שאלון 35571 — חורף 2025

20 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · סדרות

   נתון כי השוויון 8 + 24 + 48 + ... + n(n+a) = n(n+2)(n+4)/6 מתקיים עבור n = 2. מצאו את הפרמטר a.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. עבור n = 2 יש איבר אחד בלבד באגף שמאל, והוא 8
   2. האיבר הכללי הוא n(n+a), ולכן עבור n = 2 מתקיים 2(2 + a) = 8
   3. 2 + a = 4
   4. a = 2

   תשובה: a = 2

2. שאלה 2 · טריגונומטריה

   מנקודה A יוצאים שני משיקים AB ו-AC למעגל שמרכזו O ורדיוסו R. הזווית BAC שווה ל-2α. נתון כי AB = 2R/sin(2α) וכי AB = 2.5R, וכן 0° < ∠BAC < 90°. מצאו את α.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נציב את הנתון במשוואה
   2. 2R/sin(2α) = 2.5R
   3. נחלק ב-R: 2/sin(2α) = 2.5
   4. sin(2α) = 0.8
   5. 2α ≈ 53.13° (הפתרון בתחום 0° < 2α < 90°)
   6. α ≈ 26.565°

   תשובה: α ≈ 26.565°

3. שאלה 3 · סדרות

   הוכיחו באינדוקציה מתמטית כי לכל n טבעי זוגי מתקיים 8 + 24 + 48 + ... + n(n+2) = n(n+2)(n+4)/6.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שלב הבדיקה: עבור n = 2 אגף שמאל הוא 8, ואגף ימין 2·4·6/6 = 8 ✓
   2. הנחת האינדוקציה: נניח שהטענה נכונה עבור n = k זוגי, כלומר הסכום שווה k(k+2)(k+4)/6
   3. שלב הצעד: נוכיח עבור n = k+2. נוסיף את האיבר הבא, (k+2)(k+4)
   4. k(k+2)(k+4)/6 + (k+2)(k+4) = [k(k+2)(k+4) + 6(k+2)(k+4)]/6
   5. = (k+2)(k+4)(k+6)/6
   6. וזה בדיוק אגף ימין עבור n = k+2
   7. לפי עקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל n טבעי זוגי

   תשובה: הטענה נכונה לכל n טבעי זוגי

4. שאלה 4 · הסתברות

   ההסתברות שמועמד הצליח בשני המבחנים היא 4p, וההסתברות שהצליח לפחות במבחן אחד היא 5.5p. בוחרים באקראי מועמד וידוע שהצליח לפחות במבחן אחד. מהי ההסתברות שהצליח בשני המבחנים?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. זו הסתברות מותנית
   2. P(שניהם | לפחות אחד) = P(שניהם ∩ לפחות אחד) / P(לפחות אחד)
   3. מי שהצליח בשניהם הצליח בוודאי לפחות באחד, לכן המונה הוא 4p
   4. = 4p / 5.5p = 8/11

   תשובה: 8/11

5. שאלה 5 · חשבון דיפרנציאלי

   מצאו את תחום ההגדרה של כל אחת מן הפונקציות: f(x) = x/√(x²−1) , g(x) = √x/(x²−1) , h(x) = √(x/(x²−1)).

   פתרון שלב אחר שלב

   1. הביטוי x² − 1 חיובי עבור x > 1 או x < −1, ושלילי עבור ‎−1 < x < 1
   2. ב-f: השורש במכנה, לכן x² − 1 חייב להיות חיובי ממש ← x > 1 או x < −1
   3. ב-g: השורש במונה דורש x ≥ 0, והמכנה דורש x² − 1 ≠ 0 ← x ≥ 0 ו-x ≠ 1
   4. ב-h: כל המנה חייבת להיות אי-שלילית והמכנה שונה מאפס
   5. כאשר x ≥ 0 במונה נדרש x² − 1 > 0 במכנה ← x > 1
   6. כאשר x ≤ 0 במונה נדרש x² − 1 < 0 במכנה ← ‎−1 < x ≤ 0

   תשובה: f: x > 1 או x < −1 ; g: x ≥ 0 ו-x ≠ 1 ; h: x > 1 או ‎−1 < x ≤ 0

6. שאלה 6 · חשבון דיפרנציאלי

   f(x) היא פונקציה אי-זוגית המוגדרת לכל x, ויש לה נקודת מינימום יחידה ב-(3 , −6). נתון כי לפונקציה אסימפטוטה אופקית y = 0. מצאו את נקודת המקסימום שלה ואת תחומי העלייה והירידה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. פונקציה אי-זוגית סימטרית ביחס לראשית הצירים: f(−x) = −f(x)
   2. לכן לנקודת המינימום (3 , −6) מתאימה נקודת מקסימום (−3 , 6)
   3. בין שתי נקודות הקיצון הפונקציה יורדת: ‎−3 < x < 3
   4. מחוץ להן היא עולה: x < −3 או x > 3
   5. נקודות האפס של הנגזרת הן x = 3 ו-x = −3

   תשובה: מקסימום ב-(−3 , 6) ; עלייה עבור x < −3 או x > 3 ; ירידה עבור ‎−3 < x < 3

7. שאלה 7 · חשבון דיפרנציאלי

   f(x) היא פונקציה אי-זוגית המוגדרת לכל x, בעלת מינימום ב-(3 , −6) ומקסימום ב-(−3 , 6), והיא מתאפסת ב-x = 0 בלבד. נתונה הפונקציה g(x) = f²(x) · f'(x). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של g עם ציר ה-x.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. g(x) = 0 כאשר f(x) = 0 או כאשר f'(x) = 0
   2. f(x) = 0 עבור x = 0
   3. f'(x) = 0 בנקודות הקיצון: x = 3 ו-x = −3
   4. נקודות החיתוך: (0 , 0) , (3 , 0) , (−3 , 0)

   תשובה: (0 , 0) , (3 , 0) , (−3 , 0)

8. שאלה 8 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקציה g(x) = f²(x) · f'(x), כאשר f אי-זוגית עם מקסימום ב-(−3 , 6) ומינימום ב-(3 , −6). חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף g וציר ה-x בתחום ‎−3 ≤ x ≤ 3.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נזהה נגזרת פנימית: f²(x)·f'(x) היא הנגזרת של f³(x)/3
   2. לכן הפונקציה הקדומה היא f³(x)/3
   3. בתחום ‎−3 < x < 3 מתקיים f'(x) < 0, ולכן g מתחת לציר ה-x והשטח הוא מינוס האינטגרל
   4. הצבת הגבול העליון: f³(3)/3 = (−6)³/3 = −216/3 = −72
   5. הצבת הגבול התחתון: f³(−3)/3 = 6³/3 = 216/3 = 72
   6. S = −(−72 − 72) = 144

   תשובה: 144

9. שאלה 9 · סדרות

   בסדרה הנדסית A כל האיברים שליליים והמנה היא 2. קבעו אם הסדרה עולה או יורדת ונמקו.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. כל האיברים שליליים ו-q = 2 > 1
   2. הכפלת מספר שלילי במספר גדול מ-1 מרחיקה אותו מטה מהאפס
   3. לדוגמה: ‎−1 , −2 , −4 , −8 ...
   4. לכן הסדרה יורדת

   תשובה: הסדרה יורדת

10. שאלה 10 · סדרות

    נתונה סדרה הנדסית אין-סופית A שמנתה 2, ונתונה סדרה B שאיבריה מקיימים bₙ = kⁿ/aₙ, כאשר k ≠ 0 פרמטר. הוכיחו כי B היא סדרה הנדסית ומצאו את מנתה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נחשב את היחס בין שני איברים עוקבים
    2. b_(n+1)/bₙ = (k^(n+1)/a_(n+1)) · (aₙ/kⁿ)
    3. = k · (aₙ/a_(n+1))
    4. בסדרה A מתקיים a_(n+1) = 2aₙ, לכן aₙ/a_(n+1) = 1/2
    5. b_(n+1)/bₙ = k/2 — קבוע ואינו תלוי ב-n
    6. לכן B הנדסית ומנתה k/2

    תשובה: B הנדסית ומנתה k/2

11. שאלה 11 · סדרות

    נתונה סדרה הנדסית אין-סופית B שמנתה k/2, כאשר k ≠ 0. נתון כי סכום הסדרה B מתכנס. מצאו את תחום הערכים האפשרי של k.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. סדרה הנדסית אין-סופית מתכנסת כאשר |q| < 1
    2. |k/2| < 1
    3. ‎−1 < k/2 < 1
    4. ‎−2 < k < 2
    5. בנוסף נתון k ≠ 0

    תשובה: ‎−2 < k < 2 ו-k ≠ 0

12. שאלה 12 · סדרות

    בסדרה הנדסית אין-סופית B האיבר הראשון הוא ‎−2.25 והמנה 1/4. מוחקים מן הסדרה כל איבר שלישי (b₃, b₆, b₉, ...). מצאו את סכום כל האיברים הנותרים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. האיברים הנותרים מתחלקים לשתי תת-סדרות הנדסיות
    2. המקומות 1, 4, 7, ... : איבר ראשון ‎−2.25, מנה (1/4)³ = 1/64
    3. המקומות 2, 5, 8, ... : איבר ראשון ‎−2.25 · 1/4 = −0.5625, אותה מנה 1/64
    4. S₁ = −2.25 / (1 − 1/64) = −2.25 / (63/64)
    5. S₂ = −0.5625 / (63/64)
    6. S = (−2.25 − 0.5625) · 64/63 = −2.8125 · 64/63
    7. S = −180/63 = −20/7 = −2 6/7

    תשובה: ‎−2 6/7 (בקירוב ‎−2.857)

13. שאלה 13 · הסתברות

    בכד א' יש 15 כדורים צהובים ו-10 אדומים. בכד ב' יש כדורים אדומים בלבד. יעל בוחרת באקראי כד, מוציאה ממנו כדור באקראי ומחזירה אותו, וחוזרת על התהליך עד שהיא מוציאה כדור אדום. מהי ההסתברות שהיא תוציא כדור אדום בפעם השישית בדיוק?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. כדי שלא ייצא אדום בשליפה מסוימת, חייבים לבחור בכד א' ולהוציא ממנו צהוב
    2. P(צהוב בשליפה) = ½ · 15/25 = 0.3
    3. חמש שליפות ראשונות צהובות: 0.3⁵ = 0.00243
    4. P(אדום בשליפה) = ½ · 10/25 + ½ · 1 = 0.2 + 0.5 = 0.7
    5. P = 0.00243 · 0.7 = 0.001701

    תשובה: 0.001701

14. שאלה 14 · סדרות

    נתונה סדרה הנדסית אין-סופית B שמנתה k/2. נתון כי מנת הסדרה היא 1/4 וכי סכום הסדרה הוא ‎−3. מצאו את k ואת האיבר הראשון של הסדרה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. k/2 = 1/4 → k = 1/2
    2. סכום סדרה הנדסית אין-סופית מתכנסת: S = b₁/(1 − q)
    3. ‎−3 = b₁/(1 − 1/4) = b₁/0.75
    4. b₁ = −3 · 0.75 = −2.25

    תשובה: k = 1/2 , b₁ = −2.25

15. שאלה 15 · הסתברות

    בכד א' 15 כדורים צהובים ו-10 אדומים. בכד ב' כדורים אדומים בלבד. מעבירים n כדורים מכד ב' לכד א', ואז בוחרים באקראי כד ומוציאים ממנו כדור אחד. ההסתברות שהכדור אדום היא 13/16. בדקו אם ייתכן שהועברו 14 כדורים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. לאחר ההעברה בכד א' יש 10 + n אדומים מתוך 25 + n כדורים
    2. בכד ב' נותרו אדומים בלבד, ולכן ההסתברות משם היא 1
    3. 13/16 = ½ · (10+n)/(25+n) + ½ · 1
    4. 13/16 − 1/2 = 5/16 = ½ · (10+n)/(25+n)
    5. 5/8 = (10+n)/(25+n)
    6. 125 + 5n = 80 + 8n → 45 = 3n → n = 15
    7. לכן לא ייתכן ש-n = 14

    תשובה: לא — הועברו 15 כדורים

16. שאלה 16 · טריגונומטריה

    מנקודה A יוצאים שני משיקים למעגל שמרכזו O ורדיוסו R. נתון AB = 2.5R, ∠BAC = 53.13°, ו-AC = 4R. חשבו את היחס בין שטח המשולש ABC לבין שטח המשולש AOB.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. S(ABC) = ½ · AB · AC · sin(∠BAC)
    2. S(ABC) = ½ · 2.5R · 4R · 0.8 = 4R²
    3. במשולש AOB, הרדיוס OB מאונך למשיק AB בנקודת ההשקה
    4. S(AOB) = ½ · AB · OB = ½ · 2.5R · R = 1.25R²
    5. היחס: 4R² / 1.25R² = 3.2

    תשובה: 3.2

17. שאלה 17 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = x·√(8−x). הנקודה A(t , t√(8−t)) נמצאת על הגרף ברביע הראשון. מן הנקודה A מעבירים אנך לציר ה-x החותך אותו ב-B(t , 0), ואנך שני לישר x = 8 החותך אותו ב-D. הנקודה C היא (8 , 0). מצאו עבור איזה t היקף המלבן ABCD מקסימלי.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. אורכי צלעות המלבן: BC = 8 − t ו-AB = t√(8−t)
    2. P(t) = 2[(8 − t) + t√(8−t)] , בתחום 0 < t < 8
    3. נגזור: P'(t) = 2[−1 + √(8−t) − t/(2√(8−t))]
    4. נאחד למכנה משותף: P'(t) = 2 · [−2√(8−t) + 2(8−t) − t] / (2√(8−t))
    5. נשווה את המונה לאפס: 16 − 3t = 2√(8−t)
    6. בהעלאה בריבוע: 9t² − 92t + 224 = 0
    7. t = 4 או t = 26/9 (נפסל בבדיקת הצבה)
    8. P'(3) > 0 ו-P'(5) < 0 ← t = 4 מקסימום
    9. A(4 , 8) וההיקף 2(4 + 8) = 24

    תשובה: t = 4, כלומר A(4 , 8), וההיקף המקסימלי 24

18. שאלה 18 · הסתברות

    מועמדים ניגשו לשני מבחנים. ההסתברות לבחור באקראי מועמד שהצליח רק במבחן הראשון היא p. מספר המועמדים שהצליחו רק במבחן הראשון קטן פי 4 ממספר המועמדים שהצליחו בשני המבחנים. כמו כן, 8/9 מן המועמדים שהצליחו במבחן השני הצליחו גם במבחן הראשון. מצאו את ההסתברות לבחור מועמד שהצליח לפחות במבחן אחד, כפונקציה של p.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נסמן A = הצליח בראשון, B = הצליח בשני
    2. P(הצליח רק בראשון) = p, ולכן P(A ∩ B) = 4p
    3. נתון P(A|B) = 8/9, כלומר P(A ∩ B)/P(B) = 8/9
    4. 4p / P(B) = 8/9 → P(B) = 4.5p
    5. הצליח רק בשני: 4.5p − 4p = 0.5p
    6. לפחות באחד: p + 4p + 0.5p = 5.5p

    תשובה: 5.5p

19. שאלה 19 · סדרות

    נתונה סדרה הנדסית A שבה m איברים (m > 4 טבעי), וכל איבריה שליליים. סכום m−4 האיברים האחרונים בסדרה גדול פי 16 מסכום m−4 האיברים הראשונים. מצאו את מנת הסדרה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. כל האיברים שליליים, לכן המנה חיובית (אחרת הסימנים היו מתחלפים לסירוגין)
    2. m−4 האיברים הראשונים מתחילים ב-a₁; m−4 האחרונים מתחילים ב-a₅ = a₁q⁴
    3. a₁q⁴(q^(m−4) − 1)/(q − 1) = 16 · a₁(q^(m−4) − 1)/(q − 1)
    4. נצמצם את הגורם המשותף
    5. q⁴ = 16 → q = 2

    תשובה: q = 2

20. שאלה 20 · טריגונומטריה

    במשולש ABC נתון AB = 2.5R, AC = 4R והזווית BAC היא 53.13°. רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABC הוא 14. מצאו את R.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. משפט הקוסינוסים: BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos(∠BAC)
    2. BC² = 6.25R² + 16R² − 2 · 2.5R · 4R · 0.6
    3. BC² = 22.25R² − 12R² = 10.25R²
    4. BC ≈ 3.2016R
    5. משפט הסינוסים המורחב: BC / sin(∠BAC) = 2 · 14
    6. 3.2016R / 0.8 = 28
    7. 4.002R = 28 → R ≈ 7

    תשובה: R ≈ 7