שאלון 35471 — חורף 2024

27 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · סטטיסטיקה

   משקלי התינוקות שנולדים בעיר מסוימת מתפלגים נורמלית. המשקל הממוצע הוא 3.4 ק"ג, ו-96.41% מן התינוקות נולדים במשקל נמוך מ-5.02 ק"ג. מצאו את סטיית התקן של משקלי התינוקות.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. P(x < 5.02) = 0.9641 ← מטבלת ההתפלגות הנורמלית z = 1.8
   2. z = (x − x̄)/S
   3. 1.8 = (5.02 − 3.4)/S
   4. 1.8S = 1.62
   5. S = 0.9 ק"ג

   תשובה: 0.9 ק"ג

2. שאלה 2 · סטטיסטיקה

   משקלי התינוקות בעיר מתפלגים נורמלית עם ממוצע 3.4 ק"ג וסטיית תקן 0.9 ק"ג. אורי נולד במשקל נמוך ממשקלם של 9% מן התינוקות שנולדים בעיר. מצאו את המשקל שבו נולד אורי.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. אם רק 9% כבדים ממנו, אז אורי כבד מ-100% − 9% = 91% מן התינוקות
   2. P(x < a) = 0.91 ← מטבלת ההתפלגות הנורמלית z = 1.34
   3. 1.34 = (x − 3.4)/0.9
   4. x − 3.4 = 1.206
   5. x = 4.606 ק"ג

   תשובה: 4.606 ק"ג

3. שאלה 3 · סטטיסטיקה

   משקלי התינוקות בעיר מתפלגים נורמלית עם ממוצע 3.4 ק"ג וסטיית תקן 0.9 ק"ג. משקל הנמוך מ-1.5 ק"ג נחשב למשקל נמוך מאוד. איזה אחוז מן התינוקות נולדים במשקל נמוך מאוד?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. z = (1.5 − 3.4)/0.9 = −1.9/0.9 ≈ −2.11
   2. מטבלת ההתפלגות הנורמלית: P(z < −2.11) = 0.0174
   3. באחוזים: 1.74%

   תשובה: כ-1.74%

4. שאלה 4 · סטטיסטיקה

   בעיר מסוימת 1.74% מן התינוקות נולדים במשקל נמוך מאוד. בשנה מסוימת נולדו בעיר זו 20,000 תינוקות. כמה מהם נולדו במשקל נמוך מאוד?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מספר התינוקות = ההסתברות × גודל האוכלוסייה
   2. 0.0174 · 20,000 = 348 תינוקות

   תשובה: 348 תינוקות

5. שאלה 5 · סטטיסטיקה

   שחר נולד בעיר אחרת, באותו משקל שבו נולד אורי — 4.606 ק"ג. משקלי התינוקות בעיר של שחר מתפלגים נורמלית עם סטיית תקן 0.8 ק"ג, ומשקל הלידה של שחר בעל אותו ציון תקן כמו זה של אורי (z = 1.34). מצאו את המשקל הממוצע בעיר של שחר.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. z = (x − x̄)/S, וכאן ידועים z, x ו-S והנעלם הוא הממוצע
   2. 1.34 = (4.606 − x̄)/0.8
   3. 1.072 = 4.606 − x̄
   4. x̄ = 4.606 − 1.072 = 3.534 ק"ג

   תשובה: 3.534 ק"ג

6. שאלה 6 · סטטיסטיקה

   נבדק הקשר בין אחוז הגידול השנתי של האוכלוסייה (x) ובין אחוז הילדים בני 0–14 (y) ב-12 מדינות. ממוצע אחוז הגידול הוא 0.465 וסטיית התקן שלו 0.683. משוואת ישר הרגרסיה היא y = 11.3x + 16.3. מצאו את הממוצע של אחוז הילדים באותן מדינות.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. ישר הרגרסיה עובר תמיד בנקודת הממוצעים (x̄ , ȳ)
   2. נציב את x̄ = 0.465 במשוואת הישר
   3. ȳ = 11.3 · 0.465 + 16.3
   4. ȳ = 5.2545 + 16.3 = 21.55

   תשובה: 21.55

7. שאלה 7 · סטטיסטיקה

   בבדיקת הקשר בין אחוז הגידול השנתי (x) לאחוז הילדים (y), סטיית התקן של x היא 0.683, מקדם המתאם הוא 0.871, ומשוואת ישר הרגרסיה היא y = 11.3x + 16.3. מצאו את סטיית התקן של אחוז הילדים.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שיפוע ישר הרגרסיה: m = r · (Sy / Sx)
   2. 11.3 = 0.871 · (Sy / 0.683)
   3. 11.3 · 0.683 = 0.871 · Sy
   4. 7.7179 = 0.871 · Sy
   5. Sy ≈ 8.86

   תשובה: 8.86

8. שאלה 8 · סטטיסטיקה

   משוואת ישר הרגרסיה לניבוי אחוז הילדים לפי אחוז הגידול השנתי היא y = 11.3x + 16.3, ומקדם המתאם הוא 0.871. במדינה מסוימת אחוז הגידול השנתי הוא 2. האם אפשר להסיק כי אחוז הילדים במדינה זו הוא בדיוק 38.9? נמקו.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נציב x = 2: y = 11.3 · 2 + 16.3 = 38.9
   2. מקדם המתאם הוא 0.871, כלומר גבוה אך אינו 1
   3. קשר דטרמיניסטי מלא מתקיים רק כאשר |r| = 1
   4. לכן 38.9 הוא הערך המנובא, ולא הערך המדויק

   תשובה: לא — זהו ניבוי בלבד

9. שאלה 9 · הסתברות

   לחנן שני ניסיונות קליעה למטרה. ההסתברות שיקלע בניסיון הראשון היא 3/5. אם קלע בראשון, ההסתברות שיקלע גם בשני היא 2/3; אם החטיא בראשון, ההסתברות שיקלע בשני היא 7/16. מצאו את ההסתברות שחנן החטיא בניסיון הראשון וקלע בשני.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. P(החטיא בראשון) = 1 − 3/5 = 2/5
   2. בהינתן החטאה, P(קלע בשני) = 7/16
   3. P = 2/5 · 7/16 = 14/80
   4. P = 7/40

   תשובה: 7/40

10. שאלה 10 · הסתברות

    לחנן שני ניסיונות קליעה. P(קליעה בראשון) = 3/5. אם קלע, P(קליעה בשני) = 2/3; אם החטיא, P(קליעה בשני) = 7/16. מצאו את ההסתברות שחנן קלע פעם אחת לפחות.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נשתמש במאורע המשלים: החטיא בשתי הפעמים
    2. P(החטיא בראשון) = 2/5
    3. P(החטיא בשני | החטיא בראשון) = 1 − 7/16 = 9/16
    4. P(שתי החטאות) = 2/5 · 9/16 = 18/80 = 9/40
    5. P(לפחות אחת) = 1 − 9/40 = 31/40

    תשובה: 31/40

11. שאלה 11 · הסתברות

    לחנן שני ניסיונות קליעה. P(קליעה בראשון) = 3/5. אם קלע, P(קליעה בשני) = 2/3; אם החטיא, P(קליעה בשני) = 7/16. ידוע שההסתברות שקלע לפחות פעם אחת היא 31/40. מצאו את ההסתברות שקלע פעם אחת בדיוק, בהינתן שקלע לפחות פעם אחת.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. P(קלע בראשון והחטיא בשני) = 3/5 · (1 − 2/3) = 3/5 · 1/3 = 1/5
    2. P(החטיא בראשון וקלע בשני) = 2/5 · 7/16 = 7/40
    3. P(בדיוק אחת) = 1/5 + 7/40 = 8/40 + 7/40 = 15/40 = 3/8
    4. 'בדיוק אחת' מוכל ב'לפחות אחת', לכן החיתוך הוא המאורע עצמו
    5. P = (3/8) / (31/40) = 3/8 · 40/31 = 15/31

    תשובה: 15/31

12. שאלה 12 · הסתברות

    ההסתברות שחנן יקלע פעם אחת בדיוק בשני ניסיונות היא 3/8. גם לדני שני ניסיונות קליעה, וההסתברות לקליעה בכל אחד מהם היא p, כאשר הניסיונות בלתי תלויים. נתון שההסתברות שדני יקלע פעם אחת בדיוק שווה לזו של חנן. מצאו את p.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. 'בדיוק אחת' אצל דני: קלע בראשון והחטיא בשני, או להפך
    2. P = p(1 − p) + (1 − p)p = 2p(1 − p)
    3. 2p(1 − p) = 3/8 = 0.375
    4. 2p − 2p² = 0.375
    5. p² − p + 0.1875 = 0
    6. p = [1 ± √(1 − 0.75)]/2 = [1 ± 0.5]/2
    7. p = 0.75 או p = 0.25 — שני הפתרונות תקפים

    תשובה: p = 0.25 או p = 0.75

13. שאלה 13 · גיאומטריה אנליטית

    בטרפז ABCD האלכסונים מאונכים זה לזה. משוואת האלכסון AC היא y = −2x + 8, ונקודת מפגש האלכסונים M נמצאת על ציר ה-y. מצאו את משוואת האלכסון BD.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. M על ציר ה-y, כלומר x = 0. נציב ב-AC: y = 8, ולכן M(0 , 8)
    2. האלכסונים מאונכים, ולכן מכפלת השיפועים היא ‎−1
    3. שיפוע AC הוא ‎−2, לכן שיפוע BD הוא ½
    4. y − 8 = ½(x − 0)
    5. y = ½x + 8

    תשובה: y = ½x + 8

14. שאלה 14 · גיאומטריה אנליטית

    בטרפז ABCD, האלכסון AC על הישר y = −2x + 8 והאלכסון BD על הישר y = ½x + 8. הנקודות A ו-B נמצאות על ציר ה-x, הצלע AD מאונכת לציר ה-x והצלע CD מקבילה לציר ה-x. מצאו את שיעורי ארבעת הקודקודים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. A על ציר ה-x ועל AC: 0 = −2x + 8 → x = 4 → A(4 , 0)
    2. B על ציר ה-x ועל BD: 0 = ½x + 8 → x = −16 → B(−16 , 0)
    3. AD מאונכת לציר ה-x, לכן ל-D אותו שיעור x כמו ל-A: x = 4
    4. D על BD: y = ½·4 + 8 = 10 → D(4 , 10)
    5. CD מקבילה לציר ה-x, לכן ל-C אותו שיעור y כמו ל-D: y = 10
    6. C על AC: 10 = −2x + 8 → x = −1 → C(−1 , 10)

    תשובה: A(4,0) , B(−16,0) , C(−1,10) , D(4,10)

15. שאלה 15 · גיאומטריה אנליטית

    בטרפז ABCD נתונים A(4,0), B(−16,0), C(−1,10) ו-D(4,10). מצאו את גודל הזווית ABD ואת גודל הזווית BCD.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. שיפוע BD הוא ½, והוא הטנגנס של הזווית עם ציר ה-x
    2. tan∠ABD = ½ → ∠ABD ≈ 26.57°
    3. שיפוע BC: (10 − 0)/(−1 − (−16)) = 10/15 = 2/3
    4. tan∠CBA = 2/3 → ∠CBA ≈ 33.69°
    5. CD מקבילה ל-AB, ולכן ∠BCD ו-∠CBA הן זוויות חד-צדדיות המשלימות ל-180°
    6. ∠BCD = 180° − 33.69° = 146.31°

    תשובה: ∠ABD ≈ 26.57° , ∠BCD ≈ 146.31°

16. שאלה 16 · גיאומטריה אנליטית

    בטרפז ABCD נתונים B(−16,0), C(−1,10) ו-D(4,10). חשבו את שטח המשולש BCD.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נבחר את CD כבסיס: CD = 4 − (−1) = 5 (שתי הנקודות באותו גובה)
    2. CD מונחת על הישר y = 10 ו-B נמצאת על ציר ה-x
    3. הגובה מ-B אל הישר y = 10 הוא 10
    4. S = (5 · 10)/2 = 25

    תשובה: 25

17. שאלה 17 · גיאומטריה אנליטית

    נתונים B(−16,0), C(−1,10) ו-D(4,10), ושטח המשולש BCD הוא 25. הנקודה F נמצאת על הישר y = 10, ושטח המשולש BFC גדול פי 2 משטח המשולש BCD. מצאו את כל האפשרויות לשיעורי F.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. F על אותו ישר כמו C ו-D, לכן הגובה מ-B נשאר 10 בשני המשולשים
    2. כשהגובה זהה, יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים
    3. S(BFC) = 2·S(BCD) פירושו CF = 2·CD = 2·5 = 10
    4. F במרחק 10 מ-C(−1 , 10) לאורך הישר y = 10
    5. ימינה: x = −1 + 10 = 9 → F(9 , 10)
    6. שמאלה: x = −1 − 10 = −11 → F(−11 , 10)

    תשובה: F(9,10) או F(−11,10)

18. שאלה 18 · גיאומטריה אנליטית

    משוואת המשיק למעגל בנקודה D היא 4x + 3y = 40. המשיק חותך את ציר ה-y בנקודה A ואת ציר ה-x בנקודה B. מצאו את שיעורי A ו-B ואת אורך הקטע AB.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. A על ציר ה-y: x = 0 → 3y = 40 → y = 40/3 → A(0 , 40/3)
    2. B על ציר ה-x: y = 0 → 4x = 40 → x = 10 → B(10 , 0)
    3. AB = √((0 − 10)² + (40/3 − 0)²)
    4. AB = √(100 + 1600/9) = √(2500/9)
    5. AB = 50/3 ≈ 16.67

    תשובה: A(0 , 40/3) , B(10 , 0) , AB = 50/3 ≈ 16.67

19. שאלה 19 · גיאומטריה אנליטית

    מעגל שמרכזו M משיק לציר ה-x בראשית O ומשיק לישר בנקודה D. הנקודה B נמצאת על ציר ה-x. הוכיחו כי המרובע OMDB הוא דלתון.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. MD ו-MO הם רדיוסים של אותו מעגל, ולכן MD = MO
    2. BD ו-BO הם שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה B
    3. שני משיקים מנקודה אחת שווים באורכם, ולכן BD = BO
    4. התקבלו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות, שאינם זוג אחד של צלעות נגדיות
    5. לכן OMDB הוא דלתון

    תשובה: שני זוגות של צלעות סמוכות שוות, ולכן דלתון

20. שאלה 20 · גיאומטריה אנליטית

    מעגל שמרכזו M משיק לצירים ולישר 4x + 3y = 40 בנקודה D. נתונים A(0 , 40/3), B(10 , 0), AB = 50/3 ו-BD = BO = 10. הוכיחו כי המשולשים ADM ו-AOB דומים, ומצאו את רדיוס המעגל.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. ∠ADM = 90° כי רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה
    2. ∠AOB = 90° כי הצירים מאונכים זה לזה
    3. ∠A משותפת לשני המשולשים
    4. לפי משפט דמיון זווית-זווית, ADM ∼ AOB
    5. AD = AB − BD = 50/3 − 10 = 20/3
    6. AO = 40/3
    7. יחס הצלעות המתאימות: DM/OB = AD/AO
    8. DM/10 = (20/3)/(40/3) = 1/2
    9. DM = 5, וזהו רדיוס המעגל

    תשובה: דומים לפי זווית-זווית, והרדיוס הוא 5

21. שאלה 21 · גיאומטריה אנליטית

    מעגל שמרכזו M משיק לציר ה-x בראשית הצירים ורדיוסו 5. מצאו את משוואת המעגל. כמו כן, נתון שהמרובע OMDB בר-חסימה במעגל ו-B(10 , 0) — מצאו את שיעורי מרכז המעגל החוסם אותו.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. מעגל המשיק לציר ה-x בראשית — מרכזו על ציר ה-y במרחק הרדיוס
    2. M(0 , 5), ולכן x² + (y − 5)² = 25
    3. במרובע OMDB מתקיים ∠O + ∠D = 90° + 90° = 180°
    4. סכום זוויות נגדיות 180° פירושו שהמרובע בר-חסימה
    5. MB נשען על זווית היקפית ישרה, ולכן הוא קוטר במעגל החוסם
    6. מרכז המעגל החוסם הוא אמצע MB: ((0+10)/2 , (5+0)/2)
    7. המרכז: (5 , 2.5)

    תשובה: המעגל: x² + (y − 5)² = 25 ; מרכז החוסם: (5 , 2.5)

22. שאלה 22 · חשבון דיפרנציאלי

    לפונקציה f(x) יש אסימפטוטה אופקית y = 2 ותחום הגדרה x ≠ 4 ו-x ≠ −4. נתונות שלוש אפשרויות לתבנית הפונקציה: (I) 1 + x²/(x² + 16) , (II) 2 + x²/(x² − 16) , (III) 1 + x²/(x² − 16). קבעו איזו מהן מייצגת את f ונמקו.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. כאשר x ← ∞ המנה x²/(x² ± 16) שואפת ל-1 בכל שלוש התבניות
    2. תבנית I: 1 + 1 = 2 ✓ אסימפטוטה נכונה, אך המכנה x² + 16 לעולם אינו מתאפס
    3. לכן תחום ההגדרה של I הוא כל x — סותר את הנתון
    4. תבנית II: 2 + 1 = 3 ✗ אסימפטוטה שגויה
    5. תבנית III: 1 + 1 = 2 ✓, והמכנה x² − 16 מתאפס ב-x = ±4 ✓
    6. לכן f(x) = 1 + x²/(x² − 16)

    תשובה: תבנית III

23. שאלה 23 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = 1 + x²/(x² − 16). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. חיתוך עם ציר ה-y: נציב x = 0
    2. f(0) = 1 + 0/(0 − 16) = 1 → (0 , 1)
    3. חיתוך עם ציר ה-x: נציב y = 0
    4. 1 + x²/(x² − 16) = 0
    5. נכפול ב-(x² − 16): x² − 16 + x² = 0
    6. 2x² = 16 → x² = 8
    7. x = ±√8 = ±2√2 → (2√2 , 0) ו-(−2√2 , 0)

    תשובה: (0 , 1) , (2√2 , 0) , (−2√2 , 0)

24. שאלה 24 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = x²·√(−2x + 10). מצאו את תחום ההגדרה, את נקודות החיתוך עם הצירים ואת שיעורי נקודות הקיצון, וקבעו את סוגן.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הביטוי בשורש אי-שלילי: −2x + 10 ≥ 0 → x ≤ 5
    2. חיתוך עם הצירים: x²·√(−2x+10) = 0 → x = 0 או x = 5
    3. נגזור לפי כלל המכפלה: f'(x) = 2x·√(−2x+10) + x²·(−1/√(−2x+10))
    4. מכנה משותף: f'(x) = [2x(−2x+10) − x²] / √(−2x+10)
    5. f'(x) = (−5x² + 20x)/√(−2x+10) = −5x(x − 4)/√(−2x+10)
    6. אפסי הנגזרת: x = 0 ו-x = 4
    7. f(4) = 16·√2 → (4 , 16√2) מקסימום
    8. f(0) = 0 → (0 , 0) מינימום
    9. הפונקציה יורדת מ-x = 4 עד x = 5, לכן (5 , 0) היא מינימום קצה

    תשובה: תחום x ≤ 5 ; חיתוך (0,0) ו-(5,0) ; (0,0) מינימום, (4 , 16√2) מקסימום, (5,0) מינימום קצה

25. שאלה 25 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = x²·√(−2x + 10) שנקודת המקסימום שלה היא (4 , 16√2). נתונה גם g(x) = f(x) − c, כאשר c פרמטר חיובי. הישר y = 20 משיק לגרף g. מצאו את c.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. g היא הזזה של f כלפי מטה, ולכן שיעורי ה-x של נקודות הקיצון אינם משתנים
    2. ישר אופקי משיק לגרף בנקודת קיצון, שבה g'(x) = f'(x) = 0
    3. ההזזה כלפי מטה, לכן ההשקה היא בנקודת המקסימום x = 4
    4. 16√2 − c = 20
    5. 22.627 − c = 20
    6. c ≈ 2.627

    תשובה: c ≈ 2.627

26. שאלה 26 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = 2 + 9/(1 − x), המוגדרת לכל x ≠ 1. הנקודה A(t , f(t)) נמצאת על הגרף ברביע השני. בונים מלבן ABCD שבו AB מקביל לציר ה-x ו-AD מקביל לציר ה-y, כאשר AB = 1 − t ו-AD = 9/(1 − t). מצאו עבור איזה t היקף המלבן מינימלי ומהם שיעורי A.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. P(t) = 2·AB + 2·AD = 2(1 − t) + 18/(1 − t)
    2. נגזור: P'(t) = −2 + 18/(1 − t)²
    3. נשווה לאפס: 18/(1 − t)² = 2
    4. (1 − t)² = 9
    5. 1 − t = 3 או 1 − t = −3
    6. t = −2 או t = 4
    7. A ברביע השני, לכן t < 0 ← t = −2
    8. f(−2) = 2 + 9/(1 − (−2)) = 2 + 3 = 5 → A(−2 , 5)
    9. P'(−3) < 0 ו-P'(−1) > 0 ← מינימום

    תשובה: t = −2, כלומר A(−2 , 5)

27. שאלה 27 · חשבון דיפרנציאלי

    במלבן ABCD שהיקפו מינימלי, הקודקוד A הוא (−2 , 5), הצלע AB מקבילה לציר ה-x באורך 1 − t והצלע AD מקבילה לציר ה-y באורך 9/(1 − t), כאשר t = −2. מצאו את שטח המלבן.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. AB = 1 − (−2) = 3
    2. AD = 9/(1 − (−2)) = 9/3 = 3
    3. שתי הצלעות שוות, כלומר המלבן שהתקבל הוא ריבוע
    4. S = 3 · 3 = 9

    תשובה: 9