שאלון 35371 — קיץ מועד א׳ 2024

21 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · גדילה ודעיכה

   מספר התושבים בעיר א' גדל בכל שנה ב-6%. בתחילת שנת 2010 היו בעיר 24,000 תושבים. כמה תושבים היו בעיר א' בתחילת שנת 2015?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מ-2010 ל-2015 חלפו 5 שנים
   2. גדילה של 6% בשנה: מכפילים ב-1.06 בכל שנה
   3. מספר התושבים = 24,000 · 1.06⁵
   4. 1.06⁵ ≈ 1.338226
   5. = 24,000 · 1.338226 ≈ 32,117 תושבים

   תשובה: כ-32,117 תושבים

2. שאלה 2 · גדילה ודעיכה

   מספר התושבים בעיר א' גדל בכל שנה ב-6%, ובתחילת 2010 היו בה 24,000 תושבים. כמה תושבים היו בעיר א' בתחילת שנת 2008?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. 2008 היא שנתיים לפני 2010, ולכן הולכים אחורה בזמן
   2. הליכה אחורה היא חלוקה בגורם הגדילה
   3. מספר התושבים = 24,000 : 1.06²
   4. 1.06² = 1.1236
   5. = 24,000 : 1.1236 ≈ 21,360 תושבים

   תשובה: כ-21,360 תושבים

3. שאלה 3 · גדילה ודעיכה

   מספר התושבים בעיר א' גדל ב-6% בכל שנה. בעיר ב' מספר התושבים גדל באחוז קבוע: בתחילת 2010 היו בה 20,000 תושבים ובתחילת 2013 היו בה 25,195 תושבים. באיזו עיר מספר התושבים גדל באחוז גדול יותר בכל שנה? נמקו.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. בעיר ב' חלפו 3 שנים בין 2010 ל-2013
   2. 20,000 · q³ = 25,195
   3. q³ = 25,195 : 20,000 = 1.259750
   4. q = ∛1.259750 ≈ 1.08
   5. כלומר בעיר ב' הגדילה השנתית היא 8%
   6. 8% > 6%, ולכן בעיר ב' מספר התושבים גדל באחוז גדול יותר

   תשובה: בעיר ב' — 8% בשנה מול 6% בעיר א'

4. שאלה 4 · הסתברות

   גלגל א' מחולק לשלוש גזרות שוות שעליהן רשומים המספרים 1, 2, 3. מסובבים אותו פעם אחת. מהי ההסתברות שגלגל א' ייעצר על מספר גדול מ-1?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שלוש הגזרות שוות בגודלן, ולכן ההסתברות לכל מספר היא 1/3
   2. המספרים הגדולים מ-1 הם 2 ו-3, כלומר שתי גזרות
   3. P = 2/3

   תשובה: 2/3

5. שאלה 5 · הסתברות

   גלגל א' מחולק לשלוש גזרות שוות עם המספרים 1, 2, 3. גלגל ב' מחולק כך: חצי מן העיגול נושא את המספר 1, ורבע נושא את המספר 2 ורבע את המספר 4. מסובבים כל גלגל פעם אחת. מהי ההסתברות ששני הגלגלים ייעצרו על המספר 2?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. בגלגל א' ההסתברות למספר 2 היא 1/3
   2. בגלגל ב' הגזרה של המספר 2 היא רבע מן העיגול, ולכן ההסתברות היא 1/4
   3. הסיבובים בלתי תלויים, ולכן מכפילים
   4. P = 1/3 · 1/4 = 1/12

   תשובה: 1/12

6. שאלה 6 · הסתברות

   גלגל א': שלוש גזרות שוות עם 1, 2, 3. גלגל ב': חצי עיגול עם 1, רבע עם 2 ורבע עם 4. מסובבים כל גלגל פעם אחת. מהי ההסתברות ששני הגלגלים ייעצרו על אותו המספר?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. המספרים המשותפים לשני הגלגלים הם 1 ו-2 בלבד (4 אינו בגלגל א', ו-3 אינו בגלגל ב')
   2. שניהם 1: 1/3 · 1/2 = 1/6
   3. שניהם 2: 1/3 · 1/4 = 1/12
   4. המקרים זרים, ולכן מחברים: 1/6 + 1/12 = 2/12 + 1/12 = 3/12
   5. P = 1/4

   תשובה: 1/4

7. שאלה 7 · הסתברות

   גלגל א': שלוש גזרות שוות עם 1, 2, 3. גלגל ב': חצי עיגול עם 1, רבע עם 2 ורבע עם 4. מהי ההסתברות שסכום המספרים שעליהם ייעצרו שני הגלגלים יהיה 5?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נבדוק אילו זוגות נותנים סכום 5
   2. גלגל א' = 1 וגלגל ב' = 4: 1/3 · 1/4 = 1/12
   3. גלגל א' = 3 וגלגל ב' = 2: 1/3 · 1/4 = 1/12
   4. גלגל א' = 2 וגלגל ב' = 3 אינו אפשרי — אין 3 בגלגל ב'
   5. P = 1/12 + 1/12 = 2/12 = 1/6

   תשובה: 1/6

8. שאלה 8 · גיאומטריה

   מראה בצורת משולש שווה שוקיים ABC: אורך הבסיס BC הוא 40 ס"מ ואורך השוק 52 ס"מ. מצאו את אורך AK, הגובה לבסיס.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס חוצה אותו
   2. KC = 40 : 2 = 20 ס"מ
   3. המשולש AKC ישר זווית ב-K
   4. לפי פיתגורס: AK² = 52² − 20² = 2,704 − 400 = 2,304
   5. AK = √2,304 = 48 ס"מ

   תשובה: 48 ס"מ

9. שאלה 9 · גיאומטריה

   במשולש שווה השוקיים ABC אורך הבסיס 40 ס"מ והגובה לבסיס 48 ס"מ. מצאו את שטח המשולש.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שטח משולש = (בסיס × גובה) : 2
   2. = (40 · 48) : 2
   3. = 1,920 : 2
   4. = 960 סמ"ר

   תשובה: 960 סמ"ר

10. שאלה 10 · גיאומטריה

    המשולשים שווי השוקיים ABC ו-DEF דומים, ויחס הדמיון בין ABC ובין DEF הוא 2. הבסיס BC הוא 40 ס"מ ושטח ABC הוא 960 סמ"ר. מצאו את אורך הבסיס EF ואת שטח המשולש DEF.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. יחס הדמיון 2 פירושו שכל צלע ב-ABC גדולה פי 2 מן המתאימה לה ב-DEF
    2. EF = 40 : 2 = 20 ס"מ
    3. יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון: 2² = 4
    4. שטח DEF = 960 : 4
    5. = 240 סמ"ר

    תשובה: EF = 20 ס"מ, ושטח DEF = 240 סמ"ר

11. שאלה 11 · גיאומטריה

    במראה ABC הבסיס 40 ס"מ והשוקיים 52 ס"מ, ובמראה הדומה DEF הבסיס 20 ס"מ (יחס דמיון 2). תלמידים מצאו שרשרת נורות באורך 2 מטרים ורוצים לקשט בה את כל ההיקף של שתי המראות. האם אורך השרשרת הספיק? נמקו.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. היקף ABC = 40 + 52 + 52 = 144 ס"מ
    2. במשולש DEF כל צלע קטנה פי 2: הבסיס 20 והשוקיים 26 כל אחת
    3. היקף DEF = 20 + 26 + 26 = 72 ס"מ
    4. סך ההיקפים: 144 + 72 = 216 ס"מ
    5. השרשרת באורך 2 מטרים = 200 ס"מ
    6. 216 > 200, ולכן השרשרת לא הספיקה

    תשובה: לא — נדרשים 216 ס"מ, כלומר 2.16 מטרים

12. שאלה 12 · טריגונומטריה

    רוני שחתה מנקודה A אל מצוף בנקודה C, ומיכל מנקודה B אל אותו מצוף. הנקודה D על הקטע AB כך ש-CD מאונך ל-AB. המרחק ששחתה רוני (AC) הוא 180 מטרים, והזווית בין מסלול השחייה שלה לקטע AB היא 52°. מצאו את המרחק של המצוף מן הקטע AB, כלומר את CD.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. המשולש ACD ישר זווית ב-D
    2. CD הוא הניצב שמול הזווית של 52°, ו-AC הוא היתר
    3. sin52° = CD / AC
    4. CD = 180 · sin52°
    5. ≈ 180 · 0.788 ≈ 141.84 מטרים

    תשובה: כ-141.84 מטרים

13. שאלה 13 · טריגונומטריה

    המצוף בנקודה C, והמרחק שלו מן הקטע AB הוא CD ≈ 141.84 מטרים. המרחק בין נקודת היציאה של מיכל ובין הנקודה D הוא BD = 45 מטרים. מצאו את גודל הזווית שבין מסלול השחייה של מיכל ובין הקטע AB.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. המשולש BDC ישר זווית ב-D
    2. ביחס לזווית ב-B: CD הוא הניצב שמולה ו-BD הניצב שלידה
    3. tan(B) = CD / BD = 141.84 / 45
    4. ≈ 3.152
    5. B = arctan(3.152) ≈ 72.4°

    תשובה: כ-72.4°

14. שאלה 14 · טריגונומטריה

    רוני שחתה 180 מטרים מ-A אל המצוף C בזווית 52° לקטע AB, והנקודה D על AB מקיימת CD ⊥ AB. נתון BD = 45 מטרים. מצאו את המרחק בין הנקודות שמהן יצאו רוני ומיכל (AB).

    פתרון שלב אחר שלב

    1. במשולש ACD: AD הוא הניצב שליד הזווית של 52°
    2. cos52° = AD / AC
    3. AD = 180 · cos52° ≈ 110.82 מטרים
    4. D נמצאת בין A ל-B, ולכן AB = AD + BD
    5. = 110.82 + 45 ≈ 155.82 מטרים

    תשובה: כ-155.82 מטרים

15. שאלה 15 · טריגונומטריה

    המצוף בנקודה C נמצא במרחק CD ≈ 141.84 מטרים מן הקטע AB, ו-BD = 45 מטרים. מיכל שחתה מ-B אל המצוף וחזרה באותו מסלול. מצאו כמה מטרים סך הכול שחתה מיכל.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. המשולש BDC ישר זווית ב-D
    2. לפי פיתגורס: BC² = 141.84² + 45² ≈ 20,118 + 2,025 = 22,143
    3. BC ≈ 148.8 מטרים
    4. מיכל שחתה הלוך ושוב באותו מסלול, ולכן פי 2
    5. סך הכול ≈ 2 · 148.8 ≈ 297.6 מטרים

    תשובה: כ-297.6 מטרים

16. שאלה 16 · סטטיסטיקה

    בחברה להשכרת כלי שיט 40 כלי שיט מארבעה סוגים. בדיאגרמת העיגול שני סוגים מהווים 15% ו-25%. נתון כי מספר גלשני הסאפ גדול פי 2 ממספר אופנועי הים. מהו אחוז אופנועי הים?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. סך כל האחוזים בדיאגרמה הוא 100%
    2. לאופנועי הים ולגלשני הסאפ יחד: 100 − 15 − 25 = 60%
    3. נסמן ב-x את אחוז אופנועי הים, ואז גלשני הסאפ הם 2x
    4. x + 2x = 60
    5. 3x = 60 ולכן x = 20%
    6. (גלשני הסאפ מהווים 40%)

    תשובה: 20%

17. שאלה 17 · סטטיסטיקה

    קבוצת תיירים שכרה 10 כלי שיט לשעה אחת — סירות מנוע (400 שקלים לשעה) וסירות משוט (150 שקלים לשעה) בלבד. המחיר הממוצע להשכרת סירה אחת לשעה היה 350 שקלים. נסמן ב-x את מספר סירות המנוע. מצאו את x.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. מספר סירות המשוט הוא 10 − x
    2. התשלום הכולל: 400x + 150(10 − x)
    3. הממוצע הוא התשלום חלקי 10, והוא שווה 350
    4. 400x + 150(10 − x) = 3,500
    5. 400x + 1,500 − 150x = 3,500
    6. 250x = 2,000
    7. x = 8 (ולכן 2 סירות משוט)

    תשובה: x = 8 סירות מנוע

18. שאלה 18 · בעיות מילוליות

    חבילת נופש א' עולה 946 שקלים בעבור הטיסה ועוד 317 שקלים לכל יום נופש. נעמה הזמינה נופש של 9 ימים לפי חבילה א'. כמה שילמה סך הכול?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. מחיר = 946 + 317 · 9
    2. 317 · 9 = 2,853
    3. = 946 + 2,853
    4. = 3,799 שקלים

    תשובה: 3,799 שקלים

19. שאלה 19 · בעיות מילוליות

    חבילה א' עולה 946 שקלים לטיסה ועוד 317 שקלים ליום נופש; חבילה ב' עולה 1,450 שקלים לטיסה ועוד 293 שקלים ליום. נסמן ב-x את מספר ימי הנופש. כתבו ביטוי אלגברי למחיר של כל אחת מן החבילות.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. מחיר הטיסה קבוע ואינו תלוי במספר הימים
    2. מחיר ימי הנופש הוא מכפלת המחיר ליום במספר הימים
    3. חבילה א': 946 + 317x
    4. חבילה ב': 1,450 + 293x

    תשובה: חבילה א': 946 + 317x. חבילה ב': 1,450 + 293x

20. שאלה 20 · בעיות מילוליות

    מחיר חבילה ב' הוא 1,450 + 293x שקלים, כאשר x מספר ימי הנופש. אהוד שילם לחברת התיירות 6,431 שקלים סך הכול. כמה ימי נופש הזמין?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. 1,450 + 293x = 6,431
    2. 293x = 6,431 − 1,450 = 4,981
    3. x = 4,981 : 293
    4. x = 17 ימי נופש

    תשובה: 17 ימי נופש

21. שאלה 21 · בעיות מילוליות

    חבילה א' עולה 946 + 317x שקלים וחבילה ב' עולה 1,450 + 293x שקלים, כאשר x מספר ימי הנופש. בעבור נופש של כמה ימים המחיר בשתי החבילות זהה?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. 946 + 317x = 1,450 + 293x
    2. 317x − 293x = 1,450 − 946
    3. 24x = 504
    4. x = 21 ימי נופש
    5. בדיקה: 946 + 317·21 = 7,603 וגם 1,450 + 293·21 = 7,603 ✓

    תשובה: 21 ימי נופש