שאלון 35372 — קיץ מועד א׳ 2024

21 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · גיאומטריה אנליטית

   המשולש ABC הוא שווה שוקיים, והגובה AE לבסיס BC הוא גם תיכון. נתון: A(4;14) ו-E(0;2). מצאו את שיפוע הגובה AE ואת משוואת הבסיס BC.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שיפוע AE: m = (14 − 2)/(4 − 0) = 12/4 = 3
   2. הגובה AE מאונך לבסיס BC
   3. שיפועי ישרים מאונכים הפכיים ונגדיים: m_BC = −1/3
   4. נציב את הנקודה E(0;2) בנוסחה y − y₁ = m(x − x₁)
   5. y − 2 = −(1/3)(x − 0)
   6. y = −(1/3)x + 2

   תשובה: שיפוע AE הוא 3, ומשוואת BC היא y = −(1/3)x + 2

2. שאלה 2 · גיאומטריה אנליטית

   נתונה משוואת הבסיס BC של משולש: y = −(1/3)x + 2. הקודקוד C נמצא על ציר ה-x. מצאו את שיעורי הקודקוד C.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. הקודקוד C נמצא על ציר ה-x, ולכן y = 0
   2. 0 = −(1/3)x + 2
   3. (1/3)x = 2
   4. x = 6
   5. שיעורי הקודקוד הם C(6;0)

   תשובה: C(6;0)

3. שאלה 3 · גיאומטריה אנליטית

   הנקודה E(0;2) היא אמצע הבסיס BC של משולש, והקודקוד C נמצא בנקודה (6;0). מצאו את שיעורי הקודקוד B.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נוסחת אמצע קטע: x_E = (x_B + x_C)/2
   2. 0 = (x_B + 6)/2 → x_B + 6 = 0 → x_B = −6
   3. y_E = (y_B + y_C)/2
   4. 2 = (y_B + 0)/2 → y_B = 4
   5. שיעורי הקודקוד הם B(−6;4)

   תשובה: B(−6;4)

4. שאלה 4 · גיאומטריה אנליטית

   דרך הקודקוד B(−6;4) העבירו ישר BF המקביל לגובה AE, ששיפועו 3. מצאו את משוואת הישר BF.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. לישרים מקבילים שיפועים שווים, ולכן m_BF = 3
   2. נציב את הנקודה B(−6;4): y − 4 = 3(x − (−6))
   3. y − 4 = 3(x + 6) = 3x + 18
   4. y = 3x + 22

   תשובה: y = 3x + 22

5. שאלה 5 · גיאומטריה אנליטית

   נתונות הנקודות B(−6;4), E(0;2) ו-F(0;22). חשבו את היקף המשולש FBE.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. FE: לנקודות F ו-E אותו שיעור x, ולכן FE = 22 − 2 = 20
   2. BE = √((−6 − 0)² + (4 − 2)²) = √(36 + 4) = √40
   3. FB = √((−6 − 0)² + (4 − 22)²) = √(36 + 324) = √360
   4. √40 = 2√10 ו-√360 = 6√10
   5. ההיקף: 20 + 2√10 + 6√10 = 20 + 8√10 ≈ 45.3

   תשובה: 20 + 8√10 ≈ 45.3

6. שאלה 6 · תכנון ליניארי

   בחנות למוצרי קוסמטיקה מוכרים מארזי מתנה משני סוגים. במארז מסוג א' יש 12 סבונים ו-3 קרמים, ובמארז מסוג ב' יש 8 סבונים ו-6 קרמים. בחנות יש לכל היותר 240 סבונים ולכל היותר 132 קרמים. נסמן ב-x את מספר המארזים מסוג א' וב-y את מספר המארזים מסוג ב'. כתבו את מערכת האילוצים.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מגבלת הסבונים: כל מארז א' צורך 12 סבונים וכל מארז ב' צורך 8, ובסך הכול לכל היותר 240
   2. 12x + 8y ≤ 240
   3. מגבלת הקרמים: כל מארז א' צורך 3 קרמים וכל מארז ב' צורך 6, ובסך הכול לכל היותר 132
   4. 3x + 6y ≤ 132
   5. מספרי המארזים אינם שליליים: x ≥ 0 , y ≥ 0

   תשובה: 12x + 8y ≤ 240 ; 3x + 6y ≤ 132 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

7. שאלה 7 · תכנון ליניארי

   נתונה מערכת האילוצים 12x + 8y ≤ 240 , 3x + 6y ≤ 132 , x ≥ 0 , y ≥ 0. מצאו את קדקודי התחום האפשרי שאינם ראשית הצירים.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. בישר 12x + 8y = 240: עבור x = 0 מקבלים 8y = 240 ולכן y = 30; עבור y = 0 מקבלים 12x = 240 ולכן x = 20
   2. בישר 3x + 6y = 132: עבור x = 0 מקבלים 6y = 132 ולכן y = 22
   3. הקדקוד על ציר ה-y הוא (0;22), כי 22 קטן מ-30
   4. למציאת נקודת החיתוך נכפול את המשוואה השנייה ב-(−4): −12x − 24y = −528
   5. נחבר עם הראשונה: −16y = −288 ולכן y = 18
   6. נציב: 3x + 6·18 = 132 → 3x = 24 → x = 8
   7. הקדקודים הם (0;22), (8;18) ו-(20;0)

   תשובה: (0;22) , (8;18) , (20;0)

8. שאלה 8 · תכנון ליניארי

   בחנות קוסמטיקה הרווח ממארז מסוג א' הוא 25 שקלים והרווח ממארז מסוג ב' הוא 20 שקלים. קדקודי התחום האפשרי הם (0;22), (8;18) ו-(20;0), כאשר x הוא מספר מארזי א' ו-y מספר מארזי ב'. כמה מארזים מכל סוג יש למכור להשגת רווח מקסימלי, ומהו הרווח?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. פונקציית המטרה: f(x,y) = 25x + 20y
   2. f(0,22) = 25·0 + 20·22 = 440
   3. f(8,18) = 25·8 + 20·18 = 200 + 360 = 560
   4. f(20,0) = 25·20 + 20·0 = 500
   5. הערך המקסימלי מתקבל בקדקוד (8;18) והוא 560 שקלים

   תשובה: 8 מארזים מסוג א' ו-18 מסוג ב', רווח 560 שקלים

9. שאלה 9 · סטטיסטיקה

   המשקל של הביצים בלול מסוים מתפלג נורמלית. המשקל הממוצע הוא 58 גרם, והמשקל של 31% מן הביצים הוא פחות מ-53 גרם. מצאו את סטיית התקן.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נחשב משמאל לימין את האחוז המצטבר עד שנקבל 31%
   2. 0.5% + 1.5% + 5% + 9% + 15% = 31%
   3. חמשת התחומים האלה מצטברים לחצי סטיית תקן מתחת לממוצע
   4. ההפרש מהממוצע: 58 − 53 = 5 גרם, וזוהי חצי סטיית תקן
   5. סטיית תקן אחת: 5·2 = 10 גרם

   תשובה: 10 גרם

10. שאלה 10 · סטטיסטיקה

    משקל הביצים בלול מתפלג נורמלית, הממוצע הוא 58 גרם וסטיית התקן 10 גרם. ביצים שמשקלן בין 53 גרם ל-63 גרם נחשבות בינוניות. מהו אחוז הביצים הבינוניות?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. 53 גרם נמצא חצי סטיית תקן מתחת לממוצע, כי 58 − 5 = 53
    2. 63 גרם נמצא חצי סטיית תקן מעל הממוצע, כי 58 + 5 = 63
    3. השטח בין חצי סטיית תקן מתחת לממוצע לחצי סטיית תקן מעליו
    4. 19% + 19% = 38%

    תשובה: 38%

11. שאלה 11 · סטטיסטיקה

    בלול, 38% מן הביצים הן בינוניות. ביום מסוים היו בלול 1824 ביצים בינוניות. כמה ביצים היו בלול באותו יום?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נסמן ב-n את מספר הביצים בלול
    2. 38% מ-n הם 1824, כלומר 0.38n = 1824
    3. n = 1824/0.38 = 4800
    4. דרך חלופית: אם 38% הם 1824 ביצים, אז 1% הוא 1824/38 = 48 ביצים, ו-100% הם 48·100 = 4800

    תשובה: 4800 ביצים

12. שאלה 12 · סטטיסטיקה

    בלול היו 4800 ביצים. ביצים שמשקלן מעל 63 גרם נחשבות גדולות, ו-63 גרם הוא חצי סטיית תקן מעל הממוצע. את הביצים הגדולות אורזים בתבניות של 12 ביצים. כמה תבניות של ביצים גדולות נארזו?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. אחוז הביצים מעל חצי סטיית תקן מהממוצע: 50% − 19% = 31%
    2. מספר הביצים הגדולות: 4800 · 0.31 = 1488 ביצים
    3. מספר התבניות: 1488/12 = 124 תבניות

    תשובה: 124 תבניות

13. שאלה 13 · סטטיסטיקה

    משקל הביצים בלול מתפלג נורמלית, הממוצע 58 גרם וסטיית התקן 10 גרם. ציון התקן של אחת הביצים הוא 0.2. מהו משקל הביצה?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נוסחת ציון התקן: z = (x − x̄)/s
    2. 0.2 = (x − 58)/10
    3. נכפול ב-10: x − 58 = 2
    4. x = 58 + 2 = 60 גרם

    תשובה: 60 גרם

14. שאלה 14 · פונקציה ריבועית

    הפונקציה הריבועית y = x² − 8x + 17 מתארת את כמות המוצרים (במיליונים) שייצרו במפעל, כאשר x הוא הזמן בשנים. מהי כמות המוצרים שייצרו במפעל בתחילת התקופה?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. תחילת התקופה היא x = 0
    2. נציב במשוואה: y = 0² − 8·0 + 17
    3. y = 17 מיליון מוצרים

    תשובה: 17 מיליון מוצרים

15. שאלה 15 · פונקציה ריבועית

    כמות המוצרים במפעל מתוארת על ידי y = x² − 8x + 17, כאשר x הוא הזמן בשנים. כמה מוצרים ייצרו במפעל כעבור 7 שנים?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נציב x = 7 במשוואה
    2. y = 7² − 8·7 + 17
    3. y = 49 − 56 + 17
    4. y = 10 מיליון מוצרים

    תשובה: 10 מיליון מוצרים

16. שאלה 16 · פונקציה ריבועית

    כמות המוצרים במפעל מתוארת על ידי y = x² − 8x + 17. כעבור כמה שנים מתחילת התקופה הייתה כמות המוצרים הקטנה ביותר?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. מקדם ה-x² חיובי, ולכן הפרבולה פונה כלפי מעלה ויש לה נקודת מינימום
    2. שיעור ה-x של הקדקוד: x = −b/(2a)
    3. x = −(−8)/(2·1) = 8/2 = 4
    4. לאחר 4 שנים הכמות היא הקטנה ביותר

    תשובה: 4 שנים

17. שאלה 17 · פונקציה ריבועית

    כמות המוצרים במפעל מתוארת על ידי y = x² − 8x + 17, כאשר y הוא מיליוני מוצרים. כעבור כמה שנים ייצרו במפעל 2 מיליון מוצרים?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נציב y = 2: 2 = x² − 8x + 17
    2. נעביר אגפים: 0 = x² − 8x + 15
    3. דיסקרימיננטה: (−8)² − 4·1·15 = 64 − 60 = 4
    4. √4 = 2
    5. x = (8 ± 2)/2
    6. x₁ = (8 + 2)/2 = 5 , x₂ = (8 − 2)/2 = 3
    7. שני הפתרונות תקפים: כעבור 3 שנים וכעבור 5 שנים

    תשובה: כעבור 3 שנים וכעבור 5 שנים

18. שאלה 18 · גופים במרחב

    ממתק שוקולד בצורת פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע. אורך צלע הבסיס הוא 4 ס"מ וגובה הפירמידה 3.75 ס"מ. חשבו את נפח הממתק.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נפח פירמידה: V = (S·h)/3, כאשר S הוא שטח הבסיס
    2. הבסיס ריבוע שצלעו 4 ס"מ, ולכן S = 4·4 = 16 סמ"ר
    3. V = (16 · 3.75)/3 = 60/3
    4. V = 20 סמ"ק

    תשובה: 20 סמ"ק

19. שאלה 19 · גופים במרחב

    פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע שצלעו 4 ס"מ, וגובה הפירמידה 3.75 ס"מ. חשבו את גובה הפאה הצדדית ואת שטחה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. המרחק ממרכז הבסיס לאמצע הצלע: OF = 4/2 = 2 ס"מ
    2. גובה הפירמידה מאונך לבסיס, ולכן המשולש SOF ישר זווית
    3. לפי פיתגורס: (SF)² = 2² + 3.75² = 4 + 14.0625 = 18.0625
    4. SF = √18.0625 = 4.25 ס"מ
    5. שטח הפאה הצדדית: S = (4 · 4.25)/2 = 8.5 סמ"ר

    תשובה: גובה הפאה 4.25 ס"מ, ושטחה 8.5 סמ"ר

20. שאלה 20 · גופים במרחב

    ממתק שוקולד בצורת חרוט שרדיוס בסיסו 2 ס"מ וגובהו 3.75 ס"מ. חשבו את נפח הממתק.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. שטח בסיס עגול: S = π·R² = π·2² = 4π סמ"ר
    2. נפח חרוט: V = (S·h)/3
    3. V = (4π · 3.75)/3 = 15π/3
    4. V = 5π ≈ 15.71 סמ"ק

    תשובה: 5π ≈ 15.71 סמ"ק

21. שאלה 21 · גופים במרחב

    בכל מארז מכניסים 2 ממתקי שוקולד בצורת פירמידה שנפח כל אחד 20 סמ"ק, וממתק אחד בצורת חרוט שנפחו 15.71 סמ"ק. יש שוקולד מומס בנפח 170 סמ"ק. כמה מארזים אפשר להכין לכל היותר?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נפח הממתקים במארז אחד: 2·20 + 15.71 = 40 + 15.71 = 55.71 סמ"ק
    2. מספר המארזים האפשרי: 170/55.71 ≈ 3.05
    3. לא ניתן להכין חלק ממארז, ולכן מעגלים כלפי מטה
    4. אפשר להכין 3 מארזים לכל היותר

    תשובה: 3 מארזים