שאלון 35371 — קיץ מועד ב׳ 2022

18 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · הסתברות

   גלגל מחולק לשש גזרות שוות: על שלוש מהן רשום 7, על שתיים רשום 8 ועל אחת רשום 9. מסובבים את הגלגל פעם אחת. מהי ההסתברות שייעצר על המספר 9, ומהי ההסתברות שייעצר על המספר 8?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שש הגזרות שוות בגודלן, ולכן לכל גזרה הסתברות 1/6
   2. המספר 9 רשום על גזרה אחת: P(9) = 1/6
   3. המספר 8 רשום על שתי גזרות: P(8) = 2/6
   4. = 1/3

   תשובה: P(9) = 1/6 ו-P(8) = 1/3

2. שאלה 2 · הסתברות

   גלגל מחולק לשש גזרות שוות: שלוש נושאות 7, שתיים נושאות 8 ואחת נושאת 9. מסובבים פעם אחת. מהי ההסתברות שהגלגל ייעצר על מספר אי-זוגי?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. המספרים האי-זוגיים הם 7 ו-9
   2. 7 מופיע על שלוש גזרות ו-9 על גזרה אחת
   3. יחד: 4 גזרות מתוך 6
   4. P = 4/6 = 2/3

   תשובה: 2/3

3. שאלה 3 · הסתברות

   בגלגל שש גזרות שוות: שלוש נושאות 7, שתיים נושאות 8 ואחת נושאת 9. מסובבים את הגלגל פעמיים. מהי ההסתברות שבשתי הפעמים ייעצר על המספר 8?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. בסיבוב בודד P(8) = 2/6 = 1/3
   2. הסיבובים בלתי תלויים, ולכן מכפילים
   3. P = 1/3 · 1/3
   4. = 1/9

   תשובה: 1/9

4. שאלה 4 · הסתברות

   בגלגל שש גזרות שוות: שלוש נושאות 7, שתיים נושאות 8 ואחת נושאת 9. מסובבים פעמיים. מהי ההסתברות שסכום שני המספרים יהיה 16?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נבדוק אילו זוגות נותנים סכום 16: (7,9), (9,7) ו-(8,8)
   2. P(7 ואז 9) = (3/6)(1/6) = 3/36
   3. P(9 ואז 7) = (1/6)(3/6) = 3/36
   4. P(8 ואז 8) = (2/6)(2/6) = 4/36
   5. סך הכול: 3/36 + 3/36 + 4/36 = 10/36
   6. = 5/18 ≈ 0.278

   תשובה: 5/18

5. שאלה 5 · גיאומטריה

   בריכת שחייה מורכבת ממלבן ABCD שאורכי צלעותיו 40 מטר ו-20 מטר, ומחצי עיגול שקוטרו הצלע BC (הצלע שאורכה 20 מטר). מצאו את הרדיוס של חצי העיגול.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. BC הוא קוטר חצי העיגול, ואורכו 20 מטר
   2. הרדיוס הוא מחצית הקוטר
   3. R = 20 : 2
   4. = 10 מטר

   תשובה: 10 מטר

6. שאלה 6 · גיאומטריה

   הבריכה מורכבת ממלבן 40 על 20 מטר ומחצי עיגול שרדיוסו 10 מטר הצמוד לצלע BC. המסלול האמצעי EF מתחיל באמצע הצלע AD, עובר דרך מרכז העיגול O ומסתיים באמצע הקשת. מצאו את אורך המסלול האמצעי.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. הקטע EO חוצה את המלבן לאורכו, ולכן אורכו 40 מטר
   2. הקטע OF הוא רדיוס של חצי העיגול, ולכן אורכו 10 מטר
   3. אורך המסלול: EF = EO + OF
   4. = 40 + 10
   5. = 50 מטר

   תשובה: 50 מטר

7. שאלה 7 · בעיות מילוליות

   אורך המסלול האמצעי בבריכה הוא 50 מטר. נדב רוצה לשחות 1,000 מטר סך הכול. כמה פעמים יצטרך לשחות לכל אורך המסלול האמצעי?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מספר הפעמים = 1,000 : 50
   2. = 20 פעמים

   תשובה: 20 פעמים

8. שאלה 8 · גיאומטריה

   הבריכה מורכבת ממלבן 40 על 20 מטר ומחצי עיגול שרדיוסו 10 מטר הצמוד לצלע הקצרה. נדב שחה צמוד לשפת הבריכה במסלול המקיף פעם אחת את כל הבריכה. מהו אורך המסלול?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. המסלול מורכב משלוש צלעות של המלבן ומקשת חצי העיגול
   2. הצלע BC אינה נספרת — במקומה עוברים לאורך הקשת
   3. שלוש הצלעות: 40 + 20 + 40 = 100 מטר
   4. אורך חצי מעגל: πR = π · 10 ≈ 31.42 מטר
   5. סך הכול: 100 + 31.42 ≈ 131.42 מטר

   תשובה: כ-131.42 מטר

9. שאלה 9 · גיאומטריה

   מעמד בצורת משולש שווה שוקיים ABC (AB = AC) ובו קורה אנכית תומכת AG שאורכה 46 ס"מ, כאשר G על BC. אורך המדף התחתון BC הוא 69 ס"מ. מהו האורך של קורת העץ AB?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס חוצה אותו
   2. BG = 69 : 2 = 34.5 ס"מ
   3. המשולש ABG ישר זווית ב-G
   4. AB² = 46² + 34.5² = 2,116 + 1,190.25 = 3,306.25
   5. AB = √3,306.25 = 57.5 ס"מ

   תשובה: 57.5 ס"מ

10. שאלה 10 · גיאומטריה

    במעמד המשולשי, המדף הפנימי DE מקביל למדף התחתון BC, והקורה AG חוצה את שניהם (את DE בנקודה F ואת BC בנקודה G). הוכיחו כי המשולשים ADF ו-ABG דומים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הזווית ב-A משותפת לשני המשולשים
    2. DE מקביל ל-BC, ולכן הזוויות ADF ו-ABG הן זוויות מתאימות בין מקבילים
    3. זוויות מתאימות בין מקבילים שוות זו לזו
    4. שתי זוויות שוות בהתאמה — לפי משפט דמיון ז.ז המשולשים דומים

    תשובה: המשולשים דומים לפי משפט דמיון ז.ז

11. שאלה 11 · גיאומטריה

    במעמד המשולשי אורך המדף הפנימי DE הוא 51.75 ס"מ ואורך המדף התחתון BC הוא 69 ס"מ, והמשולשים ADF ו-ABG דומים. חשבו את יחס הדמיון בין המשולש ADF ובין המשולש ABG.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. DE ו-BC הם צלעות מתאימות במשולשים הדומים
    2. יחס הדמיון: DE : BC = 51.75 : 69
    3. = 0.75
    4. כלומר היחס הוא 3 : 4

    תשובה: 3 : 4 (כלומר 0.75)

12. שאלה 12 · גיאומטריה

    במעמד המשולשי אורך הקורה AG הוא 46 ס"מ, ויחס הדמיון בין המשולש ADF ובין המשולש ABG הוא 3:4. חשבו את האורך של AF, ובדקו אם אפשר להעמיד על המדף התחתון גביע שגובהו 12 ס"מ.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. AF ו-AG הם קטעים מתאימים במשולשים הדומים
    2. AF = AG · 0.75 = 46 · 0.75
    3. AF = 34.5 ס"מ
    4. המרווח בין המדף התחתון למדף הפנימי הוא FG
    5. FG = AG − AF = 46 − 34.5 = 11.5 ס"מ
    6. 12 > 11.5, ולכן אי אפשר להעמיד את הגביע על המדף התחתון

    תשובה: AF = 34.5 ס"מ, והגביע אינו נכנס — המרווח הוא 11.5 ס"מ בלבד

13. שאלה 13 · בעיות מילוליות

    מחיר בריסטול אחד הוא 3 שקלים ומחיר דף מדבקות אחד 2 שקלים. גננת קנתה 20 בריסטולים וכמה דפי מדבקות, ושילמה 120 שקלים סך הכול. כמה דפי מדבקות קנתה?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. עלות הבריסטולים: 20 · 3 = 60 שקלים
    2. נותר לדפי המדבקות: 120 − 60 = 60 שקלים
    3. מספר הדפים: 60 : 2
    4. = 30 דפי מדבקות

    תשובה: 30 דפי מדבקות

14. שאלה 14 · בעיות מילוליות

    בריסטול עולה 3 שקלים ודף מדבקות 2 שקלים. בחודש השני קנתה הגננת מספר שווה של בריסטולים ושל דפי מדבקות ושילמה 120 שקלים. כמה בריסטולים קנתה?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נסמן ב-n את מספר הבריסטולים, ואז גם דפי המדבקות הם n
    2. 3n + 2n = 120
    3. 5n = 120
    4. n = 24 בריסטולים (וגם 24 דפי מדבקות)

    תשובה: 24 בריסטולים

15. שאלה 15 · בעיות מילוליות

    בחודש השלישי קנתה הגננת בריסטולים (3 שקלים) ודפי מדבקות (2 שקלים) ושילמה 120 שקלים. בחודש הרביעי עלה מחיר הבריסטול ב-20% (מחיר דף המדבקות לא השתנה), היא קנתה בדיוק את אותן כמויות ושילמה 138 שקלים. כמה בריסטולים וכמה דפי מדבקות קנתה בחודש השלישי?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נסמן ב-b את מספר הבריסטולים וב-m את דפי המדבקות
    2. חודש שלישי: 3b + 2m = 120
    3. מחיר הבריסטול החדש: 3 · 1.2 = 3.6 שקלים
    4. חודש רביעי: 3.6b + 2m = 138
    5. נחסר בין המשוואות: 0.6b = 18
    6. b = 30 בריסטולים
    7. נציב: 3 · 30 + 2m = 120 ולכן 2m = 30 ומכאן m = 15
    8. בדיקה: 3.6 · 30 + 2 · 15 = 108 + 30 = 138 ✓

    תשובה: 30 בריסטולים ו-15 דפי מדבקות

16. שאלה 16 · סטטיסטיקה

    במספרה ביום מסוים: 14 לקוחות בתספורת לגבר (50 שקלים), 23 בתספורת לילד (40 שקלים), 10 בסידור זקן בלבד (20 שקלים) ו-3 בתספורת לגבר וסידור זקן (60 שקלים). כמה לקוחות סך הכול קיבלו שירות, ומה היה התשלום הממוצע ללקוח?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. מספר הלקוחות: 14 + 23 + 10 + 3 = 50
    2. סך התשלומים: 14·50 + 23·40 + 10·20 + 3·60
    3. = 700 + 920 + 200 + 180
    4. = 2,000 שקלים
    5. ממוצע: 2,000 : 50 = 40 שקלים

    תשובה: 50 לקוחות, והתשלום הממוצע 40 שקלים

17. שאלה 17 · סטטיסטיקה

    במספרה היו 50 לקוחות והתשלום הממוצע ללקוח היה 40 שקלים. לאחר סיום היום הגיע ילד נוסף ושילם 40 שקלים (תספורת לילד). האם התשלום הממוצע גדל, קטן או לא השתנה? נמקו.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. סך התשלומים החדש: 2,000 + 40 = 2,040 שקלים
    2. מספר הלקוחות החדש: 50 + 1 = 51
    3. ממוצע חדש: 2,040 : 51 = 40 שקלים
    4. הממוצע לא השתנה
    5. ההסבר: הערך שנוסף שווה בדיוק לממוצע הקיים, ולכן אינו מושך אותו לאף כיוון

    תשובה: לא השתנה — הממוצע נשאר 40 שקלים

18. שאלה 18 · סטטיסטיקה

    במספרה היו 50 לקוחות בממוצע תשלום של 40 שקלים, ואז הגיע ילד נוסף ששילם 40 שקלים. האם סטיית התקן של התשלומים באותו יום גדלה, קטנה או לא השתנתה? הסבירו.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הממוצע לא השתנה ונשאר 40 שקלים
    2. התשלום שנוסף שווה בדיוק לממוצע, ולכן הסטייה שלו מן הממוצע היא 0
    3. סכום ריבועי הסטיות לא גדל כלל
    4. לעומת זאת מספר הלקוחות גדל מ-50 ל-51
    5. השונות היא סכום ריבועי הסטיות חלקי מספר הפריטים — המונה קבוע והמכנה גדל
    6. לכן השונות קטנה, ואיתה גם סטיית התקן (מ-11.49 לכ-11.38)

    תשובה: קטנה — מ-11.49 ל-11.38 בקירוב