שאלון 35371 — קיץ מועד א׳ 2023

22 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · גדילה ודעיכה

   במאפייה תופחים שני סוגי בצק, ונפח כל אחד מהם גדל בצורה מעריכית. בשעה 8:00 היה נפח הבצק לעוגות 6,170 סמ"ק ונפח הבצק לחלות 5,000 סמ"ק. שני גרפים מתארים את הנפחים. כיצד מזהים איזה גרף מתאר איזה בצק?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נקודת החיתוך של כל גרף עם ציר ה-y היא הנפח ההתחלתי בשעה 8:00
   2. הגרף שמתחיל גבוה יותר, מנפח 6,170 סמ"ק, מתאר את הבצק לעוגות
   3. הגרף שמתחיל מ-5,000 סמ"ק מתאר את הבצק לחלות
   4. הזיהוי נעשה לפי נקודת ההתחלה בלבד, ולא לפי תלילות הגרף

   תשובה: הגרף שמתחיל מ-6,170 מתאר את הבצק לעוגות, והמתחיל מ-5,000 את הבצק לחלות

2. שאלה 2 · גדילה ודעיכה

   בשעה 8:00 היה נפח הבצק לחלות 5,000 סמ"ק, והוא גדל ב-20% בכל שעה. מה היה נפחו בשעה 10:00?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. גורם הגדילה: q = (100 + 20)/100 = 1.2
   2. מ-8:00 עד 10:00 עברו שעתיים, כלומר t = 2
   3. A = 5,000 · 1.2²
   4. 1.2² = 1.44
   5. A = 7,200 סמ"ק

   תשובה: 7,200 סמ"ק

3. שאלה 3 · גדילה ודעיכה

   בשעה 8:00 היה נפח הבצק לעוגות 6,170 סמ"ק, ובשעה 10:00 הוא היה שווה לנפח הבצק לחלות — 7,200 סמ"ק. בכמה אחוזים גדל נפח הבצק לעוגות בכל שעה?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. 6,170 · q² = 7,200
   2. q² = 7,200/6,170 ≈ 1.167
   3. q = √1.167 ≈ 1.08
   4. אחוז הגדילה: (1.08 − 1) · 100% = 8%

   תשובה: ב-8%

4. שאלה 4 · גדילה ודעיכה

   בשעה 8:00 היה נפח הבצק לעוגות 6,170 סמ"ק, והוא גדל ב-8% בכל שעה. מה יהיה נפחו בשעה 13:00?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מ-8:00 עד 13:00 עברו 5 שעות
   2. A = 6,170 · 1.08⁵
   3. 1.08⁵ ≈ 1.46933
   4. A ≈ 9,065.8 סמ"ק

   תשובה: כ-9,065.8 סמ"ק

5. שאלה 5 · הסתברות

   במעטפה ארבעה פתקים ועליהם המספרים 0, 1, 2, 3. מוציאים פתק אחד באקראי. מהי ההסתברות שרשום עליו המספר 2?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. ארבעה פתקים שווי הסתברות
   2. רק אחד מהם נושא את המספר 2
   3. P = 1/4 = 0.25

   תשובה: 1/4

6. שאלה 6 · הסתברות

   במעטפה ארבעה פתקים ועליהם 0, 1, 2, 3. חני הוציאה פתק, החזירה אותו, והוציאה שוב. מהי ההסתברות שבשתי הפעמים הוציאה את הפתק שעליו רשום 1?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. ההוצאה עם החזרה, ולכן ההסתברויות אינן משתנות
   2. P = (1/4) · (1/4)
   3. P = 1/16

   תשובה: 1/16

7. שאלה 7 · הסתברות

   במעטפה ארבעה פתקים ועליהם 0, 1, 2, 3. חני הוציאה פתק, החזירה אותו, והוציאה שוב. מהי ההסתברות שסכום שני המספרים הוא 4?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נמצא את כל הזוגות שסכומם 4:
   2. (3,1) , (1,3) , (2,2)
   3. לכל זוג הסתברות (1/4)·(1/4) = 1/16
   4. P = 3 · 1/16 = 3/16

   תשובה: 3/16

8. שאלה 8 · הסתברות

   מן המעטפה שבה הפתקים 0, 1, 2, 3 הוציאו את הפתק שעליו רשום 2, כך שנותרו שלושה פתקים. יעל הוציאה פתק, החזירה אותו, והוציאה שוב. מהי ההסתברות שסכום שני המספרים הוא 4?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נותרו הפתקים 0, 1, 3 — לכל אחד הסתברות 1/3
   2. הזוגות שסכומם 4: (3,1) ו-(1,3)
   3. הזוג (2,2) כבר אינו אפשרי, כי הפתק 2 הוצא
   4. P = 2 · (1/3)·(1/3) = 2/9

   תשובה: 2/9

9. שאלה 9 · גיאומטריה

   חותכן עוגיות בצורת משולש שווה שוקיים ABC, שבו AB = BC והבסיס AC אורכו 6 ס"מ. השוק BC אורכה 5 ס"מ. מצאו את אורך הגובה BK לבסיס.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון
   2. לכן AK = CK = 6/2 = 3 ס"מ
   3. במשולש BKC ישר הזווית, לפי פיתגורס:
   4. BK² + 3² = 5²
   5. BK² = 25 − 9 = 16
   6. BK = 4 ס"מ

   תשובה: 4 ס"מ

10. שאלה 10 · גיאומטריה

    במשולש ABC הבסיס AC אורכו 6 ס"מ והגובה אליו BK אורכו 4 ס"מ. חשבו את שטח המשולש.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. S = (בסיס · גובה)/2
    2. S = (6 · 4)/2
    3. S = 12 סמ"ר

    תשובה: 12 סמ"ר

11. שאלה 11 · גיאומטריה

    שני חותכני עוגיות הם משולשים שווי שוקיים דומים: ABC שבו AC = 6 ס"מ, ו-DEF שבו DF = 9 ס"מ. מצאו את יחס הדמיון בין הגדול לקטן.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. יחס הדמיון הוא היחס בין צלעות מתאימות
    2. DF/AC = 9/6
    3. = 3/2 = 1.5

    תשובה: 1.5 (או 3:2)

12. שאלה 12 · גיאומטריה

    שני משולשים דומים ביחס 1.5, ושטח הקטן הוא 12 סמ"ר. מצאו את שטח הגדול.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. יחס השטחים במשולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון
    2. 1.5² = 2.25
    3. S = 12 · 2.25
    4. S = 27 סמ"ר

    תשובה: 27 סמ"ר

13. שאלה 13 · בעיות מילוליות

    שטח עוגייה קטנה 12 סמ"ר ושטח עוגייה גדולה 27 סמ"ר. רוני רידדה בצק ששטחו 546 סמ"ר, והשתמשה בחצי ממנו להכנת העוגיות. מספר העוגיות הקטנות שווה למספר הגדולות. כמה עוגיות מכל סוג הכינה?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. שטח הבצק שנוצל: 546/2 = 273 סמ"ר
    2. נסמן ב-x את מספר העוגיות מכל סוג
    3. 12x + 27x = 273
    4. 39x = 273
    5. x = 7

    תשובה: 7 מכל סוג

14. שאלה 14 · טריגונומטריה

    גינה בצורת מלבן ABCD שבה AB = 20 מטרים, והזווית CAB היא 35°. מצאו את אורך הצלע BC ואת שטח הגינה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. במשולש ABC ישר הזווית ב-B
    2. tan∠CAB = BC/AB
    3. BC = 20 · tan 35° = 20 · 0.7002
    4. BC ≈ 14 מטרים
    5. שטח המלבן: 20 · 14 = 280 מ"ר

    תשובה: BC ≈ 14 מטרים, והשטח 280 מ"ר

15. שאלה 15 · טריגונומטריה

    בגינה מלבנית שבה AB = 20 מטרים ו-BC = 14 מטרים, הנקודה E היא אמצע AB. משולש EBC מגודר מכל צדדיו. מצאו את אורך הגדר.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. E אמצע AB, ולכן EB = 20/2 = 10 מטרים
    2. המשולש EBC ישר זווית ב-B
    3. לפי פיתגורס: EC² = 10² + 14² = 100 + 196 = 296
    4. EC = √296 ≈ 17.2 מטרים
    5. ההיקף: 10 + 14 + 17.2 = 41.2 מטרים

    תשובה: כ-41.2 מטרים

16. שאלה 16 · טריגונומטריה

    במלבן ABCD, הזווית CAB היא 35°, והנקודה E היא אמצע AB עם EB = 10 מטרים ו-BC = 14 מטרים. מצאו את גודל הזווית ACE.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. במשולש EBC: tan∠ECB = EB/BC = 10/14
    2. ∠ECB ≈ 35.54°
    3. במשולש ABC סכום הזוויות 180°, והזווית ב-B ישרה
    4. ∠ACB = 180° − 90° − 35° = 55°
    5. ∠ACE = ∠ACB − ∠ECB
    6. = 55° − 35.54° = 19.46°

    תשובה: כ-19.46°

17. שאלה 17 · סטטיסטיקה

    בשני מפעלים שלוש מחלקות: ייצור, שיווק והנהלה. במפעל א' יש 20 בייצור, 12 בשיווק ו-8 בהנהלה. במפעל ב' יש 14 בייצור, 10 בשיווק ו-4 בהנהלה. באיזה מפעל אחוז העובדים במחלקת השיווק גדול יותר?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. מפעל א': סך העובדים 20 + 12 + 8 = 40
    2. אחוז השיווק: 12/40 = 0.3 = 30%
    3. מפעל ב': סך העובדים 14 + 10 + 4 = 28
    4. אחוז השיווק: 10/28 ≈ 0.3571 = 35.71%
    5. 35.71% > 30%, ולכן במפעל ב'

    תשובה: במפעל ב' — 35.71% לעומת 30%

18. שאלה 18 · סטטיסטיקה

    במפעל ב״ 28 עובדים: 14 במחלקת הייצור שמשכורתם 9,000 שקלים, 10 בשיווק, ו-4 בהנהלה שמשכורתם 18,000 שקלים. המשכורת הממוצעת במפעל היא 11,500 שקלים. מצאו את משכורתו של עובד במחלקת השיווק.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. סכום כל המשכורות: 11,500 · 28 = 322,000 שקלים
    2. הנהלה: 18,000 · 4 = 72,000 שקלים
    3. ייצור: 9,000 · 14 = 126,000 שקלים
    4. יחד: 72,000 + 126,000 = 198,000 שקלים
    5. נותר לשיווק: 322,000 − 198,000 = 124,000 שקלים
    6. מספר עובדי השיווק: 10
    7. המשכורת: 124,000 / 10 = 12,400 שקלים

    תשובה: 12,400 שקלים

19. שאלה 19 · סטטיסטיקה

    במפעל ב״ 28 עובדים: 4 שמשכורתם 18,000 שקלים, 10 שמשכורתם 12,400 שקלים ו-14 שמשכורתם 9,000 שקלים. מצאו את חציון המשכורות.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. מספר הנתונים 28 זוגי, ולכן החציון הוא ממוצע האיברים ה-14 וה-15
    2. נסדר בסדר יורד ונבנה שכיחות מצטברת:
    3. 18,000 — מקומות 1 עד 4
    4. 12,400 — מקומות 5 עד 14
    5. 9,000 — מקומות 15 עד 28
    6. האיבר ה-14 הוא 12,400 והאיבר ה-15 הוא 9,000
    7. החציון: (12,400 + 9,000)/2 = 10,700 שקלים

    תשובה: 10,700 שקלים

20. שאלה 20 · פונקציה ריבועית

    נתונה הפרבולה f(x) = −x² + 3x. מצאו את נקודות החיתוך עם ציר ה-x, וקבעו אם יש לה מקסימום או מינימום.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נציב y = 0: −x² + 3x = 0
    2. נוציא x כגורם משותף: x(−x + 3) = 0
    3. x = 0 או −x + 3 = 0 → x = 3
    4. הנקודות: (0 , 0) ו-(3 , 0)
    5. המקדם של x² הוא a = −1 < 0
    6. פרבולה עם a שלילי פונה כלפי מטה ← יש לה מקסימום

    תשובה: חיתוך ב-(0,0) וב-(3,0) ; יש לה מקסימום

21. שאלה 21 · פונקציה ריבועית

    מסלול זרימת מים ממזרקה מתואר על ידי f(x) = −x² + 3x. מצאו את הנקודה שבה המים מגיעים לגובה מקסימלי, ובאילו ערכי x זרם המים בעלייה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. שיעור ה-x של הקודקוד: x = −b/(2a)
    2. x = −3/(2·(−1)) = 3/2 = 1.5
    3. y = −1.5² + 3·1.5 = −2.25 + 4.5 = 2.25
    4. הקודקוד: (1.5 , 2.25)
    5. הפרבולה פונה כלפי מטה, ולכן היא עולה משמאל לקודקוד
    6. זרם המים מתחיל ב-x = 0 ועולה עד 1.5

    תשובה: (1.5 , 2.25) ; בעלייה עבור 0 < x < 1.5

22. שאלה 22 · פונקציה ריבועית

    מסלול המים ממזרקה מתואר על ידי f(x) = −x² + 3x, והגובה המקסימלי מתקבל בנקודה (1.5 , 2.25). ציפור עפה בגובה 3 מטרים מעל פני המים. האם היא נרטבה?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הגובה המקסימלי של זרם המים הוא שיעור ה-y של הקודקוד: 2.25 מטרים
    2. הציפור עפה בגובה 3 מטרים
    3. 3 > 2.25
    4. המים אינם מגיעים לגובה הציפור, ולכן היא לא נרטבה

    תשובה: לא — הגובה המקסימלי של המים הוא 2.25 מטרים בלבד