שאלון 35372 — קיץ מועד א׳ 2022

19 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · גופים במרחב

   חרוט שרדיוסו 1.2 ס"מ וגובהו 9 ס"מ. חשבו את נפחו.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נפח חרוט: V = (π·R²·h)/3
   2. V = (π · 1.44 · 9)/3
   3. = π · 4.32 ≈ 13.57 סמ"ק

   תשובה: כ-4.32π ≈ 13.57 סמ"ק

2. שאלה 2 · גיאומטריה אנליטית

   משוואת הצלע AC היא y = −(1/3)x − 2, והקודקוד C נמצא על ציר ה-x. מצאו את שיעורי C.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. C על ציר ה-x, כלומר y = 0
   2. 0 = −(1/3)x − 2
   3. (1/3)x = −2
   4. x = −6
   5. C(−6 , 0)

   תשובה: C(−6 , 0)

3. שאלה 3 · גיאומטריה אנליטית

   משוואת AC היא y = −(1/3)x − 2 ומשוואת AB היא y = 2x − 9. מצאו את שיעורי הקודקוד A.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. בנקודת החיתוך שני הביטויים ל-y שווים
   2. 2x − 9 = −(1/3)x − 2
   3. 2x + (1/3)x = 7
   4. (7/3)x = 7 → x = 3
   5. y = 2 · 3 − 9 = −3
   6. A(3 , −3)

   תשובה: A(3 , −3)

4. שאלה 4 · גיאומטריה אנליטית

   נתונים B(8 , 7) ו-C(−6 , 0). מצאו את משוואת הצלע BC.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שיפוע BC: (7 − 0)/(8 − (−6)) = 7/14 = ½
   2. הישר עובר ב-C(−6 , 0):
   3. y − 0 = ½(x + 6)
   4. y = ½x + 3

   תשובה: y = ½x + 3

5. שאלה 5 · גופים במרחב

   בתבנית חרוט חדשה, קוטר הבסיס גדול ב-10% מהקוטר הקודם (2.4 ס"מ) והגובה קטן ב-10% מהגובה הקודם (9 ס"מ). מצאו את ממדי התבנית החדשה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. הקוטר החדש: 2.4 · 1.1 = 2.64 ס"מ
   2. הגובה החדש: 9 · 0.9 = 8.1 ס"מ
   3. הרדיוס החדש: 2.64/2 = 1.32 ס"מ

   תשובה: קוטר 2.64 ס"מ וגובה 8.1 ס"מ

6. שאלה 6 · גיאומטריה אנליטית

   נתונים A(3 , −3), C(−6 , 0) ו-E(0 , 3), כאשר AE מאונך ל-CE. חשבו את שטח המשולש ACE.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. AE = √((3 − 0)² + (−3 − 3)²) = √(9 + 36) = √45
   2. CE = √((−6 − 0)² + (0 − 3)²) = √(36 + 9) = √45
   3. הזווית ב-E ישרה, ולכן AE ו-CE הם הניצבים
   4. S = (√45 · √45)/2 = 45/2
   5. = 22.5

   תשובה: 22.5

7. שאלה 7 · גופים במרחב

   תבנית בצורת חרוט שקוטר בסיסה 2.4 ס"מ וגובהה 9 ס"מ. מצאו את אורך הקו היוצר.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. הרדיוס: 2.4/2 = 1.2 ס"מ
   2. הגובה, הרדיוס והקו היוצר יוצרים משולש ישר זווית
   3. l² = 9² + 1.2² = 81 + 1.44 = 82.44
   4. l = √82.44 ≈ 9.08 ס"מ

   תשובה: כ-9.08 ס"מ

8. שאלה 8 · גופים במרחב

   בחרוט שרדיוסו 1.2 ס"מ והקו היוצר שלו 9.08 ס"מ, חשבו את שטח המעטפת.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שטח מעטפת חרוט: M = π·R·l
   2. M = π · 1.2 · 9.08
   3. ≈ 10.9π ≈ 34.23 סמ"ר

   תשובה: כ-10.9π ≈ 34.23 סמ"ר

9. שאלה 9 · סטטיסטיקה

   משקל תינוקות בלידתם מתפלג נורמלית עם ממוצע 3,500 גרם. נתון כי 0.5% מן התינוקות נולדים במשקל נמוך מ-2,000 גרם. מצאו את סטיית התקן.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. בגרף ההתפלגות הנורמלית, 0.5% בקצה השמאלי מתאימים ל-2.5 סטיות תקן מתחת לממוצע
   2. z = −2.5
   3. −2.5 = (2,000 − 3,500)/S
   4. −2.5S = −1,500
   5. S = 600 גרם

   תשובה: 600 גרם

10. שאלה 10 · סטטיסטיקה

    משקל תינוקות מתפלג נורמלית עם ממוצע 3,500 גרם וסטיית תקן 600 גרם. בחודש שעבר נולדו 400 תינוקות. כמה מהם נולדו במשקל שבין 2,600 ל-4,100 גרם?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. 2,600 = 3,500 − 900, כלומר 1.5 סטיות תקן מתחת לממוצע
    2. 4,100 = 3,500 + 600, כלומר סטיית תקן אחת מעל
    3. בגרף הנורמלי, האחוזים ברצועות אלה: 9% + 15% + 19% + 19% + 15%
    4. = 77%
    5. 0.77 · 400 = 308 תינוקות

    תשובה: 308 תינוקות

11. שאלה 11 · סטטיסטיקה

    משקל תינוקות מתפלג נורמלית עם ממוצע 3,500 גרם וסטיית תקן 600 גרם. 2% מן התינוקות, בעלי המשקלים הגבוהים ביותר, זקוקים למעקב רפואי. מעל איזה משקל?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נספור מהקצה הימני של הגרף הנורמלי: 0.5% + 1.5% = 2%
    2. שתי רצועות אלה מתחילות ב-2 סטיות תקן מעל הממוצע
    3. 3,500 + 2 · 600 = 4,700 גרם

    תשובה: מעל 4,700 גרם

12. שאלה 12 · תכנון ליניארי

    נדב מכין פיצות. פיצה משפחתית דורשת 300 גרם בצק ו-12 דקות אפייה; פיצה אישית דורשת 100 גרם ו-8 דקות. ביום מסוים יש לכל היותר 2,700 גרם בצק ו-120 דקות אפייה. נסמן ב-x משפחתיות וב-y אישיות. כתבו את מערכת האילוצים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. אילוץ הבצק: 300x + 100y ≤ 2,700
    2. אילוץ זמן האפייה: 12x + 8y ≤ 120
    3. הכמויות אינן שליליות: x ≥ 0 , y ≥ 0

    תשובה: 300x + 100y ≤ 2,700 ; 12x + 8y ≤ 120 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

13. שאלה 13 · תכנון ליניארי

    הרווח מפיצה משפחתית 25 שקלים ומפיצה אישית 18. קודקודי התחום האפשרי הם (0,0), (9,0), (8,3) ו-(0,15). כמה פיצות מכל סוג על נדב להכין כדי למקסם את הרווח, ומהו הרווח המקסימלי?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. פונקציית המטרה: f(x,y) = 25x + 18y
    2. (0 , 0) → 0
    3. (9 , 0) → 25 · 9 = 225
    4. (8 , 3) → 200 + 54 = 254
    5. (0 , 15) → 18 · 15 = 270
    6. המקסימום: 270 שקלים ב-(0 , 15)

    תשובה: 15 פיצות אישיות בלבד — רווח של 270 שקלים

14. שאלה 14 · תכנון ליניארי

    נתונים האילוצים 3x + y ≤ 27 ו-12x + 8y ≤ 120. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של שני הישרים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. מהראשון: y = 27 − 3x
    2. נציב בשני: 12x + 8(27 − 3x) = 120
    3. 12x + 216 − 24x = 120
    4. −12x = −96 → x = 8
    5. y = 27 − 24 = 3
    6. הנקודה: (8 , 3)

    תשובה: (8 , 3)

15. שאלה 15 · גופים במרחב

    החרוט המקורי נפחו כ-4.32π סמ"ק. החרוט החדש רדיוסו 1.32 ס"מ וגובהו 8.1 ס"מ. מרים טוענת שהמאפה החדש גדול יותר. האם היא צודקת?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. V = (π · 1.32² · 8.1)/3
    2. 1.32² = 1.7424
    3. V = (π · 1.7424 · 8.1)/3 = π · 4.7 ≈ 14.78 סמ"ק
    4. 4.7π > 4.32π
    5. לכן מרים צודקת

    תשובה: כן — הנפח החדש כ-4.7π לעומת 4.32π

16. שאלה 16 · גופים במרחב

    מבנה מקוביות מתואר בתרשים מספרי שבו רשומים בשורה העליונה 3, בשורה האמצעית 2, 2, 1 ובשורה התחתונה 2, 1. כמה קוביות יש במבנה, וכיצד ייראה המבט מלפנים?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. התרשים המספרי סופר את הקוביות בכל משבצת
    2. הסכום: 3 + 2 + 2 + 1 + 2 + 1 = 11 קוביות
    3. המבט מלפנים מראה בכל טור את המספר הגדול ביותר שבו
    4. לכן שני מבנים שונים בעומק יכולים להיראות זהים מלפנים

    תשובה: 11 קוביות ; המבט מלפנים מראה את הגובה המרבי בכל טור

17. שאלה 17 · גופים במרחב

    במבנה מקוביות רוצים להוסיף קובייה אחת בלי לשנות את המבט מלפנים ואת המבט מלמעלה. הסבירו מדוע זה אפשרי.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. המבט מלפנים מראה בכל טור את הגובה המרבי בלבד
    2. המבט מלמעלה מראה אילו משבצות תפוסות, ולא כמה קוביות בכל אחת
    3. אם נוסיף קובייה במשבצת שכבר תפוסה, המבט מלמעלה לא ישתנה
    4. ואם הגובה החדש אינו עולה על המקסימום באותו טור, גם המבט מלפנים לא ישתנה
    5. לכן קיימת יותר מאפשרות אחת להוספה

    תשובה: אפשרי — כל מבט מראה רק את המקסימום בכיוונו

18. שאלה 18 · גיאומטריה אנליטית

    משוואת BC היא y = ½x + 3, והנקודה E היא חיתוכה עם ציר ה-y. נתון A(3 , −3). מצאו את שיעורי E, והוכיחו כי AE מאונך ל-BC.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. E על ציר ה-y: x = 0 → y = 3 → E(0 , 3)
    2. שיפוע AE: (−3 − 3)/(3 − 0) = −6/3 = −2
    3. שיפוע BC: ½
    4. מכפלת השיפועים: ½ · (−2) = −1
    5. מכפלה ‎−1 ← הישרים מאונכים

    תשובה: E(0 , 3) ; מכפלת השיפועים היא ‎−1

19. שאלה 19 · תכנון ליניארי

    נתונים האילוצים 300x + 100y ≤ 2,700 ו-12x + 8y ≤ 120. מצאו את נקודות החיתוך של שני הישרים עם הצירים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נצמצם את הראשון ב-100: 3x + y = 27
    2. y = 0 → x = 9 ; x = 0 → y = 27
    3. עבור השני: 12x + 8y = 120
    4. y = 0 → x = 10 ; x = 0 → y = 15

    תשובה: הראשון: (9,0) ו-(0,27) ; השני: (10,0) ו-(0,15)