שאלון 35471 — קיץ מועד א׳ 2022

21 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · סדרות

   נתונה סדרה שאיברה הראשון 84 וכלל הנסיגה שלה a(n+1) = aₙ − 2. הוכיחו שהסדרה חשבונית ומצאו את נוסחת האיבר הכללי.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מכלל הנסיגה נקבל a(n+1) − aₙ = −2
   2. ההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא −2 ואינו תלוי ב-n
   3. לכן הסדרה חשבונית עם d = −2
   4. נשתמש בנוסחת האיבר הכללי: aₙ = a₁ + (n−1)d
   5. aₙ = 84 + (n−1)(−2)
   6. = 84 − 2n + 2
   7. = −2n + 86

   תשובה: הסדרה חשבונית עם d = −2, ו-aₙ = −2n + 86

2. שאלה 2 · סדרות

   בסדרה החשבונית aₙ = −2n + 86, כמה איברים חיוביים יש? ומהו האיבר השלילי הראשון?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נדרוש aₙ > 0, כלומר −2n + 86 > 0
   2. −2n > −86, ובחלוקה במספר שלילי הסימן מתהפך
   3. n < 43
   4. לכן האיברים החיוביים הם n = 1 עד n = 42, כלומר 42 איברים
   5. עבור n = 43 מתקבל a₄₃ = −86 + 86 = 0, כלומר האיבר שווה לאפס ואינו חיובי ואינו שלילי
   6. לכן האיבר השלילי הראשון הוא a₄₄ = −88 + 86 = −2

   תשובה: 42 איברים חיוביים, והאיבר השלילי הראשון הוא −2

3. שאלה 3 · סדרות

   בסדרה החשבונית שהחלה ב-84 עם הפרש −2, סכום כל האיברים השליליים הוא −552. כמה איברים יש בסדרה כולה?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. האיברים השליליים מתחילים ב-−2 ויורדים ב-2 בכל צעד, ולכן גם הם סדרה חשבונית
   2. נשתמש בנוסחת הסכום: S = (n/2)(2·(−2) + (n−1)(−2))
   3. −552 = (n/2)(−4 − 2n + 2) = (n/2)(−2n − 2)
   4. נכפיל ב-2: −1104 = n(−2n − 2) = −2n² − 2n
   5. נסדר: 2n² + 2n − 1104 = 0, ובחלוקה ב-2: n² + n − 552 = 0
   6. לפי נוסחת השורשים: n = 23 או n = −24
   7. הפתרון השלילי נפסל, כי מספר איברים הוא מספר טבעי
   8. בסדרה יש 42 איברים חיוביים, איבר אחד ששווה לאפס, ו-23 שליליים
   9. סך הכול 42 + 1 + 23 = 66 איברים

   תשובה: 66 איברים

4. שאלה 4 · סטטיסטיקה והסתברות

   זמן ההאזנה לפודקאסטים מתפלג נורמלית עם ממוצע 35.65 דקות וסטיית תקן 15 דקות. איזה אחוז מהאנשים מאזינים פחות מ-10 דקות ביום?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נחשב את ציון התקן עבור 10 דקות
   2. z = (10 − 35.65)/15
   3. = −25.65/15
   4. = −1.71
   5. בטבלת ההתפלגות הנורמלית, השטח שמשמאל ל-z = −1.71 הוא 0.0436
   6. לכן כ-4.36% מהאנשים מאזינים פחות מ-10 דקות ביום

   תשובה: כ-4.36%

5. שאלה 5 · סטטיסטיקה והסתברות

   זמן ההאזנה מתפלג נורמלית עם ממוצע 35.65 דקות וסטיית תקן 15 דקות, ונבדקו 100,000 מאזינים. כמה מהם מאזינים יותר משעה ביום?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שעה היא 60 דקות
   2. z = (60 − 35.65)/15 = 24.35/15 = 1.62
   3. בטבלה, השטח שמשמאל ל-z = 1.62 הוא 0.947
   4. אנחנו מחפשים את מי שמאזין יותר, כלומר את השטח שמימין
   5. P = 1 − 0.947 = 0.053
   6. מספר האנשים הוא 0.053 · 100,000 = 5,300

   תשובה: כ-5,300 אנשים

6. שאלה 6 · סטטיסטיקה והסתברות

   אחרי שינוי בתכנים, ממוצע ההאזנה עלה ל-42 דקות, אך אחוז המאזינים פחות מ-10 דקות נשאר 4.36%. מצאו את סטיית התקן החדשה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. אותו אחוז פירושו אותו ציון תקן, כלומר z = −1.71
   2. נשתמש בנוסחה עם הממוצע החדש
   3. −1.71 = (10 − 42)/s
   4. −1.71 = −32/s
   5. נכפיל ב-s: −1.71s = −32
   6. לכן s = 32/1.71 = 18.71 דקות
   7. שימו לב שסטיית התקן גדלה, כלומר ההתפלגות התפזרה יותר

   תשובה: כ-18.71 דקות

7. שאלה 7 · סטטיסטיקה והסתברות

   אחרי השינוי, הממוצע הוא 42 דקות וסטיית התקן 18.71. פי כמה גדל מספר המאזינים יותר משעה ביום, לעומת המצב הקודם שבו ההסתברות הייתה 0.053?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נחשב את ציון התקן החדש עבור 60 דקות
   2. z = (60 − 42)/18.71 = 18/18.71 = 0.96
   3. בטבלה, השטח שמשמאל ל-0.96 הוא 0.832
   4. ההסתברות ליותר משעה היא 1 − 0.832 = 0.168
   5. היחס בין ההסתברויות הוא 0.168/0.053
   6. = 3.17
   7. מכיוון שגודל האוכלוסייה זהה, זה גם היחס בין מספרי המאזינים

   תשובה: פי כ-3.17

8. שאלה 8 · הסתברות

   מועמדים לעבודה עוברים שלושה שלבי מיון: מבחן התאמה (75% עוברים), ריאיון אישי (50%) וסדנה קבוצתית (40%). מהי ההסתברות שמועמד יתקבל?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. כדי להתקבל צריך לעבור את שלושת השלבים
   2. השלבים בלתי תלויים זה בזה, ולכן נכפיל את ההסתברויות
   3. P = 0.75 · 0.5 · 0.4
   4. = 0.375 · 0.4
   5. = 0.15

   תשובה: 0.15

9. שאלה 9 · הסתברות

   ההסתברות שמועמד יתקבל לעבודה היא 0.15. נטע וגלי ניגשו בנפרד. מהי ההסתברות שלכל היותר אחת מהן התקבלה?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. "לכל היותר אחת" כולל: אף אחת, או בדיוק אחת
   2. המאורע המשלים הוא ששתיהן התקבלו
   3. המועמדות בלתי תלויות, ולכן P(שתיהן) = 0.15 · 0.15 = 0.0225
   4. לכן P(לכל היותר אחת) = 1 − 0.0225
   5. = 0.9775

   תשובה: 0.9775

10. שאלה 10 · הסתברות

    בתהליך מיון בן שלושה שלבים (75%, 50%, 40%), עדי לא התקבלה לעבודה. מהי ההסתברות שהיא עברה בהצלחה את הריאיון האישי?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. כדי לעבור את הריאיון ולא להתקבל, צריך לעבור את המבחן, לעבור את הריאיון, ולהיכשל בסדנה
    2. P = 0.75 · 0.5 · 0.6 = 0.225
    3. ההסתברות לא להתקבל בכלל היא 1 − 0.15 = 0.85
    4. זו הסתברות מותנית: P(עברה ריאיון | לא התקבלה) = 0.225/0.85
    5. = 225/850
    6. נצמצם ב-25: 9/34, כלומר כ-0.265

    תשובה: 9/34

11. שאלה 11 · הסתברות

    ההסתברות להתקבל לעבודה היא 0.15, ו-170 מועמדים לא התקבלו. כמה מועמדים התקבלו?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. ההסתברות לא להתקבל היא 1 − 0.15 = 0.85
    2. נסמן ב-n את מספר המועמדים הכולל
    3. 0.85n = 170
    4. n = 170/0.85 = 200
    5. מספר המתקבלים הוא 200 − 170 = 30
    6. בדיקה: 0.15 · 200 = 30

    תשובה: 30 מועמדים

12. שאלה 12 · גיאומטריה

    מרובע ABCD חסום במעגל, וזוויות A ו-C שוות. הוכיחו ש-BD הוא קוטר.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. במרובע החסום במעגל, סכום זוויות נגדיות הוא 180 מעלות
    2. לכן A + C = 180
    3. נתון שהזוויות שוות, כלומר A = C
    4. נציב: 2A = 180, ומכאן A = C = 90 מעלות
    5. זווית A היא זווית היקפית שנשענת על המיתר BD
    6. זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר
    7. לכן BD הוא קוטר במעגל

    תשובה: BD קוטר, כי הזוויות A ו-C ישרות

13. שאלה 13 · גיאומטריה אנליטית

    במערכת צירים, B(0, 12) ו-D(0, 2) הם קצות קוטר במעגל. מצאו את משוואת המעגל.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר
    2. שיעור ה-x: (0 + 0)/2 = 0
    3. שיעור ה-y: (12 + 2)/2 = 7
    4. לכן המרכז הוא M(0, 7)
    5. הרדיוס הוא המרחק מהמרכז לקצה: 12 − 7 = 5
    6. משוואת מעגל היא (x − a)² + (y − b)² = R²
    7. לכן x² + (y − 7)² = 25

    תשובה: x² + (y − 7)² = 25

14. שאלה 14 · גיאומטריה אנליטית

    במעגל x² + (y − 7)² = 25 נתונה הנקודה D(0, 2). הישר DC מאונך לישר ששיפועו −1/2. מצאו את שיעורי הנקודה C, שנמצאת גם היא על המעגל.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. שיפוע הישר המאונך ל-−1/2 הוא ההופכי והנגדי, כלומר 2
    2. משוואת DC דרך D(0, 2) עם שיפוע 2: y = 2x + 2
    3. נציב במשוואת המעגל: x² + (2x + 2 − 7)² = 25
    4. x² + (2x − 5)² = 25
    5. x² + 4x² − 20x + 25 = 25
    6. 5x² − 20x = 0, כלומר 5x(x − 4) = 0
    7. x = 0 נותן את D עצמה, ולכן x = 4
    8. נציב: y = 2 · 4 + 2 = 10, ולכן C(4, 10)

    תשובה: C(4, 10)

15. שאלה 15 · גיאומטריה אנליטית

    במשולש BCD, הנקודות הן B(0, 12), C(4, 10) ו-D(0, 2). הנקודה E היא אמצע הצלע DC. מצאו את שטח המשולש BCE.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נחשב תחילה את שטח המשולש BCD
    2. הצלע BD מונחת על ציר ה-y ואורכה 12 − 2 = 10
    3. הגובה מ-C אל BD הוא המרחק האופקי, כלומר 4
    4. שטח BCD = (10 · 4)/2 = 20
    5. הנקודה E היא אמצע DC, ולכן BE הוא תיכון במשולש BCD
    6. תיכון מחלק משולש לשני משולשים שווי שטח
    7. לכן שטח BCE = 20/2 = 10

    תשובה: 10

16. שאלה 16 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = (4x² − 1)/(x² − 1). מצאו את תחום ההגדרה, את האסימפטוטות ואת נקודות החיתוך עם הצירים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. המכנה מתאפס כאשר x² = 1, כלומר x = 1 או x = −1
    2. בנקודות אלה המונה שווה 3, כלומר שונה מאפס, ולכן אלה אסימפטוטות אנכיות
    3. חזקת המונה שווה לחזקת המכנה, ולכן האסימפטוטה האופקית היא יחס המקדמים המובילים
    4. y = 4/1 = 4
    5. לחיתוך עם ציר ה-y נציב x = 0: f(0) = −1/−1 = 1
    6. לחיתוך עם ציר ה-x נאפס את המונה: 4x² = 1
    7. x² = 0.25, ולכן x = 0.5 או x = −0.5

    תשובה: תחום ההגדרה x ≠ ±1, אסימפטוטות x = 1, x = −1 ו-y = 4, חיתוך ב-(0, 1), (0.5, 0) ו-(−0.5, 0)

17. שאלה 17 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = (4x² − 1)/(x² − 1). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון ואת סוגה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נגזור לפי כלל המנה
    2. f'(x) = [8x(x² − 1) − 2x(4x² − 1)]/(x² − 1)²
    3. נוציא 2x גורם משותף במונה
    4. = 2x[4(x² − 1) − (4x² − 1)]/(x² − 1)²
    5. = 2x[4x² − 4 − 4x² + 1]/(x² − 1)²
    6. = 2x(−3)/(x² − 1)² = −6x/(x² − 1)²
    7. נשווה לאפס: x = 0
    8. f(0) = 1, ולכן הנקודה היא (0, 1)
    9. המכנה חיובי תמיד, ולכן סימן הנגזרת הפוך לסימן x: חיובית משמאל ושלילית מימין
    10. כלומר הפונקציה עולה ואז יורדת, ולכן זו נקודת מקסימום

    תשובה: מקסימום ב-(0, 1)

18. שאלה 18 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה g(x) = −f(x) + k כאשר f(x) = (4x² − 1)/(x² − 1). ידוע שהאסימפטוטה האופקית של g היא y = 1. מצאו את k ואת נקודת הקיצון של g.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. האסימפטוטה האופקית של f היא y = 4
    2. הכפלה במינוס הופכת אותה ל-y = −4
    3. ההוספה של k מזיזה אותה ל-y = −4 + k
    4. נדרוש −4 + k = 1, ולכן k = 5
    5. כלומר g(x) = −f(x) + 5
    6. נקודת הקיצון נשארת באותו x, כי הנגזרת של g היא מינוס הנגזרת של f
    7. g(0) = −f(0) + 5 = −1 + 5 = 4
    8. הסימן המתהפך הופך את המקסימום של f למינימום של g
    9. לכן (0, 4) היא נקודת מינימום

    תשובה: k = 5, ומינימום ב-(0, 4)

19. שאלה 19 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = x − 2√(x + a), והנקודה (6, 0) נמצאת על הגרף. מצאו את a.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נציב את שיעורי הנקודה: 0 = 6 − 2√(6 + a)
    2. 2√(6 + a) = 6
    3. נחלק ב-2: √(6 + a) = 3
    4. נעלה בריבוע: 6 + a = 9
    5. לכן a = 3
    6. בדיקה: √(6 + 3) = 3, ואכן 6 − 2 · 3 = 0

    תשובה: a = 3

20. שאלה 20 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = x − 2√(x + 3). מצאו את תחום ההגדרה ואת שיעורי נקודות הקיצון.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הביטוי בשורש חייב להיות אי-שלילי: x + 3 ≥ 0, כלומר x ≥ −3
    2. נגזור: f'(x) = 1 − 2 · (1/(2√(x+3))) = 1 − 1/√(x+3)
    3. נשווה לאפס: 1/√(x+3) = 1, כלומר √(x+3) = 1
    4. נעלה בריבוע: x + 3 = 1, ומכאן x = −2
    5. f(−2) = −2 − 2 · 1 = −4, ולכן הנקודה היא (−2, −4)
    6. עבור x מעט גדול מ-−2 הנגזרת חיובית, ועבור x מעט קטן ממנו שלילית, ולכן זו נקודת מינימום
    7. בקצה התחום f(−3) = −3 − 0 = −3
    8. הפונקציה יורדת מ-−3 אל −4, ולכן נקודת הקצה היא מקסימום

    תשובה: תחום ההגדרה x ≥ −3, מינימום ב-(−2, −4) ומקסימום קצה ב-(−3, −3)

21. שאלה 21 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = x − 2√(x + 3). חשבו את השטח הכלוא בין גרף הנגזרת f'(x) לבין ציר ה-x בתחום שבין x = −2 ל-x = 1.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. האינטגרל של הנגזרת שווה להפרש ערכי הפונקציה בקצוות
    2. f(1) = 1 − 2√4 = 1 − 4 = −3
    3. f(−2) = −2 − 2√1 = −2 − 2 = −4
    4. ההפרש הוא −3 − (−4) = 1
    5. בתחום זה הפונקציה עולה, ולכן הנגזרת חיובית והשטח מעל הציר
    6. לכן השטח הוא 1

    תשובה: 1