שאלון 35372 — קיץ מועד א׳ 2025

20 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · תכנון ליניארי

   בחנות ממתקים מוכרים מארזי שי לחג. בכל מארז יש פריטים משני סוגים: חפיסות שוקולד וחטיפים. המשקל של חפיסת שוקולד אחת הוא 150 גרם והמשקל של חטיף אחד הוא 50 גרם. בכל מארז יש לכל היותר 20 פריטים, והמשקל של מארז אחד הוא לכל היותר 1500 גרם. נסמן ב-x את מספר חפיסות השוקולד במארז וב-y את מספר החטיפים במארז. כתבו את מערכת האילוצים של הבעיה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. x — מספר חפיסות השוקולד במארז, y — מספר החטיפים במארז
   2. מגבלת מספר הפריטים: במארז יש לכל היותר 20 פריטים, ולכן x + y ≤ 20
   3. מגבלת המשקל: כל חפיסת שוקולד 150 גרם וכל חטיף 50 גרם, והמשקל הכולל לכל היותר 1500 גרם, ולכן 150x + 50y ≤ 1500
   4. הכמויות אינן יכולות להיות שליליות: x ≥ 0 , y ≥ 0

   תשובה: 150x + 50y ≤ 1500 ; x + y ≤ 20 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

2. שאלה 2 · תכנון ליניארי

   נתונה מערכת האילוצים: 150x + 50y ≤ 1500 , x + y ≤ 20 , x ≥ 0 , y ≥ 0. מצאו את קדקודי התחום האפשרי (מלבד ראשית הצירים).

   פתרון שלב אחר שלב

   1. בישר x + y = 20: עבור x = 0 מקבלים y = 20, ועבור y = 0 מקבלים x = 20
   2. בישר 150x + 50y = 1500: עבור x = 0 מקבלים y = 30, ועבור y = 0 מקבלים x = 10
   3. הקדקודים שעל הצירים הם (0;20) ו-(10;0)
   4. נמצא את נקודת החיתוך בין שני הישרים. מ-x + y = 20 נקבל y = 20 − x
   5. נציב: 150x + 50(20 − x) = 1500
   6. 150x + 1000 − 50x = 1500 → 100x = 500 → x = 5
   7. y = 20 − 5 = 15, ולכן נקודת החיתוך היא (5;15)

   תשובה: (0;20) , (10;0) , (5;15)

3. שאלה 3 · תכנון ליניארי

   בחנות ממתקים מוכרים מארזי שי. מערכת האילוצים היא 150x + 50y ≤ 1500 , x + y ≤ 20 , x ≥ 0 , y ≥ 0, וקדקודי התחום האפשרי הם (0;0) , (0;20) , (10;0) , (5;15). הרווח מחפיסת שוקולד אחת הוא 4 שקלים והרווח מחטיף אחד הוא 3 שקלים. כמה חפיסות שוקולד וכמה חטיפים צריכים להיות במארז אחד כדי להשיג רווח מקסימלי, ומהו הרווח המקסימלי?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. פונקציית המטרה: f(x,y) = 4x + 3y
   2. נציב כל אחד מקדקודי התחום בפונקציית המטרה
   3. f(0,0) = 4·0 + 3·0 = 0
   4. f(0,20) = 4·0 + 3·20 = 60
   5. f(10,0) = 4·10 + 3·0 = 40
   6. f(5,15) = 4·5 + 3·15 = 20 + 45 = 65
   7. הערך המקסימלי מתקבל בקדקוד (5;15) והוא 65 שקלים

   תשובה: 5 חפיסות שוקולד ו-15 חטיפים, רווח מקסימלי 65 שקלים

4. שאלה 4 · תכנון ליניארי

   במארז שי יש חפיסות שוקולד וחטיפים. משקל חפיסת שוקולד 150 גרם, משקל חטיף 50 גרם. בכל מארז לכל היותר 20 פריטים, ומשקלו לכל היותר 1500 גרם. האם ייתכן שיש במארז אחד 9 חפיסות שוקולד ו-4 חטיפים? נמקו.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נבדוק את אילוץ מספר הפריטים: 9 + 4 = 13 פריטים, וזה עומד באילוץ של לכל היותר 20 פריטים
   2. נבדוק את אילוץ המשקל: 150·9 + 50·4 = 1350 + 200 = 1550 גרם
   3. 1550 > 1500, ולכן אילוץ המשקל אינו מתקיים
   4. מספיק שאילוץ אחד אינו מתקיים כדי שהמארז לא יהיה אפשרי

   תשובה: לא — המשקל יוצא 1550 גרם, יותר מ-1500 גרם המותרים

5. שאלה 5 · גיאומטריה אנליטית

   במשולש ישר זווית ABC הזווית BAC היא בת 90 מעלות. הקודקוד A נמצא על ציר ה-x. הנקודה E היא אמצע הצלע AB. נתון: A(−2;0) ו-E(4;9). מצאו את שיעורי הקודקוד B.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. E היא אמצע הקטע AB, ולכן x_E = (x_A + x_B)/2
   2. 4 = (−2 + x_B)/2 → 8 = −2 + x_B → x_B = 10
   3. באותו אופן: 9 = (0 + y_B)/2 → y_B = 18
   4. שיעורי הקודקוד הם B(10;18)

   תשובה: B(10;18)

6. שאלה 6 · גיאומטריה אנליטית

   במשולש ABC הזווית BAC היא בת 90 מעלות. נתון: A(−2;0) ו-B(10;18). מצאו את שיפוע הצלע AB ואת משוואת הצלע AC.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שיפוע AB: m = (18 − 0)/(10 − (−2)) = 18/12 = 1.5
   2. הזווית BAC ישרה, ולכן AC מאונכת ל-AB
   3. מכפלת שיפועים של ישרים מאונכים היא מינוס אחד: m_AC = −1/1.5 = −2/3
   4. נציב את הנקודה A(−2;0) בנוסחה y − y₁ = m(x − x₁)
   5. y − 0 = −(2/3)(x − (−2)) = −(2/3)(x + 2)
   6. y = −(2/3)x − 4/3

   תשובה: שיפוע AB הוא 1.5, ומשוואת AC היא y = −(2/3)x − 4/3

7. שאלה 7 · גיאומטריה אנליטית

   במשולש ABC נתון: B(10;18), ומשוואת הצלע AC היא y = −(2/3)x − 4/3. הצלע BC מקבילה לציר ה-x. מצאו את שיעורי הקודקוד C.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. BC מקבילה לציר ה-x, ולכן לנקודות B ו-C יש אותו שיעור y
   2. y_C = y_B = 18
   3. נציב y = 18 במשוואת הצלע AC: 18 = −(2/3)x − 4/3
   4. נכפול את שני האגפים ב-3: 54 = −2x − 4
   5. 2x = −58 → x = −29
   6. שיעורי הקודקוד הם C(−29;18)

   תשובה: C(−29;18)

8. שאלה 8 · גיאומטריה אנליטית

   נתונות הנקודות A(−2;0), B(10;18) ו-D(10;5). הראו כי המשולש ADB הוא שווה שוקיים.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. לנקודות D(10;5) ו-B(10;18) יש אותו שיעור x, ולכן הקטע BD מקביל לציר ה-y
   2. BD = 18 − 5 = 13
   3. AD = √((10 − (−2))² + (5 − 0)²) = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13
   4. קיבלנו AD = BD = 13, ולכן המשולש ADB שווה שוקיים

   תשובה: AD = BD = 13, ולכן המשולש שווה שוקיים

9. שאלה 9 · גיאומטריה אנליטית

   נתון המרובע ADBC שקדקודיו A(−2;0), D(10;5), B(10;18), C(−29;18). ידוע כי AD = BD = 13. חשבו את היקף המרובע.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. AD = BD = 13
   2. לנקודות B ו-C אותו שיעור y, ולכן BC = 10 − (−29) = 39
   3. AC = √((−29 − (−2))² + (18 − 0)²) = √((−27)² + 18²) = √(729 + 324) = √1053
   4. √1053 = 9√13 ≈ 32.45
   5. ההיקף הוא AD + BD + BC + AC = 13 + 13 + 39 + 9√13
   6. ההיקף הוא 65 + 9√13 ≈ 97.45

   תשובה: 65 + 9√13 ≈ 97.45

10. שאלה 10 · סטטיסטיקה

    בבית ספר מסוים נערך מבחן במתמטיקה. הציונים במבחן מתפלגים נורמלית וסטיית התקן היא 8. נתון כי הציון של 93% מן התלמידים שנבחנו נמוך מ-84. מצאו את ממוצע הציונים במבחן.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. אם 93% קיבלו ציון נמוך מ-84, אז 100% − 93% = 7% קיבלו ציון גבוה מ-84
    2. נצבור את האחוזים בגרף ההתפלגות הנורמלית מימין לשמאל עד שנקבל 7%
    3. 0.5% + 1.5% + 5% = 7%
    4. שלושת התחומים האלה הם שלושה חצאי סטיית תקן, כלומר 1.5 סטיות תקן מעל הממוצע
    5. הממוצע הוא 84 − 1.5·8 = 84 − 12 = 72

    תשובה: 72

11. שאלה 11 · סטטיסטיקה

    ציוני מבחן במתמטיקה מתפלגים נורמלית. ממוצע הציונים הוא 72 וסטיית התקן היא 8. התלמידים שהציון שלהם גבוה מ-80 התקבלו ללימודי העשרה. מהו אחוז התלמידים שהתקבלו ללימודי העשרה?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נבדוק כמה סטיות תקן מעל הממוצע נמצא הציון 80
    2. 72 + 8 = 80, כלומר 80 נמצא סטיית תקן אחת בדיוק מעל הממוצע
    3. נסכם את האחוזים בגרף ההתפלגות הנורמלית מעל סטיית תקן אחת
    4. 9% + 5% + 1.5% + 0.5% = 16%

    תשובה: 16%

12. שאלה 12 · סטטיסטיקה

    ציוני מבחן במתמטיקה מתפלגים נורמלית. ידוע כי 16% מן התלמידים קיבלו ציון גבוה מ-80, ומספרם הוא 32 תלמידים. כמה תלמידים נבחנו במתמטיקה?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נסמן ב-n את מספר התלמידים שנבחנו
    2. 16% מ-n הם 32 תלמידים: 0.16n = 32
    3. n = 32 / 0.16 = 200
    4. דרך חלופית: אם 16% הם 32 תלמידים, אז 1% הוא 32/16 = 2 תלמידים, ו-100% הם 2·100 = 200 תלמידים

    תשובה: 200

13. שאלה 13 · סטטיסטיקה

    ציוני מבחן במתמטיקה מתפלגים נורמלית. ממוצע הציונים הוא 72 וסטיית התקן היא 8. עמית נבחן במתמטיקה, וציון התקן שלו במבחן הוא 1.75. מהו הציון של עמית במבחן?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נוסחת ציון התקן: z = (x − x̄)/s
    2. נציב את הנתונים: 1.75 = (x − 72)/8
    3. נכפול ב-8: x − 72 = 14
    4. x = 72 + 14 = 86

    תשובה: 86

14. שאלה 14 · פונקציה ריבועית

    נועה זרקה כדור לסל. הכדור נע במסלול בצורת פרבולה שמשוואתה y = −0.5x² + 2x + 2. ציר ה-x מייצג את המרחק האופקי במטרים של הכדור מנקודת הזריקה, וציר ה-y מייצג את גובה הכדור מעל הקרקע במטרים. מצאו את הגובה שממנו זרקה נועה את הכדור.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נקודת הזריקה היא הנקודה שבה המרחק האופקי הוא אפס, כלומר x = 0
    2. נציב x = 0 במשוואת הפרבולה: y = −0.5·0² + 2·0 + 2
    3. y = 2
    4. הגובה שממנו נזרק הכדור הוא 2 מטרים

    תשובה: 2 מטרים

15. שאלה 15 · פונקציה ריבועית

    כדור נע במסלול בצורת פרבולה שמשוואתה y = −0.5x² + 2x + 2, כאשר x הוא המרחק האופקי במטרים ו-y הוא הגובה מעל הקרקע במטרים. מצאו את הגובה המקסימלי שאליו הגיע הכדור.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. מקדם ה-x² שלילי, ולכן הפרבולה פונה כלפי מטה ויש לה נקודת מקסימום בקדקוד
    2. שיעור ה-x של הקדקוד: x = −b/(2a) = −2/(2·(−0.5)) = −2/(−1) = 2
    3. נציב x = 2 במשוואה: y = −0.5·2² + 2·2 + 2
    4. y = −2 + 4 + 2 = 4
    5. הגובה המקסימלי הוא 4 מטרים

    תשובה: 4 מטרים

16. שאלה 16 · פונקציה ריבועית

    כדור נזרק לסל ונע במסלול בצורת פרבולה שמשוואתה y = −0.5x² + 2x + 2. כאשר הכדור הגיע לסל הוא היה בגובה 3.02 מטר. מצאו את שיעור ה-x של הכדור כאשר הגיע לסל.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נציב y = 3.02 במשוואת הפרבולה: 3.02 = −0.5x² + 2x + 2
    2. נעביר אגפים: 0 = −0.5x² + 2x − 1.02
    3. דיסקרימיננטה: 2² − 4·(−0.5)·(−1.02) = 4 − 2.04 = 1.96
    4. √1.96 = 1.4
    5. x = (−2 ± 1.4)/(2·(−0.5)) = (−2 ± 1.4)/(−1)
    6. x₁ = (−2 + 1.4)/(−1) = 0.6 , x₂ = (−2 − 1.4)/(−1) = 3.4
    7. הפתרון x = 0.6 נפסל, כי בשלב הזה הכדור עדיין היה במגמת עלייה ולא הגיע לסל
    8. שיעור ה-x כאשר הכדור הגיע לסל הוא 3.4

    תשובה: 3.4

17. שאלה 17 · גופים במרחב

    המקרר של נעמי הוא בצורת תיבה שבסיסה ריבוע. גובה המקרר הוא 180 ס"מ ואורך צלע הבסיס הוא 75 ס"מ. חשבו את נפח המקרר.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נפח תיבה: V = אורך · רוחב · גובה
    2. הבסיס ריבועי, ולכן האורך והרוחב שווים ל-75 ס"מ
    3. V = 75 · 75 · 180
    4. V = 5625 · 180 = 1012500 סמ"ק

    תשובה: 1012500 סמ"ק

18. שאלה 18 · גופים במרחב

    גובה המקרר של נעמי הוא 180 ס"מ. במקרר זה הגובה בין שני מדפים סמוכים המוצבים זה מעל זה הוא 15% מגובה המקרר. חשבו את הגובה שבין שני מדפים סמוכים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נחשב 15% מתוך 180 ס"מ
    2. 0.15 · 180 = 27
    3. הגובה בין שני מדפים סמוכים הוא 27 ס"מ

    תשובה: 27 ס"מ

19. שאלה 19 · גופים במרחב

    סיר בצורת גליל שרדיוס הבסיס שלו הוא 10 ס"מ, והנפח שלו הוא 1400π סמ"ק. חשבו את גובה הסיר.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נפח גליל: V = π · R² · h
    2. נציב את הנתונים: 1400π = π · 10² · h
    3. נחלק את שני האגפים ב-π: 1400 = 100h
    4. h = 1400/100 = 14
    5. גובה הסיר הוא 14 ס"מ

    תשובה: 14 ס"מ

20. שאלה 20 · גופים במרחב

    סיר בצורת גליל שרדיוס הבסיס שלו הוא 12 ס"מ ושטח המעטפת שלו הוא 672π סמ"ר. הגובה בין שני מדפים סמוכים במקרר הוא 27 ס"מ. קבעו אם אפשר להכניס את הסיר בגובה שבין שני המדפים, ונמקו.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. שטח מעטפת גליל: M = 2 · π · R · h
    2. נציב את הנתונים: 672π = 2 · π · 12 · h
    3. נחלק ב-π: 672 = 24h
    4. h = 672/24 = 28 ס"מ
    5. הגובה בין המדפים הוא 27 ס"מ, וגובה הסיר הוא 28 ס"מ
    6. 28 > 27, ולכן אי אפשר להכניס את הסיר בגובה שבין שני המדפים

    תשובה: לא — גובה הסיר הוא 28 ס"מ, גדול מ-27 ס"מ