שאלון 35372 — חורף 2024

16 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · גיאומטריה אנליטית

   במרובע ADEB הקודקוד A נמצא על ציר ה-x, והקודקודים D ו-E על ציר ה-y. משוואת הישר AD היא y = −2x + 4. מצאו את שיעורי הקודקודים A ו-D.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. A נמצא על ציר ה-x, ולכן שיעור ה-y שלו הוא 0
   2. נציב y = 0: 0 = −2x + 4
   3. 2x = 4 ולכן x = 2, כלומר A(2, 0)
   4. D נמצא על ציר ה-y, ולכן שיעור ה-x שלו הוא 0
   5. נציב x = 0: y = −2·0 + 4 = 4, כלומר D(0, 4)

   תשובה: A(2, 0) ו-D(0, 4)

2. שאלה 2 · גיאומטריה אנליטית

   הצלע AD מאונכת לצלע AB. משוואת AD היא y = −2x + 4, והנקודה A היא (2, 0). מצאו את משוואת הישר AB.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שיפוע AD הוא −2
   2. מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא −1
   3. שיפוע AB = −1/(−2) = 0.5
   4. נציב את A(2, 0) במשוואה y = 0.5x + b
   5. 0 = 0.5·2 + b ולכן b = −1
   6. y = 0.5x − 1

   תשובה: y = 0.5x − 1

3. שאלה 3 · גיאומטריה אנליטית

   משוואת הצלע AB היא y = 0.5x − 1. הצלע BE מקבילה לציר ה-x, ונתון E(0, 9). מצאו את שיעורי הקודקוד B.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. ישר המקביל לציר ה-x הוא ישר שכל נקודותיו בעלות אותו שיעור y
   2. E(0, 9) נמצאת עליו, ולכן גם ל-B שיעור y = 9
   3. B נמצאת על AB, נציב y = 9: 9 = 0.5x − 1
   4. 0.5x = 10 ולכן x = 20
   5. B(20, 9)

   תשובה: B(20, 9)

4. שאלה 4 · גיאומטריה אנליטית

   דרך הנקודה E(0, 9) העבירו ישר ששיפועו −1/3, החותך את הצלע AB (שמשוואתה y = 0.5x − 1) בנקודה F. מצאו את משוואת הישר EF ואת שיעורי הנקודה F.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. הישר עובר דרך E(0, 9), ולכן החותך שלו עם ציר ה-y הוא 9
   2. משוואת EF: y = −x/3 + 9
   3. נמצא חיתוך עם AB: 0.5x − 1 = −x/3 + 9
   4. 0.5x + x/3 = 10
   5. (3x + 2x)/6 = 10 כלומר 5x/6 = 10
   6. x = 12, ונציב: y = 0.5·12 − 1 = 5
   7. F(12, 5)

   תשובה: EF: y = −x/3 + 9, והנקודה F(12, 5)

5. שאלה 5 · גיאומטריה אנליטית

   נתונות הנקודות E(0, 9), B(20, 9) ו-F(12, 5). חשבו את שטח המשולש EBF.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. ל-E ול-B אותו שיעור y, ולכן EB מקביל לציר ה-x ואורכו הפרש שיעורי ה-x
   2. EB = 20 − 0 = 20
   3. הגובה לצלע EB הוא המרחק האנכי מ-F אליה
   4. גובה = 9 − 5 = 4
   5. שטח = ½ · 20 · 4 = 40

   תשובה: 40 יחידות ריבועיות

6. שאלה 6 · תכנון ליניארי

   מפעל מייצר x סוכריות ו-y מסטיקים בדקה. התחום מוגבל על ידי הישרים y = x + 4 ו-y = −0.5x + 13, והנקודות A ו-B על ציר ה-y. מהי מערכת האילוצים המתאימה: I (y ≥ x+4, y ≤ −0.5x+13, x ≥ 0, y ≥ 0) או II (y ≤ x+4, y ≥ −0.5x+13, x ≥ 0, y ≥ 0)?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. A ו-B נמצאות על ציר ה-y, כלומר התחום נוגע בציר ה-y
   2. נציב x = 0 בשני הישרים: y = 4 ו-y = 13
   3. התחום בין שתי הנקודות האלה מקיים y ≥ 4 מצד אחד ו-y ≤ 13 מצד שני
   4. כלומר התחום נמצא מעל הישר y = x + 4 ומתחת לישר y = −0.5x + 13
   5. זו בדיוק מערכת I

   תשובה: מערכת אילוצים I

7. שאלה 7 · תכנון ליניארי

   מפעל מייצר x סוכריות ו-y מסטיקים בדקה, בתחום המוגבל על ידי y ≥ x + 4, y ≤ −0.5x + 13, x ≥ 0, y ≥ 0. על כל סוכרייה מרוויח 2 שקלים ועל כל מסטיק שקל אחד. כתבו את פונקציית המטרה ומצאו כמה מכל מוצר יש לייצר כדי שהרווח יהיה מקסימלי.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. פונקציית המטרה: Z = 2x + y
   2. המקסימום מתקבל בקודקוד של התחום — נמצא את הקודקודים
   3. על ציר ה-y: B(0, 4) ו-A(0, 13)
   4. חיתוך הישרים: x + 4 = −0.5x + 13 ולכן 1.5x = 9, כלומר x = 6 ו-y = 10 — הנקודה C(6, 10)
   5. נציב בכל קודקוד: B → 4, A → 13, C → 2·6 + 10 = 22
   6. הערך הגדול ביותר הוא 22, בנקודה (6, 10)

   תשובה: פונקציית המטרה: Z = 2x + y. הרווח המקסימלי 22 שקלים, ב-6 סוכריות ו-10 מסטיקים

8. שאלה 8 · תכנון ליניארי

   התחום מקיים y ≥ x + 4, y ≤ −0.5x + 13, x ≥ 0, y ≥ 0, כאשר x מספר הסוכריות ו-y מספר המסטיקים בדקה. האם ייתכן שהמפעל מייצר 5 סוכריות ו-5 מסטיקים בדקה? נמקו.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נציב x = 5 ו-y = 5 באילוץ הראשון: y ≥ x + 4
   2. 5 ≥ 5 + 4 כלומר 5 ≥ 9 — אינו מתקיים
   3. די באילוץ אחד שאינו מתקיים כדי שהנקודה לא תהיה בתחום
   4. (לשם השלמה, האילוץ השני כן מתקיים: 5 ≤ −0.5·5 + 13 = 10.5)
   5. לכן המפעל אינו יכול לייצר 5 סוכריות ו-5 מסטיקים בדקה

   תשובה: לא — הנקודה (5, 5) אינה מקיימת את האילוץ הראשון

9. שאלה 9 · פונקציה ריבועית

   נדב זורק אבן כלפי מעלה. הפונקצייה y = −5x² + 16x + 2 מתארת את גובה האבן במטרים כפונקצייה של הזמן בשניות. מצאו את גובה האבן מעל הקרקע ברגע הזריקה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. רגע הזריקה הוא x = 0
   2. נציב: y = −5·0² + 16·0 + 2
   3. y = 2
   4. גובה האבן ברגע הזריקה הוא 2 מטרים

   תשובה: 2 מטרים

10. שאלה 10 · פונקציה ריבועית

    גובה אבן נתון על ידי y = −5x² + 16x + 2 (y במטרים, x בשניות). כעבור כמה שניות מרגע הזריקה הייתה האבן בגובה מקסימלי, ומהו גובה זה?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. המקדם של x² שלילי, ולכן לפרבולה יש נקודת מקסימום בקודקוד
    2. שיעור ה-x של הקודקוד: x = −b/(2a) = −16/(2·(−5))
    3. x = 16/10 = 1.6 שניות
    4. נציב: y = −5·(1.6)² + 16·1.6 + 2
    5. = −5·2.56 + 25.6 + 2 = −12.8 + 27.6
    6. y = 14.8 מטרים

    תשובה: אחרי 1.6 שניות, בגובה 14.8 מטרים

11. שאלה 11 · פונקציה ריבועית

    גובה אבן נתון על ידי y = −5x² + 16x + 2 (מטרים, שניות). כעבור כמה שניות מרגע הזריקה היה גובה האבן 14 מטרים? מצאו את שתי האפשרויות.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נשווה את הפונקצייה ל-14: −5x² + 16x + 2 = 14
    2. 5x² − 16x + 12 = 0
    3. הדיסקרימיננטה: (−16)² − 4·5·12 = 256 − 240 = 16, ושורשה 4
    4. x = (16 ± 4)/10
    5. x = 1.2 או x = 2
    6. שני הפתרונות חיוביים ושניהם לפני הנחיתה, ולכן שניהם מתאימים

    תשובה: אחרי 1.2 שניות ואחרי 2 שניות

12. שאלה 12 · פונקציה ריבועית

    גובה אבן נתון על ידי y = −5x² + 16x + 2 (מטרים, שניות). האם כעבור 4 שניות מרגע הזריקה כבר הגיעה האבן לקרקע, או שעדיין הייתה באוויר? נמקו.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נציב x = 4: y = −5·16 + 16·4 + 2 = −80 + 64 + 2 = −14
    2. גובה שלילי אינו אפשרי פיזית, ולכן ב-4 שניות האבן כבר על הקרקע
    3. נמצא מתי בדיוק נחתה: −5x² + 16x + 2 = 0
    4. 5x² − 16x − 2 = 0
    5. x = (16 + √(256 + 40))/10 = (16 + √296)/10 ≈ 3.32 שניות
    6. 3.32 < 4 ולכן האבן נחתה לפני שחלפו 4 שניות

    תשובה: כבר הגיעה לקרקע — הנחיתה בערך אחרי 3.32 שניות

13. שאלה 13 · גופים במרחב

    בריכת מבוגרים היא בצורת תיבה שבסיסה מלבן שאורכי צלעותיו 25 מטרים ו-13 מטרים, וגובהה 2.4 מטרים. מצאו את נפח הבריכה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נפח תיבה = שטח הבסיס × גובה
    2. שטח הבסיס = 25 · 13 = 325 מ"ר
    3. נפח = 325 · 2.4
    4. = 780 מטרים מעוקבים

    תשובה: 780 מ"ק

14. שאלה 14 · גופים במרחב

    בריכת מבוגרים בצורת תיבה שבסיסה מלבן 25 על 13 מטרים וגובהה 2.4 מטרים. סיידו את הקירות החיצוניים של הבריכה. מצאו את השטח שסיידו.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הקירות הם ארבע הפאות הצדדיות בלבד — הבסיס אינו נצבע
    2. שטח הפאות הצדדיות = היקף הבסיס × גובה
    3. היקף הבסיס = 2·(25 + 13) = 76 מטרים
    4. שטח = 76 · 2.4
    5. = 182.4 מ"ר

    תשובה: 182.4 מ"ר

15. שאלה 15 · גופים במרחב

    גובה בריכת המבוגרים הוא 2.4 מטרים, וגובה בריכת הילדים הוא שליש ממנו. מצאו את הגובה של בריכת הילדים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. גובה בריכת הילדים = ⅓ · 2.4
    2. = 0.8 מטרים

    תשובה: 0.8 מטרים

16. שאלה 16 · גופים במרחב

    בריכת הילדים היא תיבה שגובהה 0.8 מטרים. אחת מצלעות הבסיס גדולה פי 2 מן הצלע האחרת, ונפח הבריכה הוא 40 מ"ק. מצאו את אורכי צלעות הבסיס.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נסמן את הצלע הקטנה ב-a, ואז הצלע השנייה היא 2a
    2. נפח = a · 2a · 0.8 = 1.6a²
    3. 1.6a² = 40
    4. a² = 25 ולכן a = 5 (הפתרון השלילי נפסל — אורך חיובי)
    5. הצלעות הן 5 מטרים ו-10 מטרים
    6. בדיקה: 5 · 10 · 0.8 = 40 מ"ק ✓

    תשובה: 5 מטרים ו-10 מטרים