ב-3 והימני ב-5
   2. לכן האגף השמאלי הוא בדיוק הזהות הנתונה עבור n+1 במקום n
   3. נציב n+1 בזהות: (n+1)(5(n+1)² − 2(n+1) − 1)
   4. נפתח: 5(n² + 2n + 1) − 2n − 2 − 1 = 5n² + 10n + 5 − 2n − 3
   5. = 5n² + 8n + 2
   6. נשווה לביטוי הנתון (n+1)(5n² + 8n + C) ונחלק ב-(n+1), שהוא שונה מאפס
   7. מתקבל 5n² + 8n + 2 = 5n² + 8n + C, ולכן C = 2

   תשובה: C = 2

4. שאלה 4 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקציה f(x) = √(4x² + 1)/x, המוגדרת עבור x ≠ 0. מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. המכנה מתאפס ב-x = 0, והמונה שם שווה ל-1, לכן x = 0 היא אסימפטוטה אנכית
   2. כאשר x שואף לאינסוף חיובי, הביטוי בשורש נשלט על ידי 4x², והשורש שואף ל-2x
   3. לכן f(x) שואף ל-2x/x = 2, כלומר y = 2 היא אסימפטוטה אופקית מימין
   4. כאשר x שואף למינוס אינסוף, השורש עדיין חיובי ושואף ל-2|x| = −2x
   5. לכן f(x) שואף ל-−2x/x = −2, כלומר y = −2 היא אסימפטוטה אופקית משמאל
   6. שימו לב שהאסימפטוטות האופקיות שונות משני הצדדים, כי השורש תמיד אי-שלילי

   תשובה: אסימפטוטה אנכית x = 0, אסימפטוטה אופקית y = 2 מימין ו-y = −2 משמאל

5. שאלה 5 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקציה f(x) = √(4x² + 1)/x, שהאסימפטוטות האופקיות שלה הן y = 2 ו-y = −2. נתונה g(x) = k · f(x + 3) עבור k > 0. מצאו את k שעבורו המרחק בין האסימפטוטות האופקיות של g שווה ל-10.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. ההזזה האופקית ב-3 יחידות אינה משנה את האסימפטוטות האופקיות
   2. הכפלה ב-k מכפילה את ערכי הפונקציה, ולכן גם את האסימפטוטות האופקיות
   3. האסימפטוטות של g הן y = 2k ו-y = −2k
   4. המרחק ביניהן הוא 2k − (−2k) = 4k
   5. נדרוש 4k = 10
   6. לכן k = 2.5
   7. בדיקה: האסימפטוטות הן y = 5 ו-y = −5, והמרחק ביניהן 10

   תשובה: k = 2.5

6. שאלה 6 · סדרות

   נתונה סדרה הנדסית אין-סופית A שאיברה הכללי aₙ ומנתה q. בונים סדרה חדשה B שאיברה הכללי bₙ = aₙ · q^(n−1). הוכיחו ש-B היא סדרה הנדסית ומצאו את מנתה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נחשב את היחס בין שני איברים עוקבים בסדרה B
   2. b(n+1)/bₙ = [a(n+1) · qⁿ] / [aₙ · q^(n−1)]
   3. נפצל: = [a(n+1)/aₙ] · [qⁿ/q^(n−1)]
   4. היחס הראשון הוא q, כי A סדרה הנדסית שמנתה q
   5. היחס השני הוא q, לפי חוקי חזקות
   6. לכן היחס הכולל הוא q · q = q²
   7. היחס קבוע ואינו תלוי ב-n, ולכן B היא סדרה הנדסית שמנתה q²

   תשובה: B הנדסית, ומנתה q²

7. שאלה 7 · סדרות

   נתונות שתי סדרות הנדסיות מתכנסות: A שאיברה הראשון a₁ ומנתה q, ו-B שאיברה הראשון b₁ = a₁ ומנתה q². נתון שהיחס בין סכום B לסכום A הוא 3/5. מצאו את q.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. סכום סדרה A המתכנסת הוא a₁/(1 − q)
   2. סכום סדרה B המתכנסת הוא a₁/(1 − q²)
   3. היחס הוא [a₁/(1 − q²)] / [a₁/(1 − q)] = (1 − q)/(1 − q²)
   4. נפרק את המכנה לפי הפרש ריבועים: 1 − q² = (1 − q)(1 + q)
   5. נצמצם ב-(1 − q), שהוא שונה מאפס כי הסדרה מתכנסת: היחס הוא 1/(1 + q)
   6. נדרוש 1/(1 + q) = 3/5, כלומר 5 = 3(1 + q)
   7. 5 = 3 + 3q, ולכן 3q = 2 ומכאן q = 2/3
   8. בדיקה: q = 2/3 נמצא בין −1 ל-1, ולכן שתי הסדרות אכן מתכנסות

   תשובה: q = 2/3

8. שאלה 8 · הסתברות

   בארגז א' יש a פירות, מתוכם 3 תפוחים, ובארגז ב' יש b פירות, מתוכם 5 תפוחים. מוציאים פרי מארגז א' ומעבירים אותו לארגז ב', ואז מוציאים פרי מארגז ב'. הביעו את ההסתברות ששני הפירות שיצאו הם תפוחים.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. ההסתברות להוציא תפוח מארגז א' היא 3/a
   2. אחרי ההעברה יש בארגז ב' b+1 פירות
   3. מכיוון שהעברנו תפוח, מספר התפוחים בארגז ב' עלה ל-6
   4. לכן ההסתברות להוציא תפוח מארגז ב' היא 6/(b+1)
   5. שני המאורעות תלויים, ולכן נכפיל: (3/a) · (6/(b+1))
   6. = 18/(a(b+1))

   תשובה: 18/(a(b+1))

9. שאלה 9 · הסתברות

   בארגז א' יש a פירות מתוכם 3 תפוחים, ובארגז ב' יש b פירות מתוכם 5 תפוחים. מעבירים פרי מארגז א' לארגז ב' ואז מוציאים פרי מארגז ב'. ההסתברות ששני הפירות תפוחים היא 9/65, וההסתברות שהראשון תפוח והשני אגס היא 21/130. מצאו את a ואת b.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מהסעיף הקודם, ההסתברות לשני תפוחים היא 18/(a(b+1)) = 9/65
   2. אם הועבר תפוח, מספר האגסים בארגז ב' נשאר b−5
   3. לכן ההסתברות לתפוח ואז אגס היא (3/a) · ((b−5)/(b+1)) = 21/130
   4. נחלק את המשוואה השנייה בראשונה כדי לצמצם את a
   5. [(3(b−5))/(a(b+1))] / [18/(a(b+1))] = (21/130)/(9/65)
   6. האגף השמאלי מצטמצם ל-(b−5)/6, והאגף הימני ל-21·65/(130·9) = 7/6
   7. לכן b − 5 = 7, כלומר b = 12
   8. נציב במשוואה הראשונה: 18/(a · 13) = 9/65, ומכאן a = 18·65/(9·13) = 10

   תשובה: a = 10, b = 12

10. שאלה 10 · הסתברות

    בארגז אחד יש 22 פירות: 8 תפוחים ו-14 אגסים. מוציאים פרי באקראי, רושמים ומחזירים, וכך 6 פעמים. מהי ההסתברות שבדיוק 4 מהפירות שהוצאו יהיו תפוחים, או שכולם יהיו אגסים?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. מחזירים את הפרי, ולכן ההסתברות אינה משתנה וזו התפלגות בינומית
    2. ההסתברות לתפוח היא 8/22 = 4/11, וההסתברות לאגס היא 14/22 = 7/11
    3. המאורע הראשון: בדיוק 4 תפוחים מתוך 6
    4. P = C(6,4) · (4/11)⁴ · (7/11)² = 15 · (4/11)⁴ · (7/11)²
    5. החישוב נותן כ-0.1062
    6. המאורע השני: כל שישה הפירות אגסים
    7. P = (7/11)⁶, שהוא כ-0.0664
    8. שני המאורעות זרים, כי אי אפשר שיהיו גם 4 תפוחים וגם אף תפוח
    9. לכן נחבר: 0.1062 + 0.0664 = 0.1726

    תשובה: כ-0.1726

11. שאלה 11 · הסתברות

    הוציאו 6 פירות, ובדיוק ב-4 מהפעמים יצא תפוח. מהי ההסתברות שארבע ההוצאות שבהן יצא תפוח היו רצופות?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נתון שבדיוק 4 מתוך 6 הם תפוחים, ולכן נספור רק סידורים שמקיימים זאת
    2. מספר האפשרויות לבחור אילו 4 מתוך 6 המקומות הם תפוחים הוא C(6,4) = 15
    3. כל האפשרויות שוות הסתברות, כי בכל אחת יש בדיוק 4 תפוחים ו-2 אגסים
    4. נספור כמה מהן הן רצף של ארבעה: המקומות 1–4, או 2–5, או 3–6
    5. יש בדיוק 3 אפשרויות כאלה
    6. לכן ההסתברות היא 3/15 = 1/5

    תשובה: 1/5

12. שאלה 12 · טריגונומטריה

    נתונה הפונקציה f(x) = 2sinx/(cos²x − 1). פשטו את הביטוי ומצאו את תחום ההגדרה בתחום שבין −2π ל-2π.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נשתמש בזהות היסודית sin²x + cos²x = 1
    2. מכאן cos²x − 1 = −sin²x
    3. נציב במכנה: f(x) = 2sinx/(−sin²x)
    4. נצמצם sinx אחד: f(x) = −2/sinx
    5. הצמצום חוקי רק כאשר sinx שונה מאפס
    6. בתחום שבין −2π ל-2π הפונקציה sinx מתאפסת ב-x = 0, ±π, ±2π
    7. לכן חמש הנקודות האלה מוצאות מתחום ההגדרה, והן גם האסימפטוטות האנכיות

    תשובה: f(x) = −2/sinx, מוגדרת פרט ל-x = 0, ±π, ±2π

13. שאלה 13 · טריגונומטריה

    נתונה הפונקציה f(x) = −2/sinx בתחום שבין 0 ל-2π. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון ואת סוגן.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הפונקציה מקבלת ערכי קיצון כאשר sinx מקבל ערכי קיצון
    2. בתחום הנתון sinx מקבל מקסימום 1 בנקודה x = π/2
    3. שם f(π/2) = −2/1 = −2
    4. sinx מקבל מינימום −1 בנקודה x = 3π/2
    5. שם f(3π/2) = −2/(−1) = 2
    6. מכיוון שהפונקציה היא מינוס 2 חלקי sinx, הסימן מתהפך
    7. לכן המקסימום של sinx נותן מינימום של f, ולהפך
    8. כלומר (π/2, −2) היא מינימום ו-(3π/2, 2) היא מקסימום

    תשובה: מינימום ב-(π/2, −2) ומקסימום ב-(3π/2, 2)

14. שאלה 14 · טריגונומטריה

    הוכיחו שלפונקציה f(x) = −2/sinx אין נקודות פיתול.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נגזור: f'(x) = 2cosx/sin²x
    2. נגזור שוב לפי כלל המנה
    3. f''(x) = 2[−sinx · sin²x − cosx · 2sinx · cosx]/sin⁴x
    4. נוציא sinx גורם משותף במונה: = 2sinx[−sin²x − 2cos²x]/sin⁴x
    5. נצמצם: f''(x) = −2(sin²x + 2cos²x)/sin³x
    6. נשתמש בזהות: sin²x + 2cos²x = 1 + cos²x
    7. f''(x) = −2(1 + cos²x)/sin³x
    8. הביטוי 1 + cos²x חיובי תמיד, ולכן המונה לעולם אינו מתאפס
    9. מכאן שאין נקודות פיתול

    תשובה: אין נקודות פיתול, כי הנגזרת השנייה אינה מתאפסת

15. שאלה 15 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה g(x) = (x² − 1)/((x+1)(x+2)). פשטו את הביטוי ומצאו את האסימפטוטות ואת נקודת אי-הרציפות הסליקה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נפרק את המונה לפי הפרש ריבועים: x² − 1 = (x+1)(x−1)
    2. נצמצם את הגורם (x+1) שמופיע גם במונה וגם במכנה
    3. מתקבל g(x) = (x−1)/(x+2)
    4. הצמצום חוקי רק כאשר x ≠ −1, ולכן שם יש נקודת אי-רציפות סליקה ולא אסימפטוטה
    5. המכנה של הביטוי המצומצם מתאפס ב-x = −2, והמונה שם שווה ל-−3
    6. לכן x = −2 היא אסימפטוטה אנכית
    7. כאשר x שואף לאינסוף, היחס בין המקדמים המובילים הוא 1/1
    8. לכן y = 1 היא אסימפטוטה אופקית

    תשובה: g(x) = (x−1)/(x+2), אסימפטוטה אנכית x = −2, אופקית y = 1, ונקודת אי-רציפות סליקה ב-x = −1

16. שאלה 16 · חשבון דיפרנציאלי

    על גרף הפונקציה y = (x−1)/(x+2) נבחרת נקודה A שהשיעור שלה (t, (t−1)/(t+2)) עבור −1 < t < 1. בונים מלבן שאחת מפינותיו בראשית וצלעותיו מקבילות לצירים, כאשר אורך צלע אחת הוא |t+2| ואורך השנייה הוא |(t−1)/(t+2)|. מצאו את t שעבורו היקף המלבן מינימלי.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. בתחום −1 < t < 1 מתקיים t − 1 < 0, ולכן אורך הצלע האנכית הוא (1−t)/(t+2)
    2. אורך הצלע האופקית הוא t + 2, שהוא חיובי בתחום
    3. ההיקף הוא P(t) = 2[(1−t)/(t+2) + t + 2]
    4. נגזור את השבר לפי כלל המנה: [−(t+2) − (1−t)]/(t+2)² = −3/(t+2)²
    5. לכן P'(t) = 2[−3/(t+2)² + 1]
    6. נשווה לאפס: 3/(t+2)² = 1, כלומר (t+2)² = 3
    7. t + 2 = ±√3, ומכאן t = √3 − 2 או t = −√3 − 2
    8. הפתרון השני, כ-−3.73, מחוץ לתחום הנתון ונפסל
    9. t = √3 − 2 ≈ −0.268 נמצא בתחום, ובדיקת סימני הנגזרת מראה מעבר מירידה לעלייה, כלומר מינימום

    תשובה: t = √3 − 2, כלומר כ-−0.268