שאלון 35372 — חורף 2025

21 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · תכנון ליניארי

   במפעל לייצור רהיטים מכינים ספות וכורסאות. תהליך הייצור כולל חיתוך וריפוד. לספה דרושות 4 שעות חיתוך ו-2 שעות ריפוד. לכורסה דרושות 2 שעות חיתוך ו-6 שעות ריפוד. מכונת החיתוך פועלת לכל היותר 32 שעות ומכונת הריפוד לכל היותר 36 שעות במחזור ייצור אחד. נסמן ב-x את מספר הספות וב-y את מספר הכורסאות. כתבו את מערכת האילוצים.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מגבלת מכונת החיתוך: כל ספה דורשת 4 שעות וכל כורסה 2 שעות, ובסך הכול לכל היותר 32 שעות
   2. 4x + 2y ≤ 32
   3. מגבלת מכונת הריפוד: כל ספה דורשת 2 שעות וכל כורסה 6 שעות, ובסך הכול לכל היותר 36 שעות
   4. 2x + 6y ≤ 36
   5. כמויות הרהיטים אינן שליליות: x ≥ 0 , y ≥ 0

   תשובה: 4x + 2y ≤ 32 ; 2x + 6y ≤ 36 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

2. שאלה 2 · תכנון ליניארי

   נתונה מערכת האילוצים 4x + 2y ≤ 32 , 2x + 6y ≤ 36 , x ≥ 0 , y ≥ 0. מצאו את קדקודי התחום האפשרי שאינם ראשית הצירים.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. בישר 4x + 2y = 32: עבור x = 0 מקבלים 2y = 32 ולכן y = 16; עבור y = 0 מקבלים 4x = 32 ולכן x = 8
   2. בישר 2x + 6y = 36: עבור x = 0 מקבלים 6y = 36 ולכן y = 6; עבור y = 0 מקבלים 2x = 36 ולכן x = 18
   3. הקדקוד על ציר ה-y הוא (0;6), כי 6 קטן מ-16
   4. למציאת נקודת החיתוך נכפול את המשוואה השנייה ב-(−2): −4x − 12y = −72
   5. נחבר עם הראשונה: −10y = −40 ולכן y = 4
   6. נציב: 4x + 2·4 = 32 → 4x = 24 → x = 6
   7. הקדקודים הם (0;6), (6;4) ו-(8;0)

   תשובה: (0;6) , (6;4) , (8;0)

3. שאלה 3 · תכנון ליניארי

   במפעל רהיטים הרווח מכל ספה הוא 400 שקלים ומכל כורסה 700 שקלים. קדקודי התחום האפשרי הם (0;0), (0;6), (6;4) ו-(8;0), כאשר x הוא מספר הספות ו-y מספר הכורסאות. כמה ספות וכמה כורסאות יש לייצר להשגת רווח מקסימלי, ומהו הרווח?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. פונקציית המטרה: f(x,y) = 400x + 700y
   2. f(0,0) = 0
   3. f(0,6) = 400·0 + 700·6 = 4200
   4. f(6,4) = 400·6 + 700·4 = 2400 + 2800 = 5200
   5. f(8,0) = 400·8 + 700·0 = 3200
   6. הערך המקסימלי מתקבל בקדקוד (6;4) והוא 5200 שקלים

   תשובה: 6 ספות ו-4 כורסאות, רווח 5200 שקלים

4. שאלה 4 · גיאומטריה אנליטית

   נתונה משוואת הצלע AB: y = −(1/2)x + 4. הנקודה B נמצאת על ציר ה-y והנקודה D על ציר ה-x. מצאו את שיעורי הנקודות B ו-D.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. הנקודה B על ציר ה-y, ולכן x = 0
   2. y = −(1/2)·0 + 4 = 4, ומכאן B(0;4)
   3. הנקודה D על ציר ה-x, ולכן y = 0
   4. 0 = −(1/2)x + 4 → (1/2)x = 4 → x = 8
   5. ומכאן D(8;0)

   תשובה: B(0;4) ו-D(8;0)

5. שאלה 5 · גיאומטריה אנליטית

   הנקודה D(8;0) היא אמצע הצלע AB, והנקודה B נמצאת ב-(0;4). מצאו את שיעורי הנקודה A.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נוסחת אמצע קטע: x_D = (x_A + x_B)/2
   2. 8 = (x_A + 0)/2 → x_A = 16
   3. y_D = (y_A + y_B)/2
   4. 0 = (y_A + 4)/2 → y_A + 4 = 0 → y_A = −4
   5. שיעורי הנקודה הם A(16;−4)

   תשובה: A(16;−4)

6. שאלה 6 · גיאומטריה אנליטית

   במשולש ABC הזווית ACB ישרה. משוואת הצלע BC היא y = (1/3)x + 4, והקודקוד A נמצא ב-(16;−4). מצאו את משוואת הצלע AC.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. הזווית ACB ישרה, ולכן AC מאונכת ל-BC
   2. שיפוע BC הוא 1/3, ושיפועי ישרים מאונכים הפכיים ונגדיים
   3. m_AC = −3
   4. נציב את A(16;−4): y − (−4) = −3(x − 16)
   5. y + 4 = −3x + 48
   6. y = −3x + 44

   תשובה: y = −3x + 44

7. שאלה 7 · גיאומטריה אנליטית

   נתונים שני ישרים: y = (1/3)x + 4 ו-y = −3x + 44. הקודקוד C הוא נקודת החיתוך שלהם. מצאו את שיעורי הקודקוד C.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נשווה בין שתי המשוואות: (1/3)x + 4 = −3x + 44
   2. נעביר אגפים: (1/3)x + 3x = 44 − 4
   3. (10/3)x = 40 → x = 12
   4. נציב: y = (1/3)·12 + 4 = 4 + 4 = 8
   5. שיעורי הקודקוד הם C(12;8)

   תשובה: C(12;8)

8. שאלה 8 · גיאומטריה אנליטית

   במשולש ישר זווית ABC נתון: A(16;−4), B(0;4) ו-C(12;8), כאשר הזווית ב-C ישרה. חשבו את שטח המשולש ABC.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. BC = √((12 − 0)² + (8 − 4)²) = √(144 + 16) = √160
   2. AC = √((12 − 16)² + (8 − (−4))²) = √(16 + 144) = √160
   3. הזווית ב-C ישרה, ולכן BC ו-AC הם הניצבים
   4. S = (BC · AC)/2 = (√160 · √160)/2 = 160/2
   5. S = 80

   תשובה: 80

9. שאלה 9 · גיאומטריה אנליטית

   נתון המרובע BCAK שקדקודיו B(0;4), C(12;8), A(16;−4) ו-K(0;−18). שטח המשולש ABC הוא 80. חשבו את שטח המרובע BCAK.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. המרובע מורכב משני משולשים: ABC ו-BKA
   2. BK מונחת על ציר ה-y, ואורכה 4 − (−18) = 22
   3. הגובה מ-A אל ציר ה-y הוא שיעור ה-x שלה: 16
   4. שטח המשולש BKA: (22 · 16)/2 = 352/2 = 176
   5. שטח המרובע: 80 + 176 = 256

   תשובה: 256

10. שאלה 10 · סטטיסטיקה

    צריכת המים החודשית של משפחות בעיר מתפלגת נורמלית. סטיית התקן היא 2.4 מ"ק. ידוע כי 16% מן המשפחות צורכות פחות מ-7 מ"ק בחודש. מצאו את הצריכה הממוצעת.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נחשב משמאל לימין את האחוז המצטבר עד שנקבל 16%
    2. 0.5% + 1.5% + 5% + 9% = 16%
    3. ארבעת התחומים האלה מצטברים לסטיית תקן אחת מתחת לממוצע
    4. לכן 7 מ"ק נמצא סטיית תקן אחת מתחת לממוצע
    5. הממוצע: 7 + 2.4 = 9.4 מ"ק

    תשובה: 9.4 מ"ק

11. שאלה 11 · סטטיסטיקה

    צריכת המים החודשית מתפלגת נורמלית, הממוצע 9.4 מ"ק וסטיית התקן 2.4 מ"ק. מהו אחוז המשפחות שצורכות יותר מ-13 מ"ק בחודש?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. חצי סטיית תקן היא 2.4/2 = 1.2 מ"ק
    2. 13 מ"ק נמצא במרחק 13 − 9.4 = 3.6 מ"ק מהממוצע
    3. 3.6/1.2 = 3, כלומר שלוש חצאי סטיות תקן מעל הממוצע
    4. נסכם את האחוזים מעל נקודה זו: 5% + 1.5% + 0.5% = 7%

    תשובה: 7%

12. שאלה 12 · סטטיסטיקה

    בעיר מסוימת 7% מן המשפחות צורכות יותר מ-13 מ"ק מים בחודש, ומספרן 560 משפחות. כמה משפחות יש בעיר?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נסמן ב-n את מספר המשפחות בעיר
    2. 7% מ-n הם 560, כלומר 0.07n = 560
    3. n = 560/0.07 = 8000
    4. דרך חלופית: אם 7% הם 560 משפחות, אז 1% הוא 560/7 = 80 משפחות, ו-100% הם 80·100 = 8000

    תשובה: 8000 משפחות

13. שאלה 13 · סטטיסטיקה

    צריכת המים מתפלגת נורמלית, הממוצע 9.4 מ"ק וסטיית התקן 2.4 מ"ק. בודקים את שעון המים למשפחות שציון התקן שלהן גדול מ-1.5 או קטן מ-2.5 מינוס. מהו אחוז המשפחות שלהן נבדק שעון המים?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. ציון תקן 1.5 מתאים לשלוש חצאי סטיות תקן מעל הממוצע
    2. מעל נקודה זו: 5% + 1.5% + 0.5% = 7%
    3. ציון תקן מינוס 2.5 מתאים לחמש חצאי סטיות תקן מתחת לממוצע
    4. מתחת לנקודה זו: 0.5%
    5. סך הכול: 7% + 0.5% = 7.5%

    תשובה: 7.5%

14. שאלה 14 · פונקציה ריבועית

    הפונקציה y = x² − 6x + 11 מתארת מסלול מגלשת מים בצורת פרבולה. ציר ה-y מתאר את הגובה במטרים מעל הקרקע, וציר ה-x את המרחק מן הסולם. מהו גובה הסולם, כלומר הגובה בנקודת ההתחלה?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. גובה הסולם הוא הגובה במרחק אפס מהסולם, כלומר x = 0
    2. נציב: y = 0² − 6·0 + 11
    3. y = 11 מטרים

    תשובה: 11 מטרים

15. שאלה 15 · פונקציה ריבועית

    מגלשת מים מתוארת על ידי y = x² − 6x + 11. מצאו את הנקודה הנמוכה ביותר של המגלשה ואת גובהה מעל הקרקע.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. מקדם ה-x² חיובי, ולכן לפרבולה יש נקודת מינימום
    2. שיעור ה-x של הקדקוד: x = −b/(2a) = −(−6)/(2·1) = 6/2 = 3
    3. נציב x = 3: y = 3² − 6·3 + 11 = 9 − 18 + 11
    4. y = 2 מטרים

    תשובה: בגובה 2 מטרים, במרחק 3 מטרים מהסולם

16. שאלה 16 · פונקציה ריבועית

    מגלשת מים מתוארת על ידי y = x² − 6x + 11. הנקודה B נמצאת בגובה 6 מטרים מעל הקרקע, מעבר לנקודה הנמוכה ביותר של המגלשה (שנמצאת ב-x = 3). מצאו את שיעור ה-x של הנקודה B.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נציב y = 6: 6 = x² − 6x + 11
    2. נעביר אגפים: 0 = x² − 6x + 5
    3. דיסקרימיננטה: (−6)² − 4·1·5 = 36 − 20 = 16
    4. √16 = 4
    5. x = (6 ± 4)/2
    6. x₁ = (6 + 4)/2 = 5 , x₂ = (6 − 4)/2 = 1
    7. הפתרון x = 1 נפסל, כי הוא לפני הנקודה הנמוכה ביותר
    8. התשובה היא x = 5

    תשובה: 5

17. שאלה 17 · גופים במרחב

    נר שעווה בצורת פירמידה שבסיסה ריבוע שאורך צלעו 6 ס"מ, וגובהה 12 ס"מ. חשבו את נפח השעווה בנר.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נפח פירמידה: V = (S·h)/3, כאשר S הוא שטח הבסיס
    2. הבסיס ריבוע שצלעו 6 ס"מ: S = 6·6 = 36 סמ"ר
    3. V = (36 · 12)/3 = 432/3
    4. V = 144 סמ"ק

    תשובה: 144 סמ"ק

18. שאלה 18 · גופים במרחב

    נר שעווה בצורת חרוט ישר שרדיוס בסיסו 4 ס"מ וגובהו 10 ס"מ. חשבו את נפח השעווה בנר.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נפח חרוט: V = (π·R²·h)/3
    2. V = (π · 4² · 10)/3 = (π · 16 · 10)/3 = 160π/3
    3. 160/3 ≈ 53.33
    4. V ≈ 53.33 · 3.14159 ≈ 167.55 סמ"ק

    תשובה: כ-167.55 סמ"ק

19. שאלה 19 · גופים במרחב

    נר בצורת חרוט ישר שרדיוס בסיסו 4 ס"מ וגובהו 10 ס"מ. חשבו את אורך הקו היוצר של החרוט.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הקו היוצר הוא היתר במשולש ישר זווית שניצביו הרדיוס והגובה
    2. לפי פיתגורס: ℓ² = 4² + 10² = 16 + 100 = 116
    3. ℓ = √116 ≈ 10.77 ס"מ

    תשובה: כ-10.77 ס"מ

20. שאלה 20 · גופים במרחב

    נר בצורת חרוט ישר שרדיוס בסיסו 4 ס"מ והקו היוצר שלו 10.77 ס"מ. חשבו את שטח המעטפת של הנר.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. שטח מעטפת חרוט: M = π·R·ℓ
    2. M = π · 4 · 10.77
    3. M ≈ 3.14159 · 43.08
    4. M ≈ 135.34 סמ"ר

    תשובה: כ-135.34 סמ"ר

21. שאלה 21 · גופים במרחב

    במפעל התקבלה הזמנה ל-300 נרות מסוג א' שנפח כל אחד 144 סמ"ק, ו-200 נרות מסוג ב' שנפח כל אחד 167.55 סמ"ק. האם נפח שעווה של 60000 סמ"ק יספיק לייצור ההזמנה? נמקו.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נפח הנרות מסוג א': 300 · 144 = 43200 סמ"ק
    2. נפח הנרות מסוג ב': 200 · 167.55 = 33510 סמ"ק
    3. סך הכול: 43200 + 33510 = 76710 סמ"ק
    4. 76710 גדול מ-60000, ולכן השעווה לא תספיק

    תשובה: לא — דרושים כ-76710 סמ"ק