שאלון 35371 — חורף 2024

22 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · גדילה ודעיכה

   במפעל א' מייצרים חפיסות שוקולד, ומספרן גדל בכל שנה ב-4%. בשנת 2000 ייצרו במפעל 280,000 חפיסות. כמה חפיסות ייצרו בשנת 2006?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. גורם הגדילה: q = (100 + 4)/100 = 1.04
   2. מ-2000 עד 2006 עברו 6 שנים
   3. A = A₀ · q^t = 280,000 · 1.04⁶
   4. 1.04⁶ ≈ 1.26532
   5. A ≈ 354,289 חפיסות

   תשובה: כ-354,289 חפיסות

2. שאלה 2 · גדילה ודעיכה

   במפעל ב' מייצרים חפיסות שוקולד בגדילה מעריכית. בשנת 2000 ייצרו 250,000 חפיסות ובשנת 2003 ייצרו 297,754. בכמה אחוזים גדל הייצור בכל שנה?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מ-2000 עד 2003 עברו 3 שנים
   2. 297,754 = 250,000 · q³
   3. q³ = 297,754 / 250,000 = 1.191016
   4. q = 1.191016^(1/3) = 1.06
   5. אחוז הגדילה: (1.06 − 1) · 100% = 6%

   תשובה: ב-6%

3. שאלה 3 · גדילה ודעיכה

   במפעל א' ייצרו בשנת 2006 כ-354,289 חפיסות שוקולד. במפעל ב' ייצרו בשנת 2003 סך של 297,754 חפיסות, והייצור גדל ב-6% בכל שנה. איזה מפעל ייצר יותר חפיסות בשנת 2006?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מ-2003 עד 2006 עברו 3 שנים
   2. A = 297,754 · 1.06³
   3. 1.06³ ≈ 1.191016
   4. A ≈ 354,630 חפיסות
   5. 354,630 > 354,289, ולכן מפעל ב' ייצר יותר

   תשובה: מפעל ב' — כ-354,630 לעומת 354,289

4. שאלה 4 · הסתברות

   בקלמר של לילך 18 עטים: 6 כחולים, 4 אדומים והשאר שחורים. מהי ההסתברות להוציא באקראי עט שחור?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מספר העטים השחורים: 18 − 6 − 4 = 8
   2. P = 8/18
   3. נצמצם ב-2: P = 4/9

   תשובה: 4/9

5. שאלה 5 · הסתברות

   בקלמר 18 עטים: 6 כחולים, 4 אדומים ו-8 שחורים. לילך הוציאה עט, החזירה אותו, והוציאה שוב. מהי ההסתברות שהוציאה שני עטים כחולים?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. ההוצאה עם החזרה, ולכן ההסתברויות אינן משתנות בין השליפות
   2. P(כחול) = 6/18 = 1/3
   3. P = (1/3) · (1/3) = 1/9

   תשובה: 1/9

6. שאלה 6 · הסתברות

   בקלמר 18 עטים: 6 כחולים, 4 אדומים ו-8 שחורים. לילך הוציאה עט, החזירה אותו, והוציאה שוב. מהי ההסתברות שהוציאה שני עטים באותו צבע?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שלושה מקרים אפשריים: שניהם כחולים, שניהם אדומים, שניהם שחורים
   2. P(כחול־כחול) = (6/18)² = 36/324
   3. P(אדום־אדום) = (4/18)² = 16/324
   4. P(שחור־שחור) = (8/18)² = 64/324
   5. P = (36 + 16 + 64)/324 = 116/324
   6. נצמצם ב-4: P = 29/81

   תשובה: 29/81

7. שאלה 7 · הסתברות

   בקלמר 18 עטים: 6 כחולים, 4 אדומים ו-8 שחורים. לילך הוציאה עט, החזירה אותו, והוציאה שוב. מהי ההסתברות שהוציאה עט אחד אדום ועט אחד כחול, כשהסדר אינו משנה?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שני מסלולים: אדום ואז כחול, או כחול ואז אדום
   2. P(אדום־כחול) = (4/18)·(6/18) = 24/324
   3. P(כחול־אדום) = (6/18)·(4/18) = 24/324
   4. P = 48/324
   5. נצמצם ב-12: P = 4/27

   תשובה: 4/27

8. שאלה 8 · גיאומטריה

   בסירה שני מפרשים שהם משולשים ישרי זווית ודומים זה לזה. יחס הדמיון בין המשולש הגדול ABC למשולש הקטן DEF הוא 3:2. הצלע BC במשולש הגדול אורכה 12 מטרים, והיא מתאימה לצלע EF במשולש הקטן. מצאו את אורך EF.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. יחס הדמיון 3:2 פירושו שכל צלע בגדול גדולה פי 3/2 = 1.5 מהצלע המתאימה בקטן
   2. BC / EF = 1.5
   3. 12 / EF = 1.5
   4. EF = 12 / 1.5 = 8 מטרים

   תשובה: 8 מטרים

9. שאלה 9 · גיאומטריה

   במשולש DEF ישר הזווית ב-E נתון EF = 8 מטרים ו-DF = 10 מטרים. מצאו את אורך הצלע DE.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. הזווית הישרה ב-E, ולכן DF הוא היתר
   2. לפי פיתגורס: EF² + DE² = DF²
   3. 64 + DE² = 100
   4. DE² = 36
   5. DE = 6 מטרים

   תשובה: 6 מטרים

10. שאלה 10 · גיאומטריה

    שני מפרשים משולשים דומים ביחס 3:2. במשולש הקטן DEF הניצבים הם 6 ו-8 מטרים. מצאו את השטח הכולל של שני המפרשים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. S(DEF) = (6 · 8)/2 = 24 מ"ר
    2. יחס השטחים במשולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון
    3. (3/2)² = 9/4 = 2.25
    4. S(ABC) = 24 · 2.25 = 54 מ"ר
    5. השטח הכולל: 24 + 54 = 78 מ"ר

    תשובה: 78 מ"ר

11. שאלה 11 · בעיות מילוליות

    מחיר מטר רבוע של בד מפרש הוא 380 שקלים. יצרן רכש בד בגודל 78 מ"ר וקיבל הנחה של 20% מן המחיר המקורי. כמה שילם היצרן?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. מחיר לאחר הנחה של 20%: 380 · (100 − 20)/100
    2. = 380 · 0.8 = 304 שקלים למ"ר
    3. התשלום הכולל: 304 · 78
    4. = 23,712 שקלים

    תשובה: 23,712 שקלים

12. שאלה 12 · טריגונומטריה

    מתקן לאילוף כלבים בצורת טרפז. הצלע AD אורכה 2 מטרים והזווית שהיא יוצרת עם הקרקע היא 46°. עמוד התמיכה DE מאונך לקרקע. מצאו את אורך DE.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. המשולש ADE ישר זווית ב-E
    2. DE נמצא מול הזווית הנתונה, ולכן משתמשים בסינוס
    3. sin 46° = DE / AD
    4. DE = 2 · sin 46° ≈ 2 · 0.7193
    5. DE ≈ 1.44 מטרים

    תשובה: כ-1.44 מטרים

13. שאלה 13 · טריגונומטריה

    במתקן בצורת טרפז, EDCF הוא מלבן ולכן CF = DE = 1.44 מטרים. הנקודה F נמצאת במרחק 3 מטרים מן הנקודה B. מצאו את אורך הצלע BC.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. המשולש BFC ישר זווית ב-F
    2. לפי פיתגורס: CF² + BF² = BC²
    3. 1.44² + 3² = BC²
    4. 2.0736 + 9 = 11.0736
    5. BC = √11.0736 ≈ 3.33 מטרים

    תשובה: כ-3.33 מטרים

14. שאלה 14 · טריגונומטריה

    במתקן בצורת טרפז, CF = 1.44 מטרים ו-BF = 3 מטרים, והזווית ב-F ישרה. מצאו את גודל הזווית CBF.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. במשולש BFC ישר הזווית ב-F
    2. CF נמצא מול הזווית CBF ו-BF צמוד לה
    3. tan∠CBF = CF / BF = 1.44 / 3 = 0.48
    4. ∠CBF ≈ 25.64°

    תשובה: כ-25.64°

15. שאלה 15 · טריגונומטריה

    במתקן בצורת טרפז, AD = 2 מטרים והזווית שלה עם הקרקע 46°. EDCF הוא מלבן ו-DC = 2.5 מטרים, ו-BF = 3 מטרים. מצאו את אורך הצלע AB.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. AB מורכב משלושה חלקים: AE + EF + BF
    2. AE: במשולש ADE ישר הזווית, cos 46° = AE/AD
    3. AE = 2 · cos 46° ≈ 1.39 מטרים
    4. EDCF מלבן, לכן EF = DC = 2.5 מטרים
    5. AB = 1.39 + 2.5 + 3 = 6.89 מטרים

    תשובה: כ-6.89 מטרים

16. שאלה 16 · סטטיסטיקה

    תלמידי כיתה י"א אספו תרומות. 42 תורמים תרמו 5 שקלים, 71 תרמו 10 שקלים, 53 תרמו 20 שקלים ו-34 תרמו 50 שקלים. כמה תורמים היו, ומהו גובה התרומה הממוצע?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. מספר התורמים: 42 + 71 + 53 + 34 = 200
    2. ממוצע משוקלל: x̄ = (Σ x·f) / N
    3. המונה: 5·42 + 10·71 + 20·53 + 50·34
    4. = 210 + 710 + 1,060 + 1,700 = 3,680
    5. x̄ = 3,680 / 200 = 18.4 שקלים

    תשובה: 200 תורמים, וממוצע של 18.4 שקלים

17. שאלה 17 · סטטיסטיקה

    בהתפלגות התרומות: 42 תרמו 5 שקלים, 71 תרמו 10, 53 תרמו 20 ו-34 תרמו 50. הממוצע הוא 18.4 שקלים. איזה אחוז מן התורמים תרמו מעל לממוצע?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. מעל 18.4 שקלים נמצאות שתי הקבוצות: 20 ו-50 שקלים
    2. מספר התורמים: 53 + 34 = 87
    3. האחוז: 87/200 = 0.435
    4. = 43.5%

    תשובה: 43.5%

18. שאלה 18 · בעיות מילוליות

    תלמידי כיתה י"א אספו תרומות בסך 3,680 שקלים, ותלמידי כיתה י"ב אספו 3,600 שקלים. הם קנו סלי מזון: 48 סלים ליחידים ו-80 סלים למשפחות. סל ליחיד מכיל בקבוק שמן שמחירו x, מוצר ב-18 שקלים ומוצר ב-12 שקלים. סל למשפחה מכיל שני בקבוקי שמן, ומוצרים ב-12, 4 ו-18 שקלים. הביעו באמצעות x את מחיר כל סל.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. סל ליחיד: x + 18 + 12 = x + 30
    2. סל למשפחה: 2x + 12 + 4 + 18 = 2x + 34

    תשובה: סל ליחיד: x + 30 ; סל למשפחה: 2x + 34

19. שאלה 19 · בעיות מילוליות

    מחיר סל מזון ליחיד הוא x + 30 שקלים ומחיר סל למשפחה הוא 2x + 34. קנו 48 סלים ליחידים ו-80 סלים למשפחות, בסכום כולל של 7,280 שקלים. מצאו את x.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. 48(x + 30) + 80(2x + 34) = 7,280
    2. 48x + 1,440 + 160x + 2,720 = 7,280
    3. 208x + 4,160 = 7,280
    4. 208x = 3,120
    5. x = 15 שקלים

    תשובה: x = 15 שקלים

20. שאלה 20 · בעיות מילוליות

    חברה להשכרת רכב מציעה שתי הצעות. הצעה א': 50 שקלים ליום בתוספת 0.5 שקלים לכל ק"מ. מרים שכרה רכב ליום אחד ונסעה 120 ק"מ לפי הצעה א'. כמה שילמה?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. התשלום הקבוע: 50 שקלים
    2. התשלום לפי מרחק: 0.5 · 120 = 60 שקלים
    3. סך הכול: 50 + 60 = 110 שקלים

    תשובה: 110 שקלים

21. שאלה 21 · בעיות מילוליות

    הצעה ב' להשכרת רכב: 50 שקלים עבור נסיעה של עד 80 ק"מ, ומחיר קבוע לכל ק"מ נוסף. נתון שהעלות לנסיעה של 120 ק"מ זהה בשתי ההצעות ועומדת על 110 שקלים. מצאו את המחיר לכל ק"מ נוסף בהצעה ב'.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. 80 הק"מ הראשונים עולים 50 שקלים
    2. התשלום הנוסף: 110 − 50 = 60 שקלים
    3. מספר הק"מ הנוספים: 120 − 80 = 40
    4. המחיר לק"מ נוסף: 60 / 40 = 1.5 שקלים

    תשובה: 1.5 שקלים לק"מ

22. שאלה 22 · בעיות מילוליות

    בהצעה ב': 50 שקלים עבור עד 80 ק"מ, ו-1.5 שקלים לכל ק"מ נוסף. אופק שכר רכב ליום אחד ושילם 194 שקלים סך הכול. כמה ק"מ נסע?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. התשלום מעבר ל-80 הק"מ הראשונים: 194 − 50 = 144 שקלים
    2. מספר הק"מ הנוספים: 144 / 1.5 = 96 ק"מ
    3. המרחק הכולל: 80 + 96 = 176 ק"מ

    תשובה: 176 ק"מ