שאלון 35372 — קיץ מועד ב׳ 2025

21 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · תכנון ליניארי

   במפעל שמייצר סלטים מכינים שני סוגי סלטים: סלט גזר וסלט כרוב. תהליך הייצור מורכב משני שלבים — קיצוץ וערבוב. לקילוגרם אחד של סלט גזר דרושות 6 דקות קיצוץ ו-2 דקות ערבוב. לקילוגרם אחד של סלט כרוב דרושות 3 דקות קיצוץ ו-4 דקות ערבוב. מכונת הקיצוץ עובדת לכל היותר 42 דקות במחזור ייצור אחד, ומכונת הערבוב לכל היותר 35 דקות. נסמן ב-x את מספר הקילוגרמים של סלט הגזר וב-y את מספר הקילוגרמים של סלט הכרוב. כתבו את מערכת האילוצים.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מגבלת מכונת הקיצוץ: כל ק"ג גזר דורש 6 דקות וכל ק"ג כרוב דורש 3 דקות, ובסך הכול לכל היותר 42 דקות
   2. 6x + 3y ≤ 42
   3. מגבלת מכונת הערבוב: כל ק"ג גזר דורש 2 דקות וכל ק"ג כרוב דורש 4 דקות, ובסך הכול לכל היותר 35 דקות
   4. 2x + 4y ≤ 35
   5. כמויות הסלטים אינן שליליות: x ≥ 0 , y ≥ 0

   תשובה: 6x + 3y ≤ 42 ; 2x + 4y ≤ 35 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

2. שאלה 2 · תכנון ליניארי

   נתונה מערכת האילוצים 6x + 3y ≤ 42 , 2x + 4y ≤ 35 , x ≥ 0 , y ≥ 0. מצאו את נקודות החיתוך של כל אחד משני הישרים עם הצירים, ואת נקודת החיתוך בין שני הישרים.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. בישר 6x + 3y = 42: עבור x = 0 מקבלים 3y = 42 ולכן y = 14; עבור y = 0 מקבלים 6x = 42 ולכן x = 7
   2. בישר 2x + 4y = 35: עבור x = 0 מקבלים 4y = 35 ולכן y = 8.75; עבור y = 0 מקבלים 2x = 35 ולכן x = 17.5
   3. למציאת נקודת החיתוך נכפול את המשוואה השנייה ב-(−3): −6x − 12y = −105
   4. נחבר עם המשוואה הראשונה: −9y = −63 ולכן y = 7
   5. נציב בחזרה: 6x + 3·7 = 42 → 6x = 21 → x = 3.5
   6. נקודת החיתוך היא (3.5;7)

   תשובה: הישר הראשון חותך ב-(7;0) ו-(0;14), השני ב-(17.5;0) ו-(0;8.75), ונקודת החיתוך ביניהם היא (3.5;7)

3. שאלה 3 · תכנון ליניארי

   במפעל סלטים, הרווח ממכירת קילוגרם אחד של סלט גזר הוא 26 שקלים, והרווח ממכירת קילוגרם אחד של סלט כרוב הוא 30 שקלים. קדקודי התחום האפשרי הם (0;0), (7;0), (3.5;7) ו-(0;8.75), כאשר x הוא כמות סלט הגזר ו-y כמות סלט הכרוב. כמה קילוגרם מכל סוג יש לייצר כדי להשיג רווח מקסימלי, ומהו הרווח?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. פונקציית המטרה: f(x,y) = 26x + 30y
   2. f(0,0) = 26·0 + 30·0 = 0
   3. f(7,0) = 26·7 + 30·0 = 182
   4. f(0,8.75) = 26·0 + 30·8.75 = 262.5
   5. f(3.5,7) = 26·3.5 + 30·7 = 91 + 210 = 301
   6. הערך המקסימלי מתקבל בקדקוד (3.5;7) והוא 301 שקלים

   תשובה: 3.5 ק"ג סלט גזר ו-7 ק"ג סלט כרוב, רווח 301 שקלים

4. שאלה 4 · גיאומטריה אנליטית

   במשולש ABC הזווית ABC ישרה. הקודקוד A נמצא על ציר ה-y ועל הישר שמשוואתו y = −0.8x + 24. מצאו את שיעורי הקודקוד A.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. הקודקוד A נמצא על ציר ה-y, ולכן שיעור ה-x שלו הוא 0
   2. נציב x = 0 במשוואת הישר: y = −0.8·0 + 24
   3. y = 24
   4. שיעורי הקודקוד הם A(0;24)

   תשובה: A(0;24)

5. שאלה 5 · גיאומטריה אנליטית

   במשולש ABC הזווית ABC ישרה. שיפוע הצלע AB הוא −0.8, והקודקוד C נמצא בנקודה (0;−17). מצאו את משוואת הצלע BC.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. הזווית ABC ישרה, ולכן BC מאונכת ל-AB
   2. שיפועי ישרים מאונכים הם הפכיים ונגדיים: m_BC = −1/(−0.8) = 1.25
   3. נציב את הנקודה C(0;−17) בנוסחה y − y₁ = m(x − x₁)
   4. y − (−17) = 1.25(x − 0)
   5. y = 1.25x − 17

   תשובה: y = 1.25x − 17

6. שאלה 6 · גיאומטריה אנליטית

   נתונים שני ישרים: y = −0.8x + 24 ו-y = 1.25x − 17. הקודקוד B הוא נקודת החיתוך שלהם. מצאו את שיעורי הקודקוד B.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נשווה בין שתי המשוואות: −0.8x + 24 = 1.25x − 17
   2. נעביר אגפים: 24 + 17 = 1.25x + 0.8x
   3. 41 = 2.05x → x = 20
   4. נציב באחת המשוואות: y = −0.8·20 + 24 = −16 + 24 = 8
   5. שיעורי הקודקוד הם B(20;8)

   תשובה: B(20;8)

7. שאלה 7 · גיאומטריה אנליטית

   נתונות הנקודות A(0;24) ו-B(20;8). הנקודה E היא אמצע הקטע AB. מצאו את שיעורי הנקודה E.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נוסחת אמצע קטע: x_E = (x_A + x_B)/2
   2. x_E = (0 + 20)/2 = 10
   3. y_E = (y_A + y_B)/2 = (24 + 8)/2 = 16
   4. שיעורי הנקודה הם E(10;16)

   תשובה: E(10;16)

8. שאלה 8 · גיאומטריה אנליטית

   נתון הישר שמשוואתו y = 1.25x − 17. הנקודה K היא נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה-x. מצאו את שיעורי הנקודה K.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. בנקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקיים y = 0
   2. 0 = 1.25x − 17
   3. 1.25x = 17 → x = 13.6
   4. שיעורי הנקודה הם K(13.6;0)

   תשובה: K(13.6;0)

9. שאלה 9 · גיאומטריה אנליטית

   נתונות הנקודות E(10;16), B(20;8) ו-K(13.6;0). הזווית EBK היא ישרה. חשבו את שטח המשולש EBK.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. EB = √((10 − 20)² + (16 − 8)²) = √(100 + 64) = √164
   2. KB = √((13.6 − 20)² + (0 − 8)²) = √(40.96 + 64) = √104.96
   3. הזווית EBK ישרה, ולכן EB ו-KB הם הניצבים
   4. S = (EB · KB)/2 = (√164 · √104.96)/2
   5. √164 ≈ 12.806 ו-√104.96 ≈ 10.245
   6. S ≈ (12.806 · 10.245)/2 = 65.6

   תשובה: 65.6

10. שאלה 10 · סטטיסטיקה

    התוצאות בתחרות קפיצה לגובה בבית ספר מסוים התפלגו נורמלית. סטיית התקן היא 0.2 מטר. ידוע כי 16% מן המשתתפים קפצו לגובה שקטן מ-1.2 מטר. מצאו את התוצאה הממוצעת בתחרות.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נחשב משמאל לימין את האחוז המצטבר עד שנקבל 16%
    2. 0.5% + 1.5% + 5% + 9% = 16%
    3. ארבעת התחומים האלה מצטברים לסטיית תקן אחת מתחת לממוצע
    4. לכן 1.2 מטר נמצא סטיית תקן אחת מתחת לממוצע
    5. הממוצע הוא 1.2 + 0.2 = 1.4 מטר

    תשובה: 1.4 מטר

11. שאלה 11 · סטטיסטיקה

    בתחרות קפיצה לגובה התוצאות מתפלגות נורמלית. הממוצע הוא 1.4 מטר וסטיית התקן היא 0.2 מטר. מהו אחוז המשתתפים שהתוצאה שלהם גבוהה מ-1.5 מטר?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. 1.5 מטר נמצא חצי סטיית תקן מעל הממוצע, כי 1.4 + 0.1 = 1.5
    2. נסכם את האחוזים בגרף ההתפלגות הנורמלית מעל חצי סטיית תקן
    3. 15% + 9% + 5% + 1.5% + 0.5% = 31%

    תשובה: 31%

12. שאלה 12 · סטטיסטיקה

    בתחרות קפיצה לגובה, 31% מן המשתתפים השיגו תוצאה גבוהה מ-1.5 מטר, ומספרם הוא 62. כמה משתתפים היו בתחרות?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נסמן ב-n את מספר המשתתפים
    2. 31% מ-n הם 62, כלומר 0.31n = 62
    3. n = 62/0.31 = 200
    4. דרך חלופית: אם 31% הם 62 משתתפים, אז 1% הוא 62/31 = 2 משתתפים, ו-100% הם 2·100 = 200

    תשובה: 200

13. שאלה 13 · סטטיסטיקה

    בתחרות קפיצה לגובה התוצאות מתפלגות נורמלית, הממוצע הוא 1.4 מטר וסטיית התקן היא 0.2 מטר. 2% מן המשתתפים שהשיגו את התוצאות הגבוהות ביותר קיבלו מדליה. התוצאה של דני הייתה 1.73 מטר. האם דני קיבל מדליה? נמקו.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נחשב מימין לשמאל את האחוז המצטבר עד שנקבל 2%
    2. 0.5% + 1.5% = 2%
    3. שני התחומים האלה מצטברים לשתי סטיות תקן מעל הממוצע
    4. הגבול לקבלת מדליה: 1.4 + 2·0.2 = 1.4 + 0.4 = 1.8 מטר
    5. התוצאה של דני היא 1.73 מטר, ו-1.73 קטן מ-1.8
    6. לכן דני לא קיבל מדליה

    תשובה: לא — הגבול למדליה הוא 1.8 מטר, ודני קפץ 1.73 מטר

14. שאלה 14 · סטטיסטיקה

    בתחרות קפיצה לגובה הממוצע הוא 1.4 מטר וסטיית התקן היא 0.2 מטר. ציון התקן של אריאל היה 2.4. מהי התוצאה של אריאל?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נוסחת ציון התקן: z = (x − x̄)/s
    2. 2.4 = (x − 1.4)/0.2
    3. נכפול ב-0.2: x − 1.4 = 0.48
    4. x = 1.4 + 0.48 = 1.88 מטר

    תשובה: 1.88 מטר

15. שאלה 15 · פונקציה ריבועית

    הפונקציה y = −0.1x² + 0.8x מתארת גשר בצורת פרבולה שנבנה מעל נהר. ציר ה-x מייצג את המרחק האופקי במטרים מהנקודה O, וציר ה-y מייצג את הגובה במטרים מעל פני המים. מצאו את נקודות החיתוך של הגשר עם פני המים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. פני המים הם ציר ה-x, ולכן נציב y = 0
    2. 0 = −0.1x² + 0.8x
    3. נוציא x כגורם משותף: 0 = x(−0.1x + 0.8)
    4. פתרון ראשון: x = 0
    5. פתרון שני: −0.1x + 0.8 = 0 → 0.1x = 0.8 → x = 8
    6. נקודות החיתוך הן (0;0) ו-(8;0)

    תשובה: (0;0) ו-(8;0)

16. שאלה 16 · פונקציה ריבועית

    גשר בצורת פרבולה מתואר על ידי הפונקציה y = −0.1x² + 0.8x, כאשר y הוא הגובה במטרים מעל פני המים. מצאו את הגובה המקסימלי של הגשר.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הגובה המקסימלי מתקבל בקדקוד הפרבולה
    2. x = −b/(2a) = −0.8/(2·(−0.1)) = −0.8/(−0.2) = 4
    3. נציב x = 4: y = −0.1·4² + 0.8·4
    4. y = −1.6 + 3.2 = 1.6 מטר

    תשובה: 1.6 מטר

17. שאלה 17 · פונקציה ריבועית

    גשר בצורת פרבולה מתואר על ידי y = −0.1x² + 0.8x. יוסי הלך על הגשר מהנקודה O(0;0) עד הנקודה B(8;0). הגובה המקסימלי מתקבל ב-x = 4. באילו ערכי x הלך יוסי במגמת ירידה?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. יוסי התחיל בנקודה (0;0) והלך במגמת עלייה עד לגובה המקסימלי
    2. הגובה המקסימלי מתקבל ב-x = 4
    3. משם ועד לנקודה B(8;0) הוא הלך במגמת ירידה
    4. תחום הירידה הוא 4 < x < 8

    תשובה: 4 < x < 8

18. שאלה 18 · פונקציה ריבועית

    גשר בצורת פרבולה מתואר על ידי y = −0.1x² + 0.8x. כאשר יוסי הלך על הגשר במגמת ירידה, הוא עבר בנקודה שגובהה מעל פני המים היה 1.2 מטר. מצאו את שיעור ה-x של הנקודה הזו.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נציב y = 1.2 במשוואת הפרבולה: 1.2 = −0.1x² + 0.8x
    2. נעביר אגפים: 0 = −0.1x² + 0.8x − 1.2
    3. דיסקרימיננטה: 0.8² − 4·(−0.1)·(−1.2) = 0.64 − 0.48 = 0.16
    4. √0.16 = 0.4
    5. x = (−0.8 ± 0.4)/(2·(−0.1)) = (−0.8 ± 0.4)/(−0.2)
    6. x₁ = (−0.8 + 0.4)/(−0.2) = 2 , x₂ = (−0.8 − 0.4)/(−0.2) = 6
    7. הפתרון x = 2 נפסל, כי שם יוסי הלך במגמת עלייה
    8. התשובה היא x = 6

    תשובה: 6

19. שאלה 19 · גופים במרחב

    מכונת כביסה בצורת תיבה. גובהה 84 ס"מ, ואורכי צלעות הבסיס שלה הם 62 ס"מ ו-64 ס"מ. חשבו את שטח המעטפת של מכונת הכביסה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. שטח מעטפת של תיבה: M = 2·(a·h + b·h)
    2. נציב: M = 2·(62·84 + 64·84)
    3. 62·84 = 5208 ו-64·84 = 5376
    4. M = 2·(5208 + 5376) = 2·10584 = 21168 סמ"ר

    תשובה: 21168 סמ"ר

20. שאלה 20 · גופים במרחב

    במכונת כביסה יש חלק שנקרא תוף, וצורתו גליל. גובה התוף הוא 50 ס"מ, ורדיוס הבסיס שלו הוא 28 ס"מ. חשבו את נפח התוף.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נפח גליל: V = π·R²·h
    2. נציב: V = π·28²·50
    3. 28² = 784, ולכן V = π·784·50 = 39200π
    4. V ≈ 39200·3.14159 ≈ 123150.4 סמ"ק

    תשובה: 39200π ≈ 123150.4 סמ"ק

21. שאלה 21 · גופים במרחב

    לתוף גלילי של מכונת כביסה רדיוס בסיס 28 ס"מ. אייל קנה מכונה שבה גובה התוף קטן ב-12 ס"מ מזה של חיים, שגובה התוף שלו 50 ס"מ. חשבו את נפח התוף במכונה של אייל.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. גובה התוף של אייל: 50 − 12 = 38 ס"מ
    2. הרדיוס זהה בשתי המכונות ושווה ל-28 ס"מ
    3. V = π·R²·h = π·28²·38
    4. 28² = 784, ולכן V = π·784·38 = 29792π
    5. V ≈ 29792·3.14159 ≈ 93594.3 סמ"ק

    תשובה: 29792π ≈ 93594.3 סמ"ק