שאלון 35471 — קיץ מועד א׳ 2025

8 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · סטטיסטיקה

   בבית ספר נערכה תחרות קפיצה לרוחק. התוצאות התפלגו נורמלית, ומרחק הקפיצה הממוצע היה 4.2 מטרים. 69.2% מן המשתתפים קפצו למרחק קטן מ-4.5 מטרים. מצאו את סטיית התקן של מרחק הקפיצה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. P(X < 4.5) = 0.692, ומטבלת ההתפלגות הנורמלית מתקבל z ≈ 0.5
   2. z = (X − μ) / σ
   3. 0.5 = (4.5 − 4.2) / σ
   4. σ = 0.3 / 0.5 = 0.6
   5. בדיקה חוזרת: z = (4.5 − 4.2)/0.6 = 0.5, ו-Φ(0.5) = 0.6915 ≈ 0.692 ✓

   תשובה: 0.6 מטר

2. שאלה 2 · סטטיסטיקה

   בתחרות קפיצה לרוחק התוצאות התפלגו נורמלית עם ממוצע 4.2 מטרים וסטיית תקן 0.6 מטר. המשתתפים שקפצו למרחק גדול מ-5.16 מטרים זכו במדליה. מהו אחוז המשתתפים שזכו במדליה, ואם 11 משתתפים זכו — כמה משתתפים התחרו?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. z = (5.16 − 4.2) / 0.6 = 0.96 / 0.6 = 1.6
   2. P(Z > 1.6) = 1 − Φ(1.6) = 1 − 0.9452 = 0.0548
   3. כלומר כ-5.48%, בערך 5.5% מן המשתתפים
   4. אם 11 משתתפים הם 5.48% מן הכלל, אז מספר המשתתפים = 11 / 0.0548 ≈ 200.7
   5. מספר המשתתפים הוא כ-200

   תשובה: כ-5.5% זכו במדליה, וכ-200 משתתפים התחרו

3. שאלה 3 · סטטיסטיקה

   בקפיצה לרוחק הממוצע 4.2 מטרים וסטיית התקן 0.6 מטר. בקפיצה לגובה הממוצע 1.5 מטרים וסטיית התקן 0.2 מטר. שתי ההתפלגויות נורמליות. אלון קפץ 4.8 מטרים לרוחק ו-1.75 מטרים לגובה. באיזו מן התחרויות דורגה התוצאה שלו גבוה יותר ביחס לשאר המשתתפים?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. השוואה בין שתי התפלגויות שונות מחייבת ציוני תקן, לא מרחקים
   2. קפיצה לרוחק: z = (4.8 − 4.2) / 0.6 = 0.6 / 0.6 = 1
   3. קפיצה לגובה: z = (1.75 − 1.5) / 0.2 = 0.25 / 0.2 = 1.25
   4. 1.25 > 1, ולכן בקפיצה לגובה אלון רחוק יותר מן הממוצע במונחי סטיות תקן
   5. מכאן שבקפיצה לגובה הוא מדורג גבוה יותר ביחס לשאר המשתתפים

   תשובה: בקפיצה לגובה

4. שאלה 4 · סטטיסטיקה

   מתווך בדק את הקשר בין שטח דירה במ"ר (המשתנה x) לבין מחירה במיליוני שקלים (המשתנה y) עבור חמש דירות: (82, 1), (90, 1.8), (98, 2.7), (112, 3.4), (118, 4.6). מצאו את הממוצע ואת סטיית התקן של שטח הדירות.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. ממוצע: (82 + 90 + 98 + 112 + 118) / 5 = 500 / 5 = 100
   2. סטיות מהממוצע: −18, −10, −2, 12, 18
   3. ריבועי הסטיות: 324, 100, 4, 144, 324, וסכומם 896
   4. שונות = 896 / 5 = 179.2
   5. סטיית תקן = √179.2 ≈ 13.3866

   תשובה: ממוצע 100 מ"ר, סטיית תקן ≈ 13.39 מ"ר

5. שאלה 5 · סטטיסטיקה

   נתונים חמישה זוגות של שטח דירה ומחירה: (82, 1), (90, 1.8), (98, 2.7), (112, 3.4), (118, 4.6). ידוע שממוצע המחירים הוא 2.7 וסטיית התקן שלהם 1.249, ושממוצע השטחים 100 וסטיית התקן 13.3866. מצאו את מקדם המתאם r ואת משוואת ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x, וחשבו את הניבוי לדירה בשטח 95 מ"ר.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מכפלות הסטיות: (−18)(−1.7) + (−10)(−0.9) + (−2)(0) + (12)(0.7) + (18)(1.9) = 30.6 + 9 + 0 + 8.4 + 34.2 = 82.2
   2. שונות משותפת = 82.2 / 5 = 16.44
   3. r = 16.44 / (13.3866 · 1.249) ≈ 0.9833
   4. שיפוע: b = r · S_y / S_x = 0.9833 · 1.249 / 13.3866 ≈ 0.09174
   5. חותך: a = ȳ − b·x̄ = 2.7 − 0.09174 · 100 ≈ −6.474
   6. ניבוי ל-95: 0.09174 · 95 − 6.474 ≈ 2.24 מיליון ₪

   תשובה: r ≈ 0.983 , y = 0.0917x − 6.474 , ניבוי ≈ 2.24 מיליון ₪

6. שאלה 6 · סטטיסטיקה

   עקב עליית מחירים גדל המחיר של כל אחת מחמש הדירות ב-0.2 מיליון שקל. קבעו עבור כל אחד מן המדדים אם ערכו גדל, קטן או לא השתנה: סטיית התקן של המשתנה y, ומקדם המתאם r.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. הוספת קבוע לכל הערכים מזיזה את כל ההתפלגות, אך אינה משנה את הפיזור סביב הממוצע
   2. הממוצע החדש הוא ȳ + 0.2, וכל סטייה (y − ȳ) נשארת בדיוק כשהייתה
   3. מכאן שסטיית התקן של y לא השתנתה
   4. r מחושב ממכפלות הסטיות, ואלה לא השתנו כלל
   5. לכן גם מקדם המתאם לא השתנה

   תשובה: שניהם לא השתנו

7. שאלה 7 · הסתברות

   בשכבת י"א 75% מן התלמידים מתנדבים, ו-3/5 מן המתנדבים הן בנות. מספר הבנות שמתנדבות גדול פי 3 ממספר הבנות שאינן מתנדבות. מהי ההסתברות לבחור באקראי בת שמתנדבת, ומהו אחוז הבנים בשכבה?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. P(בת ומתנדבת) = (3/5) · 0.75 = 0.45
   2. בנות שאינן מתנדבות = 0.45 / 3 = 0.15
   3. סך הבנות = 0.45 + 0.15 = 0.6
   4. סך הבנים = 1 − 0.6 = 0.4, כלומר 40%

   תשובה: P(בת ומתנדבת) = 0.45 , אחוז הבנים = 40%

8. שאלה 8 · הסתברות

   בשכבה 75% מתנדבים, 3/5 מן המתנדבים הן בנות, ומספר הבנות המתנדבות גדול פי 3 ממספר הבנות שאינן מתנדבות. בוחרים באקראי תלמיד וידוע שהוא בן — מהי ההסתברות שהוא מתנדב? והאם נכון המשפט 'אחוז המתנדבות מבין הבנות גדול מאחוז המתנדבים מבין הבנים'?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. בנים מתנדבים = 0.75 − 0.45 = 0.3
   2. סך הבנים = 0.4
   3. P(מתנדב | בן) = 0.3 / 0.4 = 0.75
   4. אחוז המתנדבות מבין הבנות = 0.45 / 0.6 = 0.75
   5. שני האחוזים שווים בדיוק, ולכן המשפט של דנה אינו נכון
   6. המשמעות: ההתנדבות ומין התלמיד הם מאורעות בלתי תלויים

   תשובה: P(מתנדב | בן) = 0.75, והמשפט אינו נכון — שני האחוזים שווים