שאלון 35372 — חורף 2023

18 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · סטטיסטיקה

   במטע תפוחים, כמות התפוחים שמניב כל עץ מתפלגת נורמלית עם ממוצע 80 ק"ג וסטיית תקן 12 ק"ג. איזה אחוז מן העצים מניבים יותר מ-92 ק"ג?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. 92 = 80 + 12, כלומר סטיית תקן אחת מעל הממוצע
   2. בגרף ההתפלגות הנורמלית, השטח מעל סטיית תקן אחת הוא:
   3. 9% + 5% + 1.5% + 0.5% = 16%

   תשובה: 16%

2. שאלה 2 · סטטיסטיקה

   במטע תפוחים 16% מן העצים מניבים יותר מ-92 ק"ג. ידוע ש-48 עצים מניבים יותר מ-92 ק"ג. כמה עצים יש במטע?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. 0.16 · n = 48
   2. n = 48 / 0.16
   3. n = 300 עצים
   4. לחלופין: 1% הוא 48/16 = 3 עצים, ולכן 100% הם 300

   תשובה: 300 עצים

3. שאלה 3 · סטטיסטיקה

   כמות התפוחים מתפלגת נורמלית עם ממוצע 80 ק"ג וסטיית תקן 12 ק"ג. עץ אחד מניב 95 ק"ג. מצאו את ציון התקן שלו.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. z = (x − x̄)/S
   2. z = (95 − 80)/12 = 15/12
   3. z = 1.25

   תשובה: 1.25

4. שאלה 4 · סטטיסטיקה

   כמות התפוחים מתפלגת נורמלית עם ממוצע 80 ק"ג וסטיית תקן 12 ק"ג. ציון התקן של עץ מסוים הוא 2. כמה ק"ג הוא מניב?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. z = (x − x̄)/S
   2. 2 = (x − 80)/12
   3. 24 = x − 80
   4. x = 104 ק"ג

   תשובה: 104 ק"ג

5. שאלה 5 · תכנון ליניארי

   מנת בשר מכילה 224 קלוריות ו-45 גרם חלבון; מנת סלט ירוק מכילה 56 קלוריות ו-15 גרם חלבון. יש לצרוך לכל היותר 1,792 קלוריות ולפחות 135 גרם חלבון. נסמן ב-x מנות בשר וב-y מנות סלט. כתבו את מערכת האילוצים.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. אילוץ הקלוריות הוא מגבלה עליונה: 224x + 56y ≤ 1,792
   2. אילוץ החלבון הוא דרישת מינימום: 45x + 15y ≥ 135
   3. כמויות המנות אינן שליליות: x ≥ 0 , y ≥ 0

   תשובה: 224x + 56y ≤ 1,792 ; 45x + 15y ≥ 135 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

6. שאלה 6 · תכנון ליניארי

   מחיר מנת בשר 26 שקלים ומנת סלט ירוק 12 שקלים. קודקודי התחום האפשרי הם (0,32), (0,9), (3,0) ו-(8,0). כמה מנות מכל סוג יש לצרוך כדי שהמחיר יהיה מינימלי, ומהו מחיר זה?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. פונקציית המטרה: f(x,y) = 26x + 12y
   2. (0 , 32) → 12 · 32 = 384
   3. (0 , 9) → 12 · 9 = 108
   4. (3 , 0) → 26 · 3 = 78
   5. (8 , 0) → 26 · 8 = 208
   6. המינימום: 78 שקלים בנקודה (3 , 0)

   תשובה: 3 מנות בשר ללא סלט — 78 שקלים

7. שאלה 7 · תכנון ליניארי

   מחיר מנת בשר עלה מ-26 ל-37 שקלים, ומחיר מנת הסלט נשאר 12. הקודקודים הרלוונטיים הם (3,0) ו-(0,9). האם ההרכב הזול ביותר משתנה?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. בנקודה (3 , 0): 37 · 3 = 111 שקלים
   2. בנקודה (0 , 9): 12 · 9 = 108 שקלים (לא השתנה)
   3. 108 < 111
   4. לכן ההרכב הזול ביותר הוא 9 מנות סלט ללא בשר

   תשובה: כן — עוברים ל-9 מנות סלט ללא בשר

8. שאלה 8 · גיאומטריה אנליטית

   נתון B(0 , 2) ומשוואת AB היא y = ¼x + 2. הזווית ABD ישרה. מצאו את משוואת הצלע BD.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. AB ⊥ BD, ולכן מכפלת השיפועים היא ‎−1
   2. שיפוע AB הוא ¼, ולכן שיפוע BD הוא ‎−4
   3. y − 2 = −4(x − 0)
   4. y = −4x + 2

   תשובה: y = −4x + 2

9. שאלה 9 · גיאומטריה אנליטית

   נתונים B(0 , 2), D(−2 , 10) ו-E(0 , 10.5). הנקודה M היא אמצע BD. חשבו את שטח המשולש BME.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נחשב תחילה את שטח המשולש EDB
   2. BE הוא קטע על ציר ה-y באורך 10.5 − 2 = 8.5
   3. הגובה מ-D אל BE הוא המרחק האופקי: |−2 − 0| = 2
   4. S(EDB) = (8.5 · 2)/2 = 8.5
   5. M אמצע BD, ולכן EM הוא תיכון במשולש EDB
   6. תיכון מחלק משולש לשני משולשים שווי שטח
   7. S(BME) = 8.5/2 = 4.25

   תשובה: 4.25

10. שאלה 10 · גופים במרחב

    גביע גלידה בצורת חרוט שרדיוסו 4 ס"מ וגובהו 12 ס"מ. חשבו את נפח הגלידה הדרוש למילויו.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נפח חרוט: V = (π·R²·h)/3
    2. V = (π · 16 · 12)/3
    3. V = π · 64 = 64π
    4. ≈ 201.1 סמ"ק

    תשובה: 64π ≈ 201.1 סמ"ק

11. שאלה 11 · גופים במרחב

    בחרוט שרדיוסו 4 ס"מ וגובהו 12 ס"מ, מצאו את אורך הקו היוצר.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הגובה, הרדיוס והקו היוצר יוצרים משולש ישר זווית
    2. הקו היוצר הוא היתר
    3. l² = 12² + 4² = 144 + 16 = 160
    4. l = √160 ≈ 12.65 ס"מ

    תשובה: √160 ≈ 12.65 ס"מ

12. שאלה 12 · גופים במרחב

    בחרוט שרדיוסו 4 ס"מ והקו היוצר שלו √160 ≈ 12.65 ס"מ, חשבו את שטח המעטפת.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. שטח מעטפת חרוט: M = π·R·l
    2. M = π · 4 · 12.65
    3. M ≈ 50.6π ≈ 159 סמ"ר

    תשובה: כ-50.6π ≈ 159 סמ"ר

13. שאלה 13 · גיאומטריה אנליטית

    נתונים A(−8,0), B(0,2) ומשוואת BD היא y = −4x + 2. הקודקוד D מקיים x_D = −2. מצאו את שיעורי D והוכיחו כי המשולש ABD שווה שוקיים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. y_D = −4·(−2) + 2 = 8 + 2 = 10 → D(−2 , 10)
    2. AB = √((−8 − 0)² + (0 − 2)²) = √(64 + 4) = √68
    3. BD = √((−2 − 0)² + (10 − 2)²) = √(4 + 64) = √68
    4. AB = BD, ולכן המשולש שווה שוקיים

    תשובה: D(−2 , 10) ; AB = BD = √68

14. שאלה 14 · גיאומטריה אנליטית

    נתון D(−2 , 10) וששיפוע AB הוא ¼. דרך D מעבירים ישר DE המקביל ל-AB, החותך את ציר ה-y בנקודה E. מצאו את משוואת DE ואת שיעורי E.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. לישרים מקבילים שיפועים שווים, לכן m(DE) = ¼
    2. y − 10 = ¼(x + 2)
    3. y − 10 = ¼x + 0.5
    4. y = ¼x + 10.5
    5. E על ציר ה-y: x = 0 → y = 10.5 → E(0 , 10.5)

    תשובה: DE: y = ¼x + 10.5 ; E(0 , 10.5)

15. שאלה 15 · גופים במרחב

    גביע רגיל הוא חרוט שרדיוסו 4 ס"מ וגובהו 12 ס"מ. גביע אקסטרים בעל אותו רדיוס, וגובהו גדול פי 1.25. חשבו את נפח הגלידה הדרוש ל-48 גביעי אקסטרים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. גובה גביע אקסטרים: 12 · 1.25 = 15 ס"מ
    2. V = (π · 4² · 15)/3 = (π · 16 · 15)/3 = 80π סמ"ק
    3. עבור 48 גביעים: 48 · 80π = 3,840π
    4. ≈ 12,064 סמ"ק

    תשובה: 3,840π ≈ 12,064 סמ"ק

16. שאלה 16 · תכנון ליניארי

    נתונים האילוצים 224x + 56y ≤ 1,792 ו-45x + 15y ≥ 135. מצאו את נקודות החיתוך של שני הישרים עם הצירים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נצמצם את הראשון ב-56: 4x + y = 32
    2. y = 0 → x = 8 ; x = 0 → y = 32
    3. נצמצם את השני ב-15: 3x + y = 9
    4. y = 0 → x = 3 ; x = 0 → y = 9

    תשובה: הראשון: (8,0) ו-(0,32) ; השני: (3,0) ו-(0,9)

17. שאלה 17 · גיאומטריה אנליטית

    משוואת הצלע AB היא y = ¼x + 2. הקודקוד B על ציר ה-y והקודקוד A על ציר ה-x. מצאו את שיעוריהם.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. B על ציר ה-y: x = 0 → y = 2 → B(0 , 2)
    2. A על ציר ה-x: y = 0 → 0 = ¼x + 2
    3. ¼x = −2 → x = −8 → A(−8 , 0)

    תשובה: B(0 , 2) ו-A(−8 , 0)

18. שאלה 18 · גופים במרחב

    מבנה בנוי מ-8 קוביות זהות, והנפח הכולל שלהן הוא 216 סמ"ק. מצאו את נפח קובייה אחת ואת אורך מקצועה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נפח קובייה אחת: 216/8 = 27 סמ"ק
    2. נפח קובייה: V = a³
    3. a³ = 27 → a = ∛27 = 3 ס"מ

    תשובה: נפח 27 סמ"ק, מקצוע 3 ס"מ