שאלון 35371 — קיץ מועד א׳ 2022

21 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · גדילה ודעיכה

   מספר התושבים בעיר גדל באופן מעריכי. בתחילת 2010 היו בעיר 20,000 תושבים, ובתחילת 2013 היו 24,500. פי כמה גדל מספר התושבים בכל שנה?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מ-2010 עד 2013 עברו 3 שנים
   2. 20,000 · q³ = 24,500
   3. q³ = 24,500/20,000 = 1.225
   4. q = 1.225^(1/3) ≈ 1.07
   5. כלומר גדילה של 7% בשנה

   תשובה: פי 1.07, כלומר גדילה של 7%

2. שאלה 2 · גדילה ודעיכה

   בתחילת 2010 היו בעיר 20,000 תושבים, ומספרם גדל פי 1.07 בכל שנה. כמה תושבים היו בעיר בתחילת 2015?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מ-2010 עד 2015 עברו 5 שנים
   2. A = 20,000 · 1.07⁵
   3. 1.07⁵ ≈ 1.40255
   4. A ≈ 28,051 תושבים

   תשובה: כ-28,051 תושבים

3. שאלה 3 · גדילה ודעיכה

   בתחילת 2010 היו בעיר 20,000 תושבים, וקצב הגידול היה 7% בשנה גם בשנים שקדמו לכך. כמה תושבים היו בעיר בתחילת 2008?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. 2008 מוקדם ב-2 שנים מ-2010
   2. A₀ · 1.07² = 20,000
   3. A₀ = 20,000 / 1.07²
   4. 1.07² = 1.1449
   5. A₀ ≈ 17,469 תושבים

   תשובה: כ-17,469 תושבים

4. שאלה 4 · הסתברות

   בהגרלה כל משתתף מקבל מעטפה ובה 10 פתקים: פתק אחד של ארוחת בוקר, שלושה של גלידה ושישה ריקים. מהי ההסתברות שמשתתף לא יזכה בפרס?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מספר הפתקים הריקים: 6
   2. P = 6/10
   3. = 0.6

   תשובה: 0.6

5. שאלה 5 · הסתברות

   בכל מעטפה 10 פתקים: אחד של ארוחת בוקר, שלושה של גלידה ושישה ריקים. רמי ואמיר כל אחד פתח מעטפה משלו. מהי ההסתברות שרמי זכה בארוחת בוקר ואמיר זכה בגלידה?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. לכל אחד מעטפה משלו, ולכן המאורעות בלתי תלויים
   2. P(רמי ארוחת בוקר) = 1/10
   3. P(אמיר גלידה) = 3/10
   4. P = (1/10) · (3/10) = 3/100 = 0.03

   תשובה: 0.03

6. שאלה 6 · הסתברות

   בכל מעטפה 10 פתקים: אחד של ארוחת בוקר, שלושה של גלידה ושישה ריקים. רמי ואמיר כל אחד פתח מעטפה משלו. מהי ההסתברות שאחד מהם זכה בארוחת בוקר והשני בגלידה?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שני מסלולים: רמי ארוחת בוקר ואמיר גלידה, או להפך
   2. P = (1/10)·(3/10) + (3/10)·(1/10)
   3. = 3/100 + 3/100 = 6/100
   4. = 0.06

   תשובה: 0.06

7. שאלה 7 · הסתברות

   בכל מעטפה 10 פתקים ורק אחד מהם של ארוחת בוקר. רמי ואמיר כל אחד פתח מעטפה משלו. מהי ההסתברות שבדיוק אחד מהם זכה בארוחת בוקר?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. P(ארוחת בוקר) = 1/10 ; P(לא) = 9/10
   2. שני מסלולים: רמי כן ואמיר לא, או להפך
   3. P = (1/10)·(9/10) + (9/10)·(1/10)
   4. = 9/100 + 9/100 = 18/100
   5. = 0.18

   תשובה: 0.18

8. שאלה 8 · גיאומטריה

   משטח עץ בצורת משולש ישר זווית DEF, שבו DE = 1.5 מטר ו-DF = 2.5 מטר, והזווית הישרה ב-D. מצאו את אורך הצלע EF.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. הזווית הישרה ב-D, ולכן DF הוא היתר
   2. לפי פיתגורס: EF² + DE² = DF²
   3. EF² + 1.5² = 2.5²
   4. EF² = 6.25 − 2.25 = 4
   5. EF = 2 מטר

   תשובה: 2 מטר

9. שאלה 9 · גיאומטריה

   משטח עץ DEF ומשטח זכוכית ABC הם משולשים דומים. הצלע הארוכה של העץ היא DF = 2.5 מטר, והצלע הארוכה של הזכוכית היא AC = 1.25 מטר. מצאו את יחס הדמיון.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. יחס הדמיון הוא היחס בין צלעות מתאימות
   2. DF/AC = 2.5/1.25
   3. = 2
   4. כל צלע במשולש העץ גדולה פי 2 מהמתאימה לה בזכוכית

   תשובה: 2:1 — העץ גדול פי 2

10. שאלה 10 · גיאומטריה

    משולש העץ DEF גדול פי 2 ממשולש הזכוכית ABC. במשולש העץ DE = 1.5 מטר ו-EF = 2 מטר. מצאו את אורכי הצלעות המתאימות במשולש הזכוכית.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. יחס הדמיון 2, ולכן כל צלע בזכוכית היא מחצית מהמתאימה בעץ
    2. AB = DE/2 = 1.5/2 = 0.75 מטר
    3. BC = EF/2 = 2/2 = 1 מטר
    4. אימות בפיתגורס: 0.75² + 1² = 0.5625 + 1 = 1.5625 = 1.25² ✓

    תשובה: AB = 0.75 מטר ו-BC = 1 מטר

11. שאלה 11 · בעיות מילוליות

    משטח זכוכית משולש שצלעותיו 0.75, 1 ו-1.25 מטר. הנגר מקשט את היקפו בפס נורות לד שעולה 32 שקלים למטר. כמה ישלם?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. ההיקף: 0.75 + 1 + 1.25 = 3 מטר
    2. התשלום: 3 · 32 = 96 שקלים

    תשובה: 96 שקלים

12. שאלה 12 · טריגונומטריה

    פנס ניצב בנקודה B על החוף. ספינה בנקודה D במרחק 100 מטר מ-B, והזווית ADB היא 35°. מצאו את גובה הפנס AB.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. במשולש ABD ישר הזווית ב-B
    2. tan 35° = AB/BD
    3. AB = 100 · tan 35° = 100 · 0.7002
    4. AB ≈ 70.02 מטר

    תשובה: כ-70.02 מטר

13. שאלה 13 · טריגונומטריה

    גובה הפנס AB הוא 70.02 מטר. הספינה בנקודה D במרחק 100 מטר מבסיס הפנס, והסירה בנקודה C שבין D ל-B, כאשר CD = 25 מטר. מצאו את הזווית שבה נראה הפנס מן הסירה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. BC = BD − CD = 100 − 25 = 75 מטר
    2. במשולש ABC ישר הזווית ב-B
    3. tan∠ACB = AB/BC = 70.02/75
    4. ∠ACB ≈ 43.03°

    תשובה: כ-43.03°

14. שאלה 14 · בעיות מילוליות

    ספינה שטה מנקודה D אל המגדלור ב-B, מרחק של 100 מטר, במהירות 5 מטר לשנייה. סירה שטה מנקודה C אל B, מרחק של 75 מטר, במהירות 3 מטר לשנייה. מי הגיע ראשון ובכמה?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. זמן הספינה: 100/5 = 20 שניות
    2. זמן הסירה: 75/3 = 25 שניות
    3. 20 < 25, ולכן הספינה הגיעה ראשונה
    4. ההפרש: 25 − 20 = 5 שניות

    תשובה: הספינה, ב-5 שניות

15. שאלה 15 · סטטיסטיקה

    שלוש דיאגרמות עוגה מתארות התפלגות הוצאות של שלוש משפחות. ידוע שמשפחת מאיר מוציאה על מזון סכום השווה לסכום שהיא מוציאה על חינוך ותרבות. כיצד מזהים את הדיאגרמה שלה?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. אין צורך לדעת את הסכומים עצמם
    2. אם שני הסכומים שווים, גם האחוזים שווים — שניהם מאותו סך כולל
    3. לכן מחפשים דיאגרמה שבה פלח המזון ופלח החינוך זהים בגודלם
    4. בדיאגרמה המתאימה שניהם 25%

    תשובה: לפי שני פלחים שווים בגודלם — 25% למזון ו-25% לחינוך ותרבות

16. שאלה 16 · סטטיסטיקה

    ידוע שמשפחת אהרון מוציאה על דיור סכום הגדול פי 2.5 מהסכום שהיא מוציאה על לבוש. באיזו דיאגרמה מדובר, אם באחת מהן הדיור 25% והלבוש 10%?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. אם הסכום גדול פי 2.5, גם האחוז גדול פי 2.5
    2. נבדוק: 25% / 10% = 2.5 ✓
    3. לכן זו הדיאגרמה המתאימה למשפחת אהרון

    תשובה: בדיאגרמה שבה הדיור 25% והלבוש 10%

17. שאלה 17 · סטטיסטיקה

    בחודש יולי הוציאה משפחת כהן 12,000 שקלים ומתוכם 25% על חינוך ותרבות; משפחת אהרון 14,000 שקלים ומתוכם 16%; ומשפחת מאיר 15,000 שקלים ומתוכם 25%. איזו משפחה הוציאה את הסכום הגדול ביותר על חינוך ותרבות?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. כהן: 12,000 · 0.25 = 3,000 שקלים
    2. אהרון: 14,000 · 0.16 = 2,240 שקלים
    3. מאיר: 15,000 · 0.25 = 3,750 שקלים
    4. 3,750 הוא הגדול ביותר

    תשובה: משפחת מאיר — 3,750 שקלים

18. שאלה 18 · בעיות מילוליות

    בכביש אגרה, נהג משאית משלם 20 שקלים על שלושת הקטעים הראשונים ו-6 שקלים על כל קטע נוסף. כמה ישלם עודד עבור 6 קטעי נסיעה?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. שלושת הקטעים הראשונים: 20 שקלים
    2. קטעים נוספים: 6 − 3 = 3 קטעים
    3. התשלום עליהם: 3 · 6 = 18 שקלים
    4. סך הכול: 20 + 18 = 38 שקלים

    תשובה: 38 שקלים

19. שאלה 19 · בעיות מילוליות

    נהג מכונית פרטית משלם 22 שקלים על שלושת הקטעים הראשונים ו-4 שקלים על כל קטע נוסף. רן שילם 50 שקלים. כמה קטעי דרך נסע?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. יתרת התשלום מעבר לתעריף הקבוע: 50 − 22 = 28 שקלים
    2. מספר הקטעים הנוספים: 28/4 = 7
    3. סך הקטעים: 3 + 7 = 10

    תשובה: 10 קטעים

20. שאלה 20 · בעיות מילוליות

    נהג משאית משלם 20 שקלים ועוד 6 לכל קטע נוסף, ונהג מכונית פרטית 22 שקלים ועוד 4 לכל קטע נוסף. שניהם נסעו אותו מספר קטעים ושילמו אותו מחיר. כמה קטעים נסעו וכמה שילמו?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נסמן ב-x את מספר הקטעים הנוספים מעבר לשלושה
    2. משאית: 20 + 6x ; מכונית: 22 + 4x
    3. 20 + 6x = 22 + 4x
    4. 2x = 2 → x = 1
    5. סך הקטעים: 3 + 1 = 4
    6. התשלום: 20 + 6 = 26 שקלים
    7. בדיקה: 22 + 4 = 26 ✓

    תשובה: 4 קטעים, 26 שקלים

21. שאלה 21 · בעיות מילוליות

    חברת כביש האגרה מציעה מבצע: נסיעה ב-49 שקלים ללא תלות בסוג הרכב או באורך הנסיעה. עמית מתכנן לנסוע 8 קטעים במכוניתו הפרטית, לפי תעריף של 22 שקלים לשלושת הראשונים ו-4 לכל נוסף. האם המבצע משתלם לו?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. קטעים נוספים: 8 − 3 = 5
    2. התשלום הרגיל: 22 + 4·5 = 22 + 20 = 42 שקלים
    3. 42 < 49
    4. לכן המבצע אינו משתלם לעמית

    תשובה: לא — התעריף הרגיל עולה 42 שקלים בלבד