שאלון 35371 — חורף 2022

16 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · גדילה ודעיכה

   בבריכת המבוגרים היו 1,600 מ"ק מים בשעה 10:00, וכמות המים קטנה בצורה מעריכית ב-10% בכל שעה. חשבו מה הייתה כמות המים בבריכה בשעה 15:00.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מ-10:00 עד 15:00 חלפו 5 שעות
   2. ירידה של 10% בשעה: מכפילים ב-0.9 בכל שעה
   3. כמות = 1,600 · 0.9⁵
   4. 0.9⁵ = 0.59049
   5. = 1,600 · 0.59049 ≈ 944.78 מ"ק

   תשובה: כ-944.78 מ"ק

2. שאלה 2 · גדילה ודעיכה

   בבריכת הילדים היו 380 מ"ק מים בשעה 10:00, וכמות המים גדלה בצורה מעריכית. בשעה 15:00 הייתה כמות המים בשתי הבריכות שווה, וכמות המים בבריכת המבוגרים באותה שעה הייתה כ-944.78 מ"ק. מצאו פי כמה גדלה כמות המים בבריכת הילדים בכל שעה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נסמן ב-q את גורם הגדילה השעתי
   2. 380 · q⁵ = 944.78
   3. q⁵ = 944.78 : 380 ≈ 2.4863
   4. q = ⁵√2.4863
   5. q ≈ 1.2
   6. כלומר כמות המים גדלה פי 1.2 בכל שעה (עלייה של 20%)

   תשובה: פי 1.2 בכל שעה

3. שאלה 3 · הסתברות

   בארנק של הדר 10 שטרות: 5 שטרות של 20 שקלים, 4 שטרות של 50 שקלים ושטר אחד של 200 שקלים. היא מוציאה באקראי שטר אחד. מהי ההסתברות שהשטר הוא של 200 שקלים?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. בארנק 10 שטרות סך הכול
   2. שטר אחד בלבד הוא של 200 שקלים
   3. P = 1/10
   4. = 0.1

   תשובה: 0.1

4. שאלה 4 · הסתברות

   בארנק 5 שטרות של 20 שקלים, 4 של 50 שקלים ואחד של 200 שקלים. הדר מוציאה שטר אחד באקראי. מהי ההסתברות שהשטר הספיק לתשלום בעבור קופסת שוקולדים שמחירה 45 שקלים?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שטר מספיק אם ערכו לפחות 45 שקלים
   2. שטר של 20 שקלים אינו מספיק
   3. שטרות של 50 שקלים מספיקים — יש 4 כאלה
   4. השטר של 200 שקלים מספיק — יש 1
   5. סך המתאימים: 4 + 1 = 5
   6. P = 5/10 = 0.5

   תשובה: 0.5

5. שאלה 5 · הסתברות

   בארנק 5 שטרות של 20 שקלים, 4 של 50 שקלים ואחד של 200 שקלים. הדר מוציאה שני שטרות בזה אחר זה (ללא החזרה) כדי לשלם על מעיל שמחירו 250 שקלים. מהי ההסתברות ששני השטרות הספיקו יחד?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נבדוק אילו זוגות מגיעים לסכום 250 שקלים לפחות
   2. 20 + 20 = 40, 20 + 50 = 70, 50 + 50 = 100 — כולם קטנים מ-250
   3. 200 + 20 = 220 — עדיין קטן מ-250
   4. 200 + 50 = 250 — מספיק בדיוק
   5. זהו הזוג היחיד, והוא יכול לצאת בשני סדרים
   6. P = 2 · (1/10) · (4/9) = 8/90
   7. = 4/45 ≈ 0.089

   תשובה: 4/45 ≈ 0.089

6. שאלה 6 · טריגונומטריה

   מסוק מרחף בנקודה A מעל הים, וספינה נמצאת בנקודה C. המרחק בין המסוק לספינה בקו ישר (AC) הוא 1,265 מטרים, וזווית העומק שבה טייס המסוק רואה את הספינה היא 59°. חשבו את גובה המסוק מעל פני הים.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. הגובה הוא הניצב שמול זווית העומק במשולש ישר הזווית
   2. sin59° = גובה / AC
   3. גובה = 1,265 · sin59°
   4. = 1,265 · 0.8572
   5. ≈ 1,084.32 מטרים

   תשובה: כ-1,084.32 מטרים

7. שאלה 7 · טריגונומטריה

   מסוק בנקודה A נמצא בגובה 1,084.32 מטרים מעל הספינה, והמרחק האופקי בינו לספינה הוא 651.52 מטרים. נדב עומד בנקודה B על שפת צוק שגובהו כגובה המסוק, וזווית העומק שבה הוא רואה את הספינה היא 38°. באיזה מרחק נמצא המסוק מנדב?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. המרחק האופקי מנדב לספינה: BD = גובה / tan38°
   2. BD = 1,084.32 / 0.7813 ≈ 1,387.86 מטרים
   3. המרחק האופקי מן המסוק לספינה: AD ≈ 651.52 מטרים
   4. המסוק ונדב באותו גובה, ולכן AB הוא ההפרש בין שני המרחקים האופקיים
   5. AB = 1,387.86 − 651.52
   6. ≈ 736.34 מטרים

   תשובה: כ-736.34 מטרים

8. שאלה 8 · בעיות מילוליות

   המרחק בין המסוק לנדב הוא כ-736.34 מטרים, ומהירות הטיסה של המסוק היא 40 מטרים לשנייה. האם יוכל המסוק להגיע לשפת הצוק בפחות מדקה אחת? פרטו את חישוביכם.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. זמן = מרחק : מהירות
   2. זמן = 736.34 : 40
   3. ≈ 18.41 שניות
   4. דקה אחת היא 60 שניות
   5. 18.41 < 60, ולכן המסוק יגיע בפחות מדקה

   תשובה: כן — כ-18.4 שניות בלבד

9. שאלה 9 · גיאומטריה

   שחקנית טניס עומדת בנקודה B ומגישה מן הנקודה A שגובהה 2.25 מטרים. הכדור עובר מעל רשת אנכית CD ופוגע בקרקע בנקודה E. אורך מסלול הכדור AE הוא 5.85 מטרים, והמסלול הוא בקירוב קו ישר. מצאו את המרחק BE.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. המשולש ABE ישר זווית ב-B (הגובה AB אנכי לקרקע)
   2. לפי פיתגורס: BE² = AE² − AB²
   3. = 5.85² − 2.25² = 34.2225 − 5.0625
   4. = 29.16
   5. BE = √29.16 = 5.4 מטרים

   תשובה: 5.4 מטרים

10. שאלה 10 · גיאומטריה

    בציור הטניס: AB = 2.25 מטרים (גובה נקודת ההגשה), BE = 5.4 מטרים, והמרחק בין השחקנית לרשת (BD) הוא 3.24 מטרים. מהם שני המשולשים הדומים בציור, ומהו המרחק בין הרשת לנקודת הפגיעה (DE)?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. AB ו-CD שניהם אנכיים לקרקע, ולכן הם מקבילים זה לזה
    2. הזווית ב-E משותפת לשני המשולשים
    3. לכן המשולשים ABE ו-CDE דומים לפי ז.ז
    4. הנקודה D נמצאת בין B ל-E
    5. DE = BE − BD = 5.4 − 3.24
    6. = 2.16 מטרים

    תשובה: המשולשים ABE ו-CDE דומים, ו-DE = 2.16 מטרים

11. שאלה 11 · גיאומטריה

    המשולשים ABE ו-CDE דומים, כאשר AB = 2.25 מטרים, BE = 5.4 מטרים ו-DE = 2.16 מטרים. מהו גובה הרשת (CD)?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. מן הדמיון: CD/AB = DE/BE
    2. CD = AB · DE/BE
    3. = 2.25 · 2.16 / 5.4
    4. = 4.86 / 5.4
    5. = 0.9 מטרים

    תשובה: 0.9 מטרים

12. שאלה 12 · בעיות מילוליות

    חברת סלולר מציעה שלושה מסלולים: הרגיל — 10 שקלים קבוע ועוד 0.5 שקל לדקה; המותאם — 4 שקלים קבוע ועוד 0.6 שקל לדקה; הקבוע — 40 שקלים ללא תוספת. אורי מדבר 100 דקות בחודש. כמה עליו לשלם בכל אחד מן המסלולים?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. המסלול הרגיל: 10 + 0.5 · 100 = 10 + 50 = 60 שקלים
    2. המסלול המותאם: 4 + 0.6 · 100 = 4 + 60 = 64 שקלים
    3. המסלול הקבוע: 40 שקלים ללא תלות במספר הדקות
    4. המסלול הקבוע הוא הזול ביותר עבור אורי

    תשובה: רגיל 60 שקלים, מותאם 64 שקלים, קבוע 40 שקלים

13. שאלה 13 · סטטיסטיקה

    בחנות ספרים נמכרו ביום מסוים 100 ספרים. לפי הדיאגרמה: 35 ספרים ב-30 שקלים, 25 ספרים ב-40 שקלים, 25 ספרים ב-50 שקלים, והשאר ב-20 שקלים. כמה ספרים שמחירם 20 שקלים נמכרו?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. סך הספרים הידועים: 35 + 25 + 25 = 85
    2. סך כל הספרים: 100
    3. מספר הספרים ב-20 שקלים: 100 − 85
    4. = 15 ספרים

    תשובה: 15 ספרים

14. שאלה 14 · סטטיסטיקה

    נמכרו 100 ספרים: 15 ספרים ב-20 שקלים, 35 ב-30 שקלים, 25 ב-40 שקלים ו-25 ב-50 שקלים. חשבו את המחיר הממוצע של ספר ומצאו את המחיר השכיח.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. ממוצע משוקלל: (20·15 + 30·35 + 40·25 + 50·25) : 100
    2. = (300 + 1,050 + 1,000 + 1,250) : 100
    3. = 3,600 : 100
    4. = 36 שקלים
    5. השכיח הוא המחיר שנמכר במספר הספרים הגדול ביותר
    6. 35 ספרים ב-30 שקלים — יותר מכל מחיר אחר, ולכן השכיח הוא 30 שקלים

    תשובה: הממוצע 36 שקלים, והשכיח 30 שקלים

15. שאלה 15 · סטטיסטיקה

    המחיר הממוצע של 100 הספרים שנמכרו הוא 36 שקלים. התגלה שנמכרו באותו יום 5 ספרים נוספים, שמחיר כל אחד מהם 36 שקלים. אם נכלול אותם בחישוב, האם המחיר הממוצע יגדל, יקטן או יישאר ללא שינוי? הסבירו.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. סך המחירים הקודם: 36 · 100 = 3,600 שקלים
    2. תוספת: 5 · 36 = 180 שקלים
    3. סך חדש: 3,780 שקלים, ומספר הספרים 105
    4. ממוצע חדש: 3,780 : 105 = 36 שקלים
    5. ההסבר: כל ספר שנוסף עולה בדיוק כמו הממוצע הקיים, ולכן אינו מושך אותו לאף כיוון

    תשובה: יישאר ללא שינוי — הממוצע נשאר 36 שקלים

16. שאלה 16 · סטטיסטיקה

    המחיר הממוצע של 100 הספרים הוא 36 שקלים, ונוספו 5 ספרים שמחיר כל אחד 36 שקלים. אם נכלול אותם בחישוב סטיית התקן, האם היא תגדל, תקטן או תישאר ללא שינוי? הסבירו.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הממוצע לא השתנה ונשאר 36 שקלים
    2. כל אחד מחמשת הספרים החדשים שווה בדיוק לממוצע, ולכן הסטייה שלו היא 0
    3. סכום ריבועי הסטיות לא גדל כלל
    4. לעומת זאת מספר הספרים גדל מ-100 ל-105
    5. השונות היא סכום ריבועי הסטיות חלקי מספר הפריטים — המונה קבוע והמכנה גדל
    6. לכן השונות קטנה, ואיתה סטיית התקן (מכ-10.20 לכ-9.95)

    תשובה: תקטן — מכ-10.20 לכ-9.95