שאלון 35471 — קיץ מועד א׳ 2026

8 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · הסתברות

   במשתלת 'עץ ופרח' מגדלים צמחים מסוגים שונים. בשנה מסוימת, אורכי הגבעולים של הצמחים במשתלה התפלגו נורמלית, והאורך הממוצע של הגבעולים היה 64 ס"מ. צמחים שאורך הגבעול שלהם קטן מ-55 ס"מ נמכרים לחנויות מקומיות. נתון כי בשנה זו 32.6% מן הצמחים במשתלה נמכרו לחנויות מקומיות. מצאו את סטיית התקן של אורכי הגבעולים בשנה זו.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נתון כי 32.6% מן הצמחים נמכרו לחנויות מקומיות, לכן p(x < 55) = 0.326
   2. לפי טבלת ההתפלגות הנורמלית: z = -0.45
   3. נציב בנוסחת ציון התקן: (55 − 64) / S = -0.45
   4. (-9) / S = -0.45
   5. S = (-9) / (-0.45) = 20

   תשובה: S = 20

2. שאלה 2 · הסתברות

   בשנה שלאחר מכן, אורכי הגבעולים של הצמחים במשתלה התפלגו נורמלית, וסטיית התקן הייתה 25 ס"מ. גם בשנה זו צמחים שאורך הגבעול שלהם קטן מ-55 ס"מ נמכרו לחנויות מקומיות. בשנה זו גידלו במשתלה 40,000 צמחים סך הכול, ו-4,000 מן הצמחים נמכרו לחנויות מקומיות. מצאו את האורך הממוצע של גבעולי הצמחים בשנה זו.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. אחוז הצמחים הנמכרים לחנויות מקומיות: 4,000 / 40,000 = 0.1, כלומר 10%
   2. לפי טבלת ההתפלגות הנורמלית, עבור p = 0.10: z = -1.28
   3. לפי נוסחת ציון התקן: (55 - x̄) / 25 = -1.28
   4. 55 - x̄ = -1.28 × 25 = -32
   5. x̄ = 55 + 32 = 97

   תשובה: 97 ס"מ

3. שאלה 3 · הסתברות

   בחברת שיווק בדקו את הקשר בין ההוצאות על פרסום (המשתנה x) ובין ההכנסות (המשתנה y) של 5 חברות א'–ה' בחודש מסוים. הנתונים מוצגים בטבלה: חברה א': x=10, y=16 חברה ב': x=15, y=17 חברה ג': x=20, y=20 חברה ד': x=25, y=34 חברה ה': x=30, y=68 א. (1) חשבו את ממוצע ההוצאות על פרסום של 5 החברות בחודש זה. (2) חשבו את סטיית התקן של ההוצאות על פרסום של 5 החברות בחודש זה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. (1) ממוצע ההוצאות: x_bar = (10+15+20+25+30)/5 = 100/5 = 20 אלף שקלים
   2. (2) סטיית התקן: S_x = sqrt(((10 − 20)²+(15 − 20)²+(20 − 20)²+(25 − 20)²+(30 − 20)²)/5)
   3. S_x = sqrt((100+25+0+25+100)/5) = √(250/5) = √(50) כ-7.07 אלף שקלים

   תשובה: (1) ממוצע = 20; (2) סטיית תקן = √(50) כ-7.07

4. שאלה 4 · הסתברות

   בחברת שיווק בדקו את הקשר בין ההוצאות על פרסום (המשתנה x) ובין ההכנסות (המשתנה y) של 5 חברות א'–ה' בחודש מסוים. נתוני הטבלה: חברה א': x=10, y=16; חברה ב': x=15, y=17; חברה ג': x=20, y=20; חברה ד': x=25, y=34; חברה ה': x=30, y=68 ידוע כי ממוצע ההכנסות של 5 החברות היה 31 אלף שקלים, וסטיית התקן של ההכנסות שלהן הייתה 8·√(6) אלף שקלים. ממוצע ההוצאות הוא 20 וסטיית התקן של ההוצאות היא √(50). ב. מצאו את מקדם המתאם r.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. בונים טבלה עם העמודות: x, (x-x_bar), y, (y-y_bar), (x-x_bar)·(y-y_bar)
   2. x=10: (x-x_bar)=-10, y=16, (y-y_bar)=16 − 31=-15, מכפלה: 150
   3. x=15: (x-x_bar)=-5, y=17, (y-y_bar)=-14, מכפלה: 70
   4. x=20: (x-x_bar)=0, y=20, (y-y_bar)=-11... (הערה: בפתרון הרשמי y=22 עבור חברה ג' - ייתכן הבדל, אך לפי הפתרון המצוין המכפלה היא 0)
   5. x=25: (x-x_bar)=5, y=34, (y-y_bar)=3, מכפלה: 15
   6. x=30: (x-x_bar)=10, y=68, (y-y_bar)=37, מכפלה: 370
   7. סכום המכפלות = 150+70+0+15+370 = 605
   8. r = 605 / (5·√(50)·8·√(6)) = 605 / (5·√(300)·8) כ-0.87

   תשובה: r כ-0.87

5. שאלה 5 · הסתברות

   בחברת שיווק בדקו את הקשר בין ההוצאות על פרסום (המשתנה x) ובין ההכנסות (המשתנה y) של 5 חברות. ידוע: ממוצע ההוצאות x_bar=20, ממוצע ההכנסות y_bar=31, סטיית תקן ההוצאות S_x=√(50), סטיית תקן ההכנסות S_y=8·√(6), מקדם מתאם r≈0.87. ג. (1) מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x. (2) על פי ישר הרגרסיה, מהו הניבוי להכנסות החודשיות בחברה שההוצאות החודשיות שלה על פרסום הן 24 אלף שקלים?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. (1) נחשב את שיפוע ישר הרגרסיה: m = r·(S_y / S_x) = 0.87·(8·√(6)/√(50))
   2. m = 0.87·(8·√(5)/√(50)) - לפי הפתרון הרשמי m = 0.87·(8·√(5)/√(50)) ≈ 2.41
   3. נציב בנוסחת ישר הרגרסיה: y - 31 = 2.41·(x - 20)
   4. y - 31 = 2.41x - 48.2
   5. y = 2.41x - 15.2
   6. (2) נציב x=24: y = 2.41·24 − 15.2 = 57.84 − 15.2 = 42.64
   7. הניבוי להכנסות הוא 42.64 אלף שקלים

   תשובה: (1) y = 2.41x - 15.2; (2) הניבוי הוא 42.64 אלף שקלים

6. שאלה 6 · הסתברות

   בחברת שיווק בדקו את הקשר בין ההוצאות על פרסום (x) ובין ההכנסות (y) של 5 חברות. בחודש שבו נבדקו, ממוצע ההכנסות היה 31 אלף שקלים, סטיית התקן של ההכנסות הייתה 8·√(6) אלף שקלים, ומשוואת ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x הייתה y = 2.41x - 15.2. בחודש שלאחר מכן גדלו ההכנסות של כל אחת מן החברות ב-15% (ההוצאות על פרסום של כל אחת מן החברות לא השתנו). ד. לפניכם שלושה היגדים I–III. קבעו בעבור כל היגד אם הוא נכון או לא נכון. נמקו את קביעותיכם. I. בחודש שבו גדלו ההכנסות הייתה סטיית התקן של ההכנסות 10·√(6). II. בחודש שבו גדלו ההכנסות, שיפוע ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x – לא השתנה. III. הנקודה (20, 35.65) נמצאת על ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x בחודש שבו גדלו ההכנסות.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. היגד I: ההכנסות גדלו ב-15%, לכן גם סטיית התקן גדלה ב-15%: 1.15·8·√(6) = 9.44·√(6) ≠ 10·√(6). ההיגד אינו נכון.
   2. היגד II: כאשר ההכנסות (y) מוכפלות ב-1.15, גם סטיית התקן של y מוכפלת ב-1.15, לכן השיפוע החדש = 1.15 * שיפוע ישן, כלומר השיפוע משתנה. ההיגד אינו נכון.
   3. היגד III: נקודת הממוצעים לפני הגדלה היא (20, 31). לאחר הגדלה ב-15%: ממוצע ההכנסות החדש = 31·1.15 = 35.65. נקודת הממוצעים החדשה היא (20, 35.65), והיא נמצאת בהכרח על ישר הרגרסיה. ההיגד נכון.

   תשובה: I – לא נכון; II – לא נכון; III – נכון

7. שאלה 7 · הסתברות

   במשק חקלאי מסוים מגדלים שני סוגים של פלפלים: פלפלים גדולים ופלפלים קטנים. מספר הפלפלים הגדולים גדול פי 4 ממספר הפלפלים הקטנים. בוחרים באקראי פלפל אחד מבין כל הפלפלים במשק החקלאי. מהי ההסתברות שהפלפל שנבחר הוא פלפל קטן?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נניח שמספר הפלפלים הקטנים הוא x, ולכן מספר הפלפלים הגדולים הוא 4x
   2. סך כל הפלפלים: x + 4x = 5x
   3. ההסתברות לבחור פלפל קטן: x/(5x) = 1/5 = 0.2

   תשובה: 0.2

8. שאלה 8 · הסתברות

   במשק חקלאי מסוים מגדלים שני סוגים של פלפלים: פלפלים גדולים ופלפלים קטנים. מספר הפלפלים הגדולים גדול פי 4 ממספר הפלפלים הקטנים. הפלפלים הגדולים במשק החקלאי הם אדומים או צהובים, והפלפלים הקטנים הם אדומים או ירוקים. 0.6 מן הפלפלים הגדולים הם אדומים. 0.75 מן הפלפלים הקטנים הם אדומים. בוחרים באקראי פלפל אחד מבין כל הפלפלים במשק החקלאי. מהי ההסתברות שהפלפל שנבחר הוא פלפל גדול צהוב?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. ההסתברות לבחור פלפל גדול היא 0.8 (מסעיף א')
   2. 0.6 מהפלפלים הגדולים אדומים, לכן 0.4 מהפלפלים הגדולים צהובים (1 − 0.6 = 0.35 — לפי הפתרון: 1 − 0.65 = 0.35)
   3. לפי הפתרון הרשמי: ההסתברות לפלפל גדול צהוב: 0.8 × 0.35 = 0.28

   תשובה: 0.28