שאלון 35372 — קיץ מועד א׳ 2023

20 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · סטטיסטיקה

   הציונים במבחן קבלה לאוניברסיטה מתפלגים נורמלית עם סטיית תקן 80. נתון כי 84% מן הנבחנים קיבלו ציון גבוה מ-410. מצאו את הציון הממוצע.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. אם 84% קיבלו ציון גבוה מ-410, אז 100% − 84% = 16% קיבלו ציון נמוך ממנו
   2. בגרף ההתפלגות הנורמלית, 16% מצטבר משמאל = 0.5% + 1.5% + 5% + 9%
   3. זהו בדיוק המצב של סטיית תקן אחת מתחת לממוצע
   4. 410 = x̄ − 80
   5. x̄ = 490 נקודות

   תשובה: 490 נקודות

2. שאלה 2 · סטטיסטיקה

   הציונים במבחן קבלה מתפלגים נורמלית עם ממוצע 490 וסטיית תקן 80. ציון הסף לקבלה לאוניברסיטה הוא 450. איזה אחוז מן הנבחנים יכולים להתקבל?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. חצי סטיית תקן: 80/2 = 40
   2. 450 = 490 − 40, כלומר חצי סטיית תקן מתחת לממוצע
   3. מהממוצע ומעלה: 50%
   4. בין חצי סטיית תקן מתחת לממוצע: 19%
   5. סך הכול: 50% + 19% = 69%

   תשובה: 69%

3. שאלה 3 · סטטיסטיקה

   למבחן קבלה ניגשו 40,000 נבחנים, ו-69% מהם יכולים להתקבל לאוניברסיטה. כמה נבחנים יכולים להתקבל?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. 0.69 · 40,000 = 27,600 נבחנים
   2. לחלופין: 1% הוא 400 נבחנים, ולכן 69% הם 69 · 400 = 27,600

   תשובה: 27,600 נבחנים

4. שאלה 4 · סטטיסטיקה

   הציונים מתפלגים נורמלית עם ממוצע 490 וסטיית תקן 80, וציון הסף לקבלה הוא 450. ציון התקן של יורם היה 0. האם יורם יכול להתקבל לאוניברסיטה?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. ציון תקן 0 פירושו שהנתון שווה בדיוק לממוצע
   2. z = (x − x̄)/S → 0 = (x − 490)/80 → x = 490
   3. 490 > 450
   4. לכן יורם יכול להתקבל

   תשובה: כן — ציונו 490, מעל הסף

5. שאלה 5 · סטטיסטיקה

   הציונים מתפלגים נורמלית עם ממוצע 490 וסטיית תקן 80. רק 0.5% מן הנבחנים, בעלי הציונים הגבוהים ביותר, מתקבלים ללימודי רפואה. מצאו את הציון הנמוך ביותר המאפשר קבלה, ואת ציון התקן שלו.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. 0.5% העליונים נמצאים מעל 2.5 סטיות תקן מהממוצע (לפי גרף ההתפלגות הנורמלית)
   2. x = 490 + 2.5 · 80 = 490 + 200 = 690
   3. אימות ציון התקן: z = (690 − 490)/80 = 200/80 = 2.5

   תשובה: ציון 690 , ציון תקן 2.5

6. שאלה 6 · תכנון ליניארי

   במאפייה מכינים שני סוגי מאפים. מאפה עם שומשום דורש 80 גרם בצק ו-4 גרם שומשום, ומאפה בלי שומשום דורש 100 גרם בצק. ביום מסוים יש לכל היותר 20 ק"ג בצק ו-640 גרם שומשום. נסמן ב-x מאפים עם שומשום וב-y בלי. כתבו את מערכת האילוצים.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. 20 ק"ג = 20 · 1,000 = 20,000 גרם בצק
   2. אילוץ הבצק: 80x + 100y ≤ 20,000
   3. השומשום נדרש רק למאפה מסוג x: 4x ≤ 640
   4. כמויות אינן שליליות: x ≥ 0 , y ≥ 0

   תשובה: 80x + 100y ≤ 20,000 ; 4x ≤ 640 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

7. שאלה 7 · תכנון ליניארי

   במאפייה יש 20,000 גרם בצק. מאפה בלי שומשום דורש 100 גרם בצק. אם אופים רק מאפים בלי שומשום, כמה אפשר לאפות לכל היותר?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. 20,000 / 100 = 200 מאפים
   2. אילוץ השומשום אינו רלוונטי כאן, כי מאפה זה אינו דורש שומשום

   תשובה: 200 מאפים

8. שאלה 8 · תכנון ליניארי

   במאפייה: הרווח ממאפה עם שומשום הוא 4 שקלים וממאפה בלי שומשום 2 שקלים. האילוצים הם 80x + 100y ≤ 20,000 ו-4x ≤ 640. מצאו את קודקודי התחום האפשרי ואת הרווח המקסימלי.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. פונקציית המטרה: f(x,y) = 4x + 2y
   2. האילוץ השני: x ≤ 160
   3. האילוץ הראשון מצומצם: 0.8x + y ≤ 200
   4. קודקוד החיתוך: x = 160 → 0.8·160 + y = 200 → 128 + y = 200 → y = 72
   5. נבדוק את כל הקודקודים:
   6. (0 , 0) → 0 ; (0 , 200) → 400 ; (160 , 72) → 640 + 144 = 784 ; (160 , 0) → 640
   7. המקסימום: 784 שקלים ב-(160 , 72)

   תשובה: רווח מקסימלי 784 שקלים, בנקודה (160 , 72)

9. שאלה 9 · גיאומטריה אנליטית

   משוואת הצלע AB היא y = ½x + 3. הקודקוד A נמצא על ציר ה-x, והקודקוד B מקיים y_B = 8. מצאו את שיעורי A ואת שיעור ה-x של B.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. A על ציר ה-x, כלומר y = 0
   2. 0 = ½x + 3 → ½x = −3 → x = −6 → A(−6 , 0)
   3. עבור B: 8 = ½x + 3
   4. ½x = 5 → x = 10

   תשובה: A(−6 , 0) ו-x_B = 10

10. שאלה 10 · גיאומטריה אנליטית

    נתונים B(10 , 8) ו-C(14 , 0), ומשוואת הצלע AB היא y = ½x + 3. הוכיחו כי AB מאונכת ל-BC.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. שיפוע BC: (8 − 0)/(10 − 14) = 8/(−4) = −2
    2. שיפוע AB הוא ½ (המקדם של x במשוואה)
    3. מכפלת השיפועים: ½ · (−2) = −1
    4. מכפלה ‎−1 פירושה שהישרים מאונכים

    תשובה: מכפלת השיפועים היא ‎−1

11. שאלה 11 · גיאומטריה אנליטית

    נתון C(14 , 0), ושיפוע הישר EC הוא ‎−½. מצאו את משוואת EC ואת שיעורי נקודת החיתוך E שלו עם הישר y = ½x + 3.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. y − 0 = −½(x − 14)
    2. y = −½x + 7
    3. נשווה לישר השני: ½x + 3 = −½x + 7
    4. x = 4
    5. y = ½·4 + 3 = 5
    6. E(4 , 5)

    תשובה: EC: y = −½x + 7 ; E(4 , 5)

12. שאלה 12 · גיאומטריה אנליטית

    נתונים E(4 , 5), B(10 , 8) ו-C(14 , 0), כאשר הזווית ב-B ישרה. חשבו את שטח המשולש EBC.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. BE = √((10−4)² + (8−5)²) = √(36 + 9) = √45
    2. BC = √((10−14)² + (8−0)²) = √(16 + 64) = √80
    3. הזווית ב-B ישרה, ולכן BE ו-BC הם הניצבים
    4. S = (√45 · √80)/2 = √3,600/2
    5. = 60/2 = 30

    תשובה: 30

13. שאלה 13 · גיאומטריה אנליטית

    נתונים E(4 , 5) ו-C(14 , 0), ושטח המשולש EBC הוא 30. הנקודה F נמצאת על ציר ה-x כך ש-EF מקביל לציר ה-y. חשבו את שטח המרובע FEBC.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. EF מקביל לציר ה-y, ולכן x_F = x_E = 4, ו-F על ציר ה-x, כלומר F(4 , 0)
    2. EF = |5 − 0| = 5
    3. CF = |14 − 4| = 10
    4. EF מאונך לציר ה-x, ולכן המשולש EFC ישר זווית ב-F
    5. S(EFC) = (10 · 5)/2 = 25
    6. S(FEBC) = S(EFC) + S(EBC) = 25 + 30 = 55

    תשובה: 55

14. שאלה 14 · גופים במרחב

    מלחייה מסוג א' היא תיבה שבסיסה ריבוע שאורך צלעו 4 ס"מ וגובהה 10 ס"מ. חשבו את נפחה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נפח תיבה: V = a · b · c
    2. V = 4 · 4 · 10
    3. V = 160 סמ"ק

    תשובה: 160 סמ"ק

15. שאלה 15 · גופים במרחב

    נפח מלחייה מסוג א' הוא 160 סמ"ק. נפח מלחייה מסוג ב' קטן ב-96 סמ"ק. מלחייה מסוג ב' היא פירמידה שבסיסה ריבוע שאורך צלעו 4 ס"מ. מצאו את הגובה שלה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נפח מסוג ב': 160 − 96 = 64 סמ"ק
    2. שטח הבסיס: 4 · 4 = 16 סמ"ר
    3. נפח פירמידה: V = (S · h)/3
    4. 64 = (16 · h)/3
    5. 192 = 16h → h = 12 ס"מ

    תשובה: 12 ס"מ

16. שאלה 16 · בעיות מילוליות

    מלחייה מסוג א' נפחה 160 סמ"ק ומסוג ב' 64 סמ"ק. בכל מלחייה מילאו מלח בנפח 75% מנפחה. מספר המלחיות מסוג א' גדול ב-8 ממספר המלחיות מסוג ב', ונפח המלח הכולל היה 3,144 סמ"ק. כמה מלחיות מסוג ב' היו?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. מלח במלחייה מסוג א': 0.75 · 160 = 120 סמ"ק
    2. מלח במלחייה מסוג ב': 0.75 · 64 = 48 סמ"ק
    3. נסמן ב-x את מספר המלחיות מסוג ב', ואז מסוג א' יש x + 8
    4. 48x + 120(x + 8) = 3,144
    5. 48x + 120x + 960 = 3,144
    6. 168x = 2,184 → x = 13

    תשובה: 13 מלחיות

17. שאלה 17 · גופים במרחב

    מבנה בנוי מקוביות, ותרשים מספרים מתאר כמה קוביות יש בכל משבצת במבט מלפנים. בלוח של שתי שורות ושלושה טורים רשומים המספרים 3, 3, 1 בשורה העליונה ו-2, 1, 0 בתחתונה. כמה קוביות יש במבנה?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. תרשים מספרים סופר את מספר הקוביות בכל משבצת
    2. הסכום: 3 + 3 + 1 + 2 + 1 + 0
    3. = 10 קוביות

    תשובה: 10 קוביות

18. שאלה 18 · גופים במרחב

    שני מבנים מקוביות: במבנה 1 יש 10 קוביות ובמבנה 2 יש 11 קוביות. אורך צלע כל קובייה הוא 3. בכמה גדול נפח מבנה 2 מנפח מבנה 1?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. ההפרש: 11 − 10 = קובייה אחת
    2. נפח קובייה: V = a³ = 3³ = 27
    3. ההפרש בנפח: 27

    תשובה: ב-27

19. שאלה 19 · גופים במרחב

    במבנה מקוביות, המבט מלפנים מראה מימין לשמאל גבהים של 1, 3 ו-3 קוביות, והמבט מימין מראה שני טורים בגובה 3 קוביות כל אחד. הסבירו כיצד מבט אחד מבדיל בין שני מבנים שהמבט השני שלהם זהה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. המבט מלפנים מראה את הגובה המרבי בכל טור, ומסתיר מה נמצא מאחור
    2. שני מבנים שונים בעומק יכולים להיראות זהים מלפנים
    3. המבט מימין מראה את הגובה המרבי בכל שורת עומק
    4. כאן: מבנה שבו שני טורי העומק בגובה 3 שונה ממבנה שבו הטור השמאלי רק בגובה 2
    5. לכן המבט מימין הוא שמכריע ביניהם

    תשובה: המבט מימין מגלה את העומק, שהמבט מלפנים מסתיר

20. שאלה 20 · תכנון ליניארי

    במאפייה, האילוץ על הבצק הוא 80x + 100y ≤ 20,000. מצאו את נקודות החיתוך של הישר 80x + 100y = 20,000 עם הצירים, וקבעו באיזה צד של הישר נמצא התחום האפשרי.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נצמצם ב-80: x + 1.25y = 250
    2. חיתוך עם ציר ה-x: y = 0 → x = 250
    3. חיתוך עם ציר ה-y: x = 0 → 1.25y = 250 → y = 200
    4. נציב את (0 , 0) באי-שוויון: 0 ≤ 20,000 ✓
    5. הראשית מקיימת את האילוץ, ולכן התחום האפשרי הוא הצד שבו היא נמצאת — מתחת לישר

    תשובה: חיתוך ב-(250 , 0) וב-(0 , 200) ; התחום מתחת לישר