שאלון 35372 — קיץ מועד א׳ 2026

13 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · גיאומטריה אנליטית

   ABCD טרפז ישר זווית (∢ABC = 90°, AD ∥ BC). הנקודה E היא אמצע הצלע AB. נתון: A(0, 6), E(3, 0). מצאו את שיעורי הקודקוד B, את שיפוע הצלע AB ואת משוואת הצלע BC.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. E אמצע AB: x_B = 2·3 − 0 = 6, y_B = 2·0 − 6 = −6 → B(6, −6)
   2. m_AB = (−6 − 6)/(6 − 0) = −2
   3. ∢ABC = 90°, לכן BC ⊥ AB: m_BC = −1/(−2) = 0.5
   4. BC: y + 6 = 0.5(x − 6) → y = 0.5x − 9

   תשובה: B(6, −6); שיפוע AB הוא −2; BC: y = 0.5x − 9

2. שאלה 2 · גיאומטריה אנליטית

   ABCD טרפז ישר זווית (∢ABC = 90°, AD ∥ BC). הנקודה E היא אמצע הצלע AB. נתון: A(0, 6), E(3, 0). BC: y = 0.5x − 9. הקודקוד C נמצא על ציר ה-x. מצאו את שיעורי C.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. על ציר ה-x: y = 0
   2. 0 = 0.5x − 9 → x = 18
   3. C(18, 0)

   תשובה: C(18, 0)

3. שאלה 3 · גיאומטריה אנליטית

   ABCD טרפז ישר זווית (∢ABC = 90°, AD ∥ BC). הנקודה E היא אמצע הצלע AB. נתון: A(0, 6), E(3, 0). B(6, −6), C(18, 0), ו-BC: y = 0.5x − 9. לפניכם ארבע משוואות: I. y = 0.5x + 3 II. y = 0.5x + 6 III. y = 2x − 36 IV. y = 2x − 30. אחת מהן מתאימה לישר AD ואחת לישר CD. קבעו איזו לכל ישר ונמקו.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. AD ∥ BC, לכן שיפוע AD הוא 0.5 — משוואה I או II
   2. AD עובר דרך A(0, 6): בהצבת x = 0 רק II נותנת y = 6 → AD היא II
   3. CD עובר דרך C(18, 0): III: 2·18 − 36 = 0 ✓; IV: 2·18 − 30 = 6 ✗
   4. CD היא III

   תשובה: AD: משוואה II; CD: משוואה III

4. שאלה 4 · גיאומטריה אנליטית

   ABCD טרפז ישר זווית (∢ABC = 90°, AD ∥ BC). הנקודה E היא אמצע הצלע AB. נתון: A(0, 6), E(3, 0). C(18, 0), AD: y = 0.5x + 6, CD: y = 2x − 36. מצאו את שיעורי הקודקוד D ואת שטח המשולש ECD.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. D חיתוך AD ו-CD: 0.5x + 6 = 2x − 36 → 1.5x = 42 → x = 28
   2. y = 0.5·28 + 6 = 20 → D(28, 20)
   3. E ו-C על ציר ה-x: EC = 18 − 3 = 15
   4. הגובה מ-D לציר ה-x הוא 20
   5. S = 15·20/2 = 150

   תשובה: D(28, 20); שטח ECD = 150

5. שאלה 5 · סטטיסטיקה

   חשבונות החשמל של דירות בשכונה בחודש מסוים מתפלגים נורמלית עם סטיית תקן של 160 ₪. חשבון החשמל של 16% מן הדירות היה נמוך מ-400 ₪. מצאו את הממוצע, ורשמו את ערכי החשבונות בגבולות של כל חצי סטיית תקן בגרף ההתפלגות הנורמלית (מ-3σ− עד 3σ+).

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. לפי הגרף: 0.5% + 1.5% + 5% + 9% = 16% נמצאים מתחת ל-μ − σ
   2. לכן 400 = μ − 160 → μ = 560
   3. חצי סטיית תקן = 80 ₪
   4. הערכים: 560 ± 80k, מ-80 (μ − 3σ) עד 1040 (μ + 3σ)

   תשובה: ממוצע 560 ₪; 80, 160, 240, 320, 400, 480, 560, 640, 720, 800, 880, 960, 1040

6. שאלה 6 · סטטיסטיקה

   חשבונות החשמל של דירות בשכונה מתפלגים נורמלית עם ממוצע 560 ₪ וסטיית תקן 160 ₪. חשבון החשמל של 1,232 מן הדירות היה גבוה מ-400 ₪ ונמוך מ-800 ₪. מצאו את אחוז הדירות שחשבונן בין 400 ל-800 ₪, ולפי גרף ההתפלגות הנורמלית — כמה דירות יש בשכונה?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. 400 = μ − σ, ו-800 = μ + 1.5σ
   2. מ-400 עד 800 יש 5 חלקים של חצי סטיית תקן: 15% + 19% + 19% + 15% + 9% = 77%
   3. 0.77·N = 1,232 → N = 1,600

   תשובה: 77%; 1,600 דירות

7. שאלה 7 · סטטיסטיקה

   חשבונות החשמל של דירות בשכונה מתפלגים נורמלית עם ממוצע 560 ₪ וסטיית תקן 160 ₪. דירות שחשבון החשמל שלהן גבוה מ-900 ₪ מקבלות התראה. ציון התקן של חשבון החשמל של אחת הדירות היה 2.3. האם קיבלה דירה זו התראה? נמקו.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. x = μ + Z·σ = 560 + 2.3·160
   2. x = 560 + 368 = 928
   3. 928 > 900 — הדירה קיבלה התראה

   תשובה: כן — החשבון היה 928 ₪, יותר מ-900

8. שאלה 8 · גופים במרחב

   שלושה קונוסים זהים בצורת חרוט: רדיוס הבסיס של כל אחד 21 ס"מ, והגובה 72 ס"מ. מצאו את אורך הקו היוצר של כל קונוס ואת שטח המעטפת של שלושת הקונוסים יחד.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. פיתגורס: L² = 21² + 72² = 441 + 5,184 = 5,625 → L = 75
   2. מעטפת חרוט: πrL = π·21·75 = 1,575π
   3. שלושה קונוסים: 3·1,575π = 4,725π ≈ 14,844 סמ"ר

   תשובה: קו יוצר 75 ס"מ; שטח המעטפת 4,725π ≈ 14,844 סמ"ר

9. שאלה 9 · גופים במרחב

   שלושה קונוסים זהים בצורת חרוט (רדיוס 21 ס"מ, גובה 72 ס"מ, שטח מעטפת כולל 4,725π סמ"ר). העמוד של תמרור אזהרה הוא גליל שגובהו גדול פי 3 מגובה הקונוס, ונפחו 3,456π סמ"ק. מצאו את רדיוס הבסיס של העמוד, וקבעו אם שטח המעטפת שלו גדול או קטן משטח המעטפת של שלושת הקונוסים יחד.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. גובה העמוד: 3·72 = 216 ס"מ
   2. V = πr²h: πr²·216 = 3,456π → r² = 16 → r = 4
   3. מעטפת גליל: 2πrh = 2π·4·216 = 1,728π
   4. 1,728π < 4,725π — מעטפת העמוד קטנה

   תשובה: רדיוס 4 ס"מ; מעטפת העמוד 1,728π ≈ 5,429 סמ"ר — קטנה ממעטפת הקונוסים

10. שאלה 10 · תכנון ליניארי

    במסעדה מכינים מנות צמחוניות (x) ומנות בשריות (y). מערכת האילוצים ליום אחד: x ≥ 0, y ≥ 0, x + 5y ≤ 100, x + 2y ≤ 58. הרווח ממנה צמחונית 25 ₪ וממנה בשרית 55 ₪. כתבו את פונקציית המטרה, ומצאו כמה מנות מכל סוג יש למכור כדי שהרווח יהיה מקסימלי.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. פונקציית המטרה: f(x, y) = 25x + 55y
    2. קודקודי התחום: (0, 0), (0, 20), (58, 0), וחיתוך הישרים
    3. x + 5y = 100 ו-x + 2y = 58 → 3y = 42 → y = 14, x = 30
    4. f(0, 20) = 1,100; f(58, 0) = 1,450; f(30, 14) = 1,520
    5. המקסימום ב-(30, 14)

    תשובה: f(x, y) = 25x + 55y; 30 מנות צמחוניות ו-14 מנות בשריות (רווח 1,520 ₪)

11. שאלה 11 · תכנון ליניארי

    במסעדה מכינים מנות צמחוניות (x) ומנות בשריות (y). מערכת האילוצים ליום אחד: x ≥ 0, y ≥ 0, x + 5y ≤ 100, x + 2y ≤ 58. לפני השינוי הרווח ממנה צמחונית 25 ₪ וממנה בשרית 55 ₪, והרווח המקסימלי 1,520 ₪. הרווח ממנה צמחונית קטן ב-10%, והרווח ממנה בשרית גדל ב-20%. מצאו את הרווח החדש מכל מנה, ובכמה גדל הרווח המקסימלי.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. צמחונית: 25·0.9 = 22.5 ₪; בשרית: 55·1.2 = 66 ₪
    2. f = 22.5x + 66y בקודקודים: (0, 20) → 1,320; (58, 0) → 1,305; (30, 14) → 675 + 924 = 1,599
    3. המקסימום החדש 1,599 ב-(30, 14)
    4. הגידול: 1,599 − 1,520 = 79 ₪

    תשובה: צמחונית 22.5 ₪, בשרית 66 ₪; הרווח המקסימלי גדל ב-79 ₪

12. שאלה 12 · פונקציה ריבועית

    תומר זרק כדור ליואב. הכדור נע לפי הפרבולה y = −0.4x² + 2x + 1.1, כאשר x המרחק האופקי מנקודת הזריקה (מטרים) ו-y גובה הכדור מעל הקרקע (מטרים). מצאו את הגובה המקסימלי של הכדור, ובעבור אילו ערכי x הכדור במגמת עלייה.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. קודקוד: x = −b/(2a) = −2/(2·(−0.4)) = 2.5
    2. y(2.5) = −0.4·6.25 + 5 + 1.1 = 3.6
    3. a < 0 — הפרבולה עולה עד הקודקוד: 0 < x < 2.5

    תשובה: 3.6 מטרים; עולה ב-0 < x < 2.5

13. שאלה 13 · פונקציה ריבועית

    תומר זרק כדור ליואב. הכדור נע לפי הפרבולה y = −0.4x² + 2x + 1.1, כאשר x המרחק האופקי מנקודת הזריקה (מטרים) ו-y גובה הכדור מעל הקרקע (מטרים). יואב תפס את הכדור ב-x = 5.2. באיזה גובה היה הכדור כשנתפס? ואילו לא היה נתפס — באיזה x היה פוגע בקרקע?

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. y(5.2) = −0.4·27.04 + 10.4 + 1.1 = 0.684
    2. פגיעה בקרקע: −0.4x² + 2x + 1.1 = 0 → 4x² − 20x − 11 = 0
    3. x = (20 ± √(400 + 176))/8 = (20 ± 24)/8
    4. x = 5.5 (הפתרון השלילי −0.5 נפסל)

    תשובה: ≈ 0.684 מטרים; x = 5.5