שאלון 35371 — קיץ מועד ב׳ 2023

18 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · גדילה ודעיכה

   כמות הנפט שמפיקים במדינה גדלה בכל שנה באחוז קבוע. ב-2010 הפיקו 320 מיליוני טונות וב-2013 הפיקו 370.44. בכמה אחוזים גדלה ההפקה בכל שנה?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. בין 2010 ל-2013 עברו שלוש שנים
   2. בגדילה מעריכית: 320 · q³ = 370.44
   3. נחלק ב-320: q³ = 370.44/320 = 1.157625
   4. נוציא שורש שלישי: q = 1.05
   5. גורם הגדילה 1.05 מתאים לגדילה של 5%
   6. כי 1.05 = 1 + 0.05, והחלק שאחרי 1 הוא אחוז הגדילה

   תשובה: 5%

2. שאלה 2 · גדילה ודעיכה

   ב-2010 הפיקו במדינה 320 מיליוני טונות נפט, וההפקה גדלה ב-5% בכל שנה. כמה הפיקו ב-2014?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מ-2010 ל-2014 עברו ארבע שנים
   2. גורם הגדילה השנתי הוא 1.05
   3. נשתמש בנוסחת הגדילה המעריכית: A = A₀ · qᵗ
   4. A = 320 · 1.05⁴
   5. 1.05⁴ = 1.21550625
   6. A = 320 · 1.21550625 = 388.962 מיליוני טונות

   תשובה: כ-388.96 מיליוני טונות

3. שאלה 3 · גדילה ודעיכה

   במדינה השכנה כמות הנפט קטנה ב-8% בכל שנה. ב-2014 הפיקו שם 388.962 מיליוני טונות. כמה הפיקו ב-2017?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. בדעיכה של 8%, גורם הדעיכה הוא 1 − 0.08 = 0.92
   2. מ-2014 ל-2017 עברו שלוש שנים
   3. A = 388.962 · 0.92³
   4. 0.92³ = 0.778688
   5. A = 388.962 · 0.778688
   6. = 302.88 מיליוני טונות

   תשובה: כ-302.88 מיליוני טונות

4. שאלה 4 · הסתברות

   בשק א' יש 32 כדורים, מתוכם 14 אדומים והשאר כחולים. מהי ההסתברות להוציא כדור כחול משק א'?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מספר הכדורים הכחולים הוא 32 − 14 = 18
   2. ההסתברות היא מספר הכדורים הכחולים חלקי סך הכדורים
   3. P = 18/32
   4. נצמצם ב-2: 9/16
   5. בקירוב עשרוני: 0.5625

   תשובה: 9/16

5. שאלה 5 · הסתברות

   בשק א' 32 כדורים ובהם 18 כחולים, ובשק ב' 35 כדורים ובהם 20 אדומים. מוציאים כדור מכל שק. מהי ההסתברות שיצא כחול משק א' ואדום משק ב'?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. ההסתברות לכדור כחול משק א' היא 18/32
   2. ההסתברות לכדור אדום משק ב' היא 20/35
   3. ההוצאות משני שקים שונים ולכן בלתי תלויות
   4. נכפיל: (18/32) · (20/35)
   5. = 360/1120
   6. נצמצם ב-40: 9/28

   תשובה: 9/28

6. שאלה 6 · הסתברות

   בשק ג' יש 15 כדורים, מתוכם 6 סגולים ו-9 לבנים. מוציאים כדור, לא מחזירים אותו, ומוציאים כדור שני. מהי ההסתברות ששני הכדורים סגולים?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. ההסתברות שהכדור הראשון סגול היא 6/15
   2. לא מחזירים את הכדור, ולכן נשארו 14 כדורים
   3. ומכיוון שהוצא סגול, נשארו 5 סגולים
   4. ההסתברות המותנית לכדור שני סגול היא 5/14
   5. נכפיל: (6/15) · (5/14) = 30/210
   6. נצמצם: 1/7

   תשובה: 1/7

7. שאלה 7 · גיאומטריה

   תליון מורכב משני משולשים שווי צלעות. הסבירו מדוע שני המשולשים דומים זה לזה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. במשולש שווה צלעות כל הצלעות שוות, ולכן גם כל הזוויות שוות
   2. סכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות
   3. לכן כל זווית היא 180/3 = 60 מעלות
   4. זה נכון בשני המשולשים, ללא תלות בגודלם
   5. כלומר שלוש הזוויות במשולש אחד שוות לשלוש הזוויות במשולש השני
   6. לפי משפט דמיון זווית-זווית, המשולשים דומים

   תשובה: כל הזוויות בשני המשולשים הן 60 מעלות, ולכן הם דומים

8. שאלה 8 · גיאומטריה

   בתליון שני משולשים שווי צלעות דומים ביחס 3:2. אורך הצלע במשולש הגדול הוא 6 ס"מ. מהו האורך הכולל של חוט הכסף הדרוש להכנת התליון, אם שני המשולשים עשויים מחוט?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. היקף המשולש הגדול הוא 6 · 3 = 18 ס"מ
   2. יחס הדמיון 3:2 אומר שכל צלע בגדול גדולה פי 1.5 מהמקבילה בקטן
   3. לכן צלע המשולש הקטן היא 6/1.5 = 4 ס"מ
   4. היקף המשולש הקטן הוא 4 · 3 = 12 ס"מ
   5. האורך הכולל הוא 18 + 12
   6. = 30 ס"מ

   תשובה: 30 ס"מ

9. שאלה 9 · גיאומטריה

   במשולש שווה צלעות שאורך צלעו 4 ס"מ, מצאו את אורך הגובה ואת שטח המשולש.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. במשולש שווה צלעות הגובה הוא גם תיכון, ולכן הוא מחלק את הבסיס לשניים
   2. חצי הבסיס הוא 2 ס"מ
   3. לפי משפט פיתגורס: גובה² + 2² = 4²
   4. גובה² = 16 − 4 = 12
   5. הגובה הוא √12 = 2√3, כלומר כ-3.464 ס"מ
   6. השטח הוא (בסיס · גובה)/2 = (4 · 2√3)/2
   7. = 4√3, כלומר כ-6.93 סמ"ר

   תשובה: הגובה 2√3 ס"מ, והשטח 4√3 סמ"ר (כ-6.93)

10. שאלה 10 · טריגונומטריה

    במשולש ישר זווית BCE, הזווית C היא 52 מעלות והיתר BC הוא 32 מטרים. מצאו את אורך הניצב CE שמול הזווית C.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הניצב CE נמצא מול הזווית C
    2. לכן נשתמש ביחס הסינוס: sin(C) = CE/BC
    3. sin(52°) = CE/32
    4. CE = 32 · sin(52°)
    5. sin(52°) ≈ 0.788
    6. CE = 32 · 0.788 ≈ 25.22 מטרים

    תשובה: כ-25.22 מטרים

11. שאלה 11 · טריגונומטריה

    במשולש ישר זווית AME, הניצבים הם AE = 42 מטרים ו-ME = 12.61 מטרים. מצאו את אורך היתר AM ואת הזווית MAE.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. לפי משפט פיתגורס: AM² = AE² + ME²
    2. AM² = 42² + 12.61² = 1764 + 159.01 = 1923.01
    3. AM = √1923.01 ≈ 43.85 מטרים
    4. לזווית MAE, הצלע ME נמצאת מולה ו-AE לידה
    5. לכן tan(MAE) = ME/AE = 12.61/42
    6. = 0.3002
    7. MAE = arctan(0.3002) ≈ 16.71 מעלות

    תשובה: AM ≈ 43.85 מטרים, והזווית MAE ≈ 16.71 מעלות

12. שאלה 12 · טריגונומטריה

    בטרפז, הצלע BC היא 32 מטרים והזווית C היא 52 מעלות. מצאו את הניצב BE שליד הזווית.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הניצב BE נמצא ליד הזווית C
    2. לכן נשתמש ביחס הקוסינוס: cos(C) = BE/BC
    3. cos(52°) = BE/32
    4. BE = 32 · cos(52°)
    5. cos(52°) ≈ 0.6157
    6. BE = 32 · 0.6157 ≈ 19.7 מטרים
    7. בדיקה בפיתגורס: 19.7² + 25.22² ≈ 388 + 636 = 1024 = 32² ✓

    תשובה: כ-19.7 מטרים

13. שאלה 13 · סטטיסטיקה

    בחנות נמכרו ביום מסוים מוצרים מארבעה סוגים. עפרונות 30%, סרגלים 20%, מחקים 22%, והשאר עטים. איזה אחוז מהמוצרים היו עטים?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. סך כל האחוזים בדיאגרמת עיגול הוא 100%
    2. האחוז של העטים הוא מה שנשאר
    3. 100 − 30 − 20 − 22
    4. = 100 − 72
    5. = 28%

    תשובה: 28%

14. שאלה 14 · סטטיסטיקה

    נמכרו 200 מוצרים: 60 עפרונות ב-3 ש"ח, 40 סרגלים ב-5 ש"ח, 44 מחקים ב-6 ש"ח ו-56 עטים ב-12 ש"ח. מהו המחיר הממוצע של מוצר?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נשתמש בנוסחת הממוצע המשוקלל: סכום (מחיר · כמות) חלקי סך הכמות
    2. 3 · 60 = 180
    3. 5 · 40 = 200
    4. 6 · 44 = 264
    5. 12 · 56 = 672
    6. סכום ההכנסות: 180 + 200 + 264 + 672 = 1,316
    7. הממוצע: 1,316/200 = 6.58 ש"ח

    תשובה: 6.58 ש"ח

15. שאלה 15 · סטטיסטיקה

    נמכרו 200 מוצרים: 60 ב-3 ש"ח, 40 ב-5 ש"ח, 44 ב-6 ש"ח ו-56 ב-12 ש"ח. מהו חציון המחירים?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נסדר את המחירים בסדר עולה ונבנה שכיחות מצטברת
    2. 3 ש"ח: מקומות 1 עד 60
    3. 5 ש"ח: מקומות 61 עד 100
    4. 6 ש"ח: מקומות 101 עד 144
    5. 12 ש"ח: מקומות 145 עד 200
    6. מספר הנתונים זוגי (200), ולכן החציון הוא ממוצע שני האמצעיים: המקום ה-100 וה-101
    7. המקום ה-100 הוא 5 ש"ח והמקום ה-101 הוא 6 ש"ח
    8. החציון הוא (5 + 6)/2 = 5.5 ש"ח

    תשובה: 5.5 ש"ח

16. שאלה 16 · סטטיסטיקה

    המחיר הממוצע של המוצרים שנמכרו היה 6.58 ש"ח. בסוף היום נמכרו 25 עטים נוספים בהנחה של 30% על מחיר של 12 ש"ח. האם המחיר הממוצע גדל או קטן?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. מחיר העט אחרי הנחה של 30% הוא 12 · 0.7
    2. = 8.4 ש"ח
    3. המחיר הזה גבוה מהממוצע הקיים, שהוא 6.58 ש"ח
    4. הוספת מוצרים במחיר גבוה מהממוצע מושכת את הממוצע כלפי מעלה
    5. לכן המחיר הממוצע גדל
    6. אין צורך לחשב את הממוצע החדש כדי לענות — מספיק להשוות

    תשובה: גדל

17. שאלה 17 · בעיות מילוליות

    בקופת ועד של בניין ב' היו בתחילת 2020 מינוס 4,750 ש"ח, ובכל חודש נוספים 960 ש"ח. האם כעבור 5 חודשים הקופה עדיין בגירעון?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הביטוי לסכום בקופה הוא y = −4750 + 960x, כאשר x הוא מספר החודשים
    2. נציב x = 5
    3. y = −4750 + 960 · 5
    4. = −4750 + 4800
    5. = 50 ש"ח
    6. הסכום חיובי, ולכן הקופה כבר אינה בגירעון

    תשובה: לא, יש בה 50 ש"ח

18. שאלה 18 · בעיות מילוליות

    בקופת בניין א' יש y = 650 + 600x, ובקופת בניין ב' יש y = −4750 + 960x, כאשר x הוא מספר החודשים. כעבור כמה חודשים יהיה בשתי הקופות אותו סכום?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נשווה את שני הביטויים
    2. 650 + 600x = −4750 + 960x
    3. נעביר את ה-x לאגף אחד ואת המספרים לשני
    4. 650 + 4750 = 960x − 600x
    5. 5400 = 360x
    6. x = 5400/360 = 15
    7. בדיקה: 650 + 600 · 15 = 9,650, וגם −4750 + 960 · 15 = 9,650

    תשובה: כעבור 15 חודשים