שאלון 35372 — קיץ מועד ב׳ 2023

17 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · סטטיסטיקה

   גבהי פרחי החמניות מתפלגים נורמלית עם ממוצע 90 ס"מ. 43% מן החמניות גבוהות מן הממוצע ונמוכות מ-102 ס"מ. מצאו את סטיית התקן.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. בגרף ההתפלגות הנורמלית העמודים מימין לממוצע הם 19%, 15%, 9%, 5%, 1.5%, 0.5%
   2. כל עמוד רחב חצי סטיית תקן
   3. 19 + 15 + 9 = 43, כלומר שלושת העמודים הראשונים
   4. שלושה עמודים הם 1.5 סטיות תקן, ולכן 102 = 90 + 1.5σ
   5. 1.5σ = 12
   6. σ = 8 ס"מ

   תשובה: 8 ס"מ

2. שאלה 2 · סטטיסטיקה

   גבהי החמניות מתפלגים נורמלית עם ממוצע 90 ס"מ וסטיית תקן 8 ס"מ. מהו אחוז החמניות שגבוהות מ-78 ס"מ ונמוכות מ-94 ס"מ?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. ציון התקן של 78: (78 − 90)/8 = −1.5
   2. ציון התקן של 94: (94 − 90)/8 = 0.5
   3. התחום משתרע משלושה עמודים משמאל לממוצע ועד עמוד אחד מימינו
   4. משמאל לממוצע: 9% + 15% + 19% = 43%
   5. מימין לממוצע: 19%
   6. סך הכול: 43 + 19 = 62%

   תשובה: 62%

3. שאלה 3 · סטטיסטיקה

   רועי גידל 800 פרחי חמניות. 62% מהם גבוהים מ-78 ס"מ ונמוכים מ-94 ס"מ. כמה פרחים נמצאים בתחום זה?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מספר הפרחים = 0.62 · 800
   2. = 496 פרחים

   תשובה: 496 פרחים

4. שאלה 4 · סטטיסטיקה

   רועי הכין זרים מכל 496 החמניות שגבוהות מ-78 ס"מ ונמוכות מ-94 ס"מ, כאשר בכל זר 16 פרחים בדיוק. כמה זרים הכין?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מספר הזרים = 496 : 16
   2. = 31 זרים בדיוק
   3. (אין שארית — כל 496 הפרחים נכנסו לזרים)

   תשובה: 31 זרים

5. שאלה 5 · סטטיסטיקה

   רועי הכין זרים מכל החמניות שגבוהות מ-78 ס"מ ונמוכות מ-94 ס"מ (ממוצע 90, סטיית תקן 8). האם רועי הכין זר מחמניות שציון התקן של גובהן הוא −1? נמקו.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. התחום שממנו הוכנו הזרים הוא בין 78 ל-94 ס"מ
   2. בציוני תקן זהו התחום שבין −1.5 ל-0.5
   3. ציון תקן −1 נמצא בין −1.5 ל-0.5
   4. (אפשר גם לבדוק ישירות: גובה של ציון תקן −1 הוא 90 − 8 = 82 ס"מ, שנמצא בין 78 ל-94)
   5. לכן כן, חמניות כאלה נכנסו לזרים

   תשובה: כן — ציון תקן −1 נמצא בתוך התחום

6. שאלה 6 · תכנון ליניארי

   נדב מגדל בצל וגזר בשדה ששטחו 11 דונם לכל היותר. גידול בצל בדונם דורש 2 ימי עבודה וגידול גזר בדונם דורש 7 ימי עבודה, ולרשותו 42 ימי עבודה לכל היותר. נסמן ב-x את דונמי הבצל וב-y את דונמי הגזר. רשמו את מערכת האילוצים.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. אילוץ השטח: סך הדונמים אינו עולה על 11, כלומר x + y ≤ 11
   2. אילוץ ימי העבודה: 2x + 7y ≤ 42
   3. מספר דונמים אינו שלילי: x ≥ 0 ו-y ≥ 0

   תשובה: x + y ≤ 11, 2x + 7y ≤ 42, x ≥ 0, y ≥ 0

7. שאלה 7 · תכנון ליניארי

   הרווח מגידול בצל בדונם אחד הוא 800 שקלים ומגידול גזר בדונם אחד 1,200 שקלים. נסמן ב-x את דונמי הבצל וב-y את דונמי הגזר. רשמו את פונקציית המטרה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. הרווח הכולל הוא סכום הרווחים משני הגידולים
   2. מן הבצל: 800x שקלים
   3. מן הגזר: 1,200y שקלים
   4. Z = 800x + 1200y

   תשובה: Z = 800x + 1200y

8. שאלה 8 · תכנון ליניארי

   התחום מוגדר על ידי x + y ≤ 11, 2x + 7y ≤ 42, x ≥ 0, y ≥ 0, ופונקציית המטרה היא Z = 800x + 1200y. מצאו בכמה דונמים נדב צריך לגדל בצל ובכמה גזר כדי שהרווח יהיה מקסימלי.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נמצא את קודקודי התחום
   2. על הצירים: (0 , 0), (11 , 0) ו-(0 , 6) — האחרון מן האילוץ 7y ≤ 42
   3. חיתוך שני הישרים: x + y = 11 ו-2x + 7y = 42
   4. מהראשון x = 11 − y, נציב: 2(11 − y) + 7y = 42 ולכן 5y = 20 ומכאן y = 7 ו-x = 4
   5. נציב בכל קודקוד: (11,0) → 8,800 · (0,6) → 7,200 · (4,7) → 3,200 + 8,400 = 11,600
   6. המקסימום הוא 11,600 שקלים, ב-4 דונם בצל ו-7 דונם גזר

   תשובה: 4 דונם בצל ו-7 דונם גזר, ברווח של 11,600 שקלים

9. שאלה 9 · תכנון ליניארי

   מחירי הגזר ירדו, והרווח מגידול גזר בדונם אחד הצטמצם ל-800 שקלים (הרווח מבצל נשאר 800). התחום מקיים x + y ≤ 11 ו-2x + 7y ≤ 42. מבין האפשרויות: (1) 7 דונם בצל ו-4 גזר, (2) 9 דונם בצל ו-2 גזר, (3) 0 דונם בצל ו-6 גזר — בחרו את כל האפשרויות שמתקבל בהן רווח מקסימלי.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. פונקציית המטרה החדשה: Z = 800x + 800y = 800(x + y)
   2. הרווח תלוי רק בסכום הדונמים, ולכן הוא מקסימלי כאשר x + y מקסימלי
   3. אילוץ השטח נותן x + y ≤ 11
   4. אפשרות 1: 7 + 4 = 11 ✓ ובדיקת ימי עבודה: 14 + 28 = 42 ≤ 42 ✓ → רווח 8,800
   5. אפשרות 2: 9 + 2 = 11 ✓ ובדיקת ימי עבודה: 18 + 14 = 32 ≤ 42 ✓ → רווח 8,800
   6. אפשרות 3: 0 + 6 = 6 → רווח 4,800 בלבד
   7. לכן אפשרויות 1 ו-2 נותנות שתיהן את הרווח המקסימלי

   תשובה: אפשרויות 1 ו-2 — בשתיהן הרווח 8,800 שקלים

10. שאלה 10 · גיאומטריה אנליטית

    במרובע ABCD הקודקוד C נמצא על ציר ה-x, והקודקוד B על ציר ה-y. משוואת הישר AC היא y = 4x − 32, ו-AC מאונך ל-BC. מצאו את שיעורי C ואת משוואת הישר BC.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. C על ציר ה-x, ולכן y = 0
    2. 0 = 4x − 32 ומכאן x = 8, כלומר C(8 , 0)
    3. שיפוע AC הוא 4, ו-BC מאונך לו
    4. שיפוע BC = −1/4 = −0.25
    5. נציב את C(8 , 0): 0 = −0.25 · 8 + b ולכן b = 2
    6. y = −0.25x + 2

    תשובה: C(8 , 0), ומשוואת BC היא y = −0.25x + 2

11. שאלה 11 · גיאומטריה אנליטית

    משוואת הישר AC היא y = 4x − 32, ומשוואת הישר AD היא y = −2x + 40. מצאו את שיעורי הקודקוד A.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. A נמצאת על שני הישרים, ולכן היא נקודת החיתוך שלהם
    2. 4x − 32 = −2x + 40
    3. 6x = 72
    4. x = 12
    5. נציב: y = 4 · 12 − 32 = 16
    6. A(12 , 16)

    תשובה: A(12 , 16)

12. שאלה 12 · גיאומטריה אנליטית

    הישר BC הוא y = −0.25x + 2 והישר AD הוא y = −2x + 40. הקודקוד B נמצא על ציר ה-y, והישר BD מקביל לציר ה-x. מצאו את שיעורי B ו-D.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. B על ציר ה-y, ולכן x = 0
    2. נציב במשוואת BC: y = −0.25 · 0 + 2 = 2, כלומר B(0 , 2)
    3. BD מקביל לציר ה-x, ולכן גם ל-D שיעור y = 2
    4. D נמצאת על AD: 2 = −2x + 40
    5. 2x = 38 ולכן x = 19
    6. D(19 , 2)

    תשובה: B(0 , 2) ו-D(19 , 2)

13. שאלה 13 · גיאומטריה אנליטית

    נתונות הנקודות A(12 , 16), C(8 , 0), B(0 , 2) ו-D(19 , 2). הנקודה M היא אמצע הקטע AC. חשבו את שטח המשולש BMD.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. M אמצע AC: M((12+8)/2 , (16+0)/2) = M(10 , 8)
    2. ל-B ול-D אותו שיעור y = 2, ולכן BD מקביל לציר ה-x
    3. אורך BD = 19 − 0 = 19
    4. הגובה מ-M אל BD: 8 − 2 = 6
    5. שטח = ½ · 19 · 6
    6. = 57

    תשובה: 57 יחידות ריבועיות

14. שאלה 14 · גופים במרחב

    קופסה לבנה היא תיבה שבסיסה מלבן שאורכי צלעותיו 12 ס"מ ו-25 ס"מ, וגובהה 6 ס"מ. מצאו את הנפח שלה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נפח תיבה = אורך × רוחב × גובה
    2. = 12 · 25 · 6
    3. = 300 · 6
    4. = 1,800 סמ"ק

    תשובה: 1,800 סמ"ק

15. שאלה 15 · גופים במרחב

    הנפח של קופסה לבנה הוא 1,800 סמ"ק. הנפח של קופסה אפורה גדול ב-40% מן הנפח של קופסה לבנה. מצאו את הנפח של קופסה אפורה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. גדול ב-40% פירושו הכפלה ב-1.4
    2. נפח = 1,800 · 1.4
    3. = 2,520 סמ"ק

    תשובה: 2,520 סמ"ק

16. שאלה 16 · גופים במרחב

    הקופסה האפורה היא תיבה שנפחה 2,520 סמ"ק. אורך אחת מצלעות הבסיס הוא x, אורך הצלע האחרת 21 ס"מ, והגובה גדול פי 1.2 מ-x. מצאו את x.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נפח = x · 21 · 1.2x
    2. = 25.2x²
    3. 25.2x² = 2,520
    4. x² = 100
    5. x = 10 ס"מ (הפתרון השלילי נפסל — אורך חיובי)
    6. בדיקה: 10 · 21 · 12 = 2,520 ✓

    תשובה: x = 10 ס"מ

17. שאלה 17 · גופים במרחב

    הקופסה הלבנה היא תיבה 12 × 25 × 6 ס"מ, והקופסה האפורה היא תיבה 10 × 21 × 12 ס"מ. רועי צובע את כל שטח הפנים של כל קופסה. באיזו קופסה השתמש בכמות צבע גדולה יותר? נמקו.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. שטח פנים של תיבה: 2(ab + ac + bc)
    2. קופסה לבנה: 2(12·25 + 12·6 + 25·6) = 2(300 + 72 + 150) = 2 · 522 = 1,044 סמ"ר
    3. קופסה אפורה: 2(10·21 + 10·12 + 21·12) = 2(210 + 120 + 252) = 2 · 582 = 1,164 סמ"ר
    4. 1,164 > 1,044, ולכן בקופסה האפורה נדרשה כמות צבע גדולה יותר

    תשובה: בקופסה האפורה — 1,164 סמ"ר מול 1,044 סמ"ר