שאלון 35372 — חורף 2026

16 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · תכנון ליניארי

   במאפייה מכינים עוגות שוקולד ועוגות גבינה. מכונת התערובת פועלת עד 56 דקות ותנור האפייה עד 480 דקות. עוגת שוקולד: 4 דקות תערובת ו-20 דקות אפייה. עוגת גבינה: 4 דקות תערובת ו-60 דקות אפייה. נסמן ב-x את מספר עוגות השוקולד וב-y את מספר עוגות הגבינה. כתבו את מערכת האילוצים.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. אילוץ מכונת התערובת: 4x + 4y ≤ 56
   2. נחלק ב-4: x + y ≤ 14
   3. אילוץ תנור האפייה: 20x + 60y ≤ 480
   4. נחלק ב-20: x + 3y ≤ 24
   5. מספר עוגות אינו שלילי: x ≥ 0 ו-y ≥ 0

   תשובה: x + y ≤ 14, x + 3y ≤ 24, x ≥ 0, y ≥ 0

2. שאלה 2 · תכנון ליניארי

   התחום האפשרי מוגדר על ידי x + y ≤ 14, x + 3y ≤ 24, x ≥ 0, y ≥ 0. הנקודה A היא החיתוך עם ציר ה-y, C היא החיתוך עם ציר ה-x, ו-B היא קודקוד הביניים. מצאו את שיעורי שלוש הנקודות.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. על ציר ה-y (x = 0): מהאילוץ הראשון y ≤ 14, מהשני y ≤ 8
   2. המחמיר הוא 8, ולכן A(0, 8)
   3. על ציר ה-x (y = 0): מהאילוץ הראשון x ≤ 14, מהשני x ≤ 24
   4. המחמיר הוא 14, ולכן C(14, 0)
   5. B הוא חיתוך שני הישרים: x + y = 14 ו-x + 3y = 24
   6. נחסר: 2y = 10 ולכן y = 5, ומכאן x = 9
   7. B(9, 5)

   תשובה: A(0, 8), B(9, 5), C(14, 0)

3. שאלה 3 · תכנון ליניארי

   הרווח מעוגת שוקולד הוא 52 שקלים ומעוגת גבינה 70 שקלים. קודקודי התחום האפשרי הם A(0,8), B(9,5) ו-C(14,0). כתבו את פונקציית המטרה ומצאו כמה עוגות מכל סוג יש להכין לרווח מקסימלי.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. פונקציית המטרה: Z = 52x + 70y
   2. נציב בכל קודקוד
   3. A(0, 8): 52·0 + 70·8 = 560
   4. B(9, 5): 52·9 + 70·5 = 468 + 350 = 818
   5. C(14, 0): 52·14 + 70·0 = 728
   6. הערך הגדול ביותר הוא 818, בנקודה (9, 5)

   תשובה: Z = 52x + 70y. הרווח המקסימלי 818 שקלים, ב-9 עוגות שוקולד ו-5 עוגות גבינה

4. שאלה 4 · תכנון ליניארי

   הרווח המקסימלי במחזור ייצור רגיל הוא 818 שקלים (9 עוגות שוקולד ו-5 עוגות גבינה). במחזור שבו הייתה הפסקת חשמל הכינו 9 עוגות שוקולד ו-4 עוגות גבינה. בכמה קטן הרווח באותו מחזור?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. רווח במחזור עם ההפסקה: 52·9 + 70·4
   2. = 468 + 280 = 748 שקלים
   3. ההפרש: 818 − 748 = 70 שקלים
   4. (אפשר גם לראות מיד: הופחתה עוגת גבינה אחת, שהרווח ממנה 70 שקלים)

   תשובה: ב-70 שקלים

5. שאלה 5 · גיאומטריה אנליטית

   במרובע ABCD הקודקוד A נמצא על ציר ה-x, והצלע AB מאונכת לצלע AD. משוואת AB היא y = −0.5x + 6. מצאו את שיעורי A ואת משוואת הצלע AD.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. A על ציר ה-x, ולכן y = 0
   2. 0 = −0.5x + 6 ומכאן x = 12, כלומר A(12, 0)
   3. שיפוע AB הוא −0.5, ו-AD מאונכת לה
   4. שיפוע AD = −1/(−0.5) = 2
   5. נציב את A(12, 0) ב-y = 2x + b: 0 = 24 + b ולכן b = −24
   6. y = 2x − 24

   תשובה: A(12, 0), ומשוואת AD היא y = 2x − 24

6. שאלה 6 · גיאומטריה אנליטית

   משוואת הצלע AD היא y = 2x − 24, ומשוואת האלכסון BD היא y = 0.75x + 3.5. מצאו את שיעורי הקודקוד D.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. D נמצא גם על AD וגם על BD, ולכן הוא פתרון המערכת
   2. 2x − 24 = 0.75x + 3.5
   3. 1.25x = 27.5
   4. x = 22
   5. נציב: y = 2·22 − 24 = 20
   6. D(22, 20)

   תשובה: D(22, 20)

7. שאלה 7 · גיאומטריה אנליטית

   נתון D(22, 20), והצלע CD מקבילה לציר ה-x ואורכה 5. הקודקוד C נמצא משמאל ל-D. מצאו את שיעורי C.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. CD מקבילה לציר ה-x, ולכן ל-C ול-D אותו שיעור y = 20
   2. אורך CD הוא הפרש שיעורי ה-x
   3. C נמצא משמאל, ולכן x_C = 22 − 5 = 17
   4. C(17, 20)

   תשובה: C(17, 20)

8. שאלה 8 · גיאומטריה אנליטית

   נתונים A(12, 0), D(22, 20) ו-C(17, 20), והנקודה E היא אמצע הצלע AD. חשבו את היקף המשולש CDE.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. E אמצע AD: E((12+22)/2, (0+20)/2) = E(17, 10)
   2. CD = 5 (נתון)
   3. ל-C ול-E אותו שיעור x, ולכן CE הוא אנכי: CE = 20 − 10 = 10
   4. DE = √((22−17)² + (20−10)²) = √(25 + 100) = √125 = 5√5 ≈ 11.18
   5. היקף = 5 + 10 + 5√5
   6. = 15 + 5√5 ≈ 26.18

   תשובה: 15 + 5√5 ≈ 26.18

9. שאלה 9 · סטטיסטיקה

   המרחקים שנסעו שליחים מתפלגים נורמלית עם ממוצע 1,280 ק"מ. 7% מן השליחים נסעו פחות מ-770 ק"מ. מצאו את סטיית התקן.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. בגרף ההתפלגות הנורמלית האחוזים המצטברים משמאל הם 0.5%, 2%, 7%, 16% …
   2. 7% נופל בדיוק על הגבול שמרחקו 1.5 סטיות תקן משמאל לממוצע
   3. כלומר 770 = 1280 − 1.5σ
   4. 1.5σ = 510
   5. σ = 340 ק"מ

   תשובה: 340 ק"מ

10. שאלה 10 · סטטיסטיקה

    המרחקים מתפלגים נורמלית עם ממוצע 1,280 ק"מ וסטיית תקן 340 ק"מ. כמה אחוזים מן השליחים נסעו מרחק גדול מן הממוצע וקטן מ-1,620 ק"מ?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. 1620 − 1280 = 340, שהוא בדיוק סטיית תקן אחת
    2. מדובר בתחום שבין הממוצע ובין סטיית תקן אחת מעליו
    3. בגרף זהו סכום שני העמודים: 19% + 15%
    4. = 34%

    תשובה: 34%

11. שאלה 11 · סטטיסטיקה

    נמצא כי 136 שליחים נסעו מרחק גדול מן הממוצע וקטן מ-1,620 ק"מ, שהם 34% מן השליחים. כמה שליחים סך הכול יש בחברה?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נסמן ב-n את מספר השליחים
    2. 0.34n = 136
    3. n = 136 / 0.34
    4. n = 400 שליחים

    תשובה: 400 שליחים

12. שאלה 12 · סטטיסטיקה

    שליחים שציון התקן של המרחק שנסעו גבוה מ-2.6 קיבלו תוספת לשכר. הממוצע 1,280 ק"מ וסטיית התקן 340 ק"מ. דני נסע 2,096 ק"מ. האם קיבל תוספת? נמקו.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נחשב ציון תקן: z = (x − μ)/σ
    2. z = (2096 − 1280)/340
    3. = 816/340
    4. = 2.4
    5. 2.4 < 2.6, ולכן דני לא קיבל תוספת לשכר

    תשובה: לא — ציון התקן שלו 2.4 ואינו גבוה מ-2.6

13. שאלה 13 · גופים במרחב

    קרטון חלב הוא תיבה שבסיסה ריבוע. גובה הקרטון 24 ס"מ ואורך צלע הבסיס 6.5 ס"מ. מצאו את הנפח של הקרטון.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. בסיס ריבועי, ולכן שטח הבסיס = 6.5² = 42.25 סמ"ר
    2. נפח = שטח הבסיס × גובה
    3. = 42.25 · 24
    4. = 1,014 סמ"ק

    תשובה: 1,014 סמ"ק

14. שאלה 14 · גופים במרחב

    כוס שתייה היא גליל שרדיוס בסיסו 3 ס"מ ושטח המעטפת שלו 48π סמ"ר. מצאו את גובה הכוס ואת נפחה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. שטח מעטפת גליל: 2πrh
    2. 2π·3·h = 48π
    3. 6πh = 48π ולכן h = 8 ס"מ
    4. נפח גליל: πr²h
    5. = π·3²·8 = 72π
    6. ≈ 226.19 סמ"ק

    תשובה: גובה 8 ס"מ, ונפח 72π ≈ 226.19 סמ"ק

15. שאלה 15 · גופים במרחב

    בקרטון יש 1,014 סמ"ק חלב, ולדני 6 כוסות זהות שנפח כל אחת 72π סמ"ק. הוא רוצה למזוג לכל כוס חלב בנפח השווה ל-92% מנפח הכוס. האם כמות החלב תספיק? נמקו.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נפח החלב בכוס אחת: 0.92 · 72π ≈ 0.92 · 226.19 ≈ 208.10 סמ"ק
    2. עבור 6 כוסות: 6 · 208.10 ≈ 1,248.6 סמ"ק
    3. בקרטון יש 1,014 סמ"ק בלבד
    4. 1,248.6 > 1,014, ולכן כמות החלב אינה מספיקה

    תשובה: לא — נדרשים כ-1,248.6 סמ"ק ובקרטון יש 1,014 בלבד

16. שאלה 16 · גופים במרחב

    קרטון חלב נוסף הוא תיבה שבסיסה ריבוע, גובהו 24 ס"מ ונפחו 1,500 סמ"ק. מצאו את אורך צלע הבסיס.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נסמן ב-a את צלע הבסיס. נפח = a² · 24
    2. a² · 24 = 1500
    3. a² = 62.5
    4. a = √62.5 ≈ 7.91 ס"מ (הפתרון השלילי נפסל — אורך חיובי)

    תשובה: כ-7.91 ס"מ