שאלון 35471 — קיץ מועד ב׳ 2025

14 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · סטטיסטיקה

   הציונים במבחן כניסה לאוניברסיטה מתפלגים נורמלית וסטיית התקן היא 8. 93.3% מן הנבחנים קיבלו ציון נמוך מ-94. מצאו את ממוצע הציונים.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נתון P(X < 94) = 0.933
   2. מטבלת ההתפלגות הנורמלית, לשטח 0.9332 משמאל מתאים ציון תקן z = 1.5
   3. z = (x − μ)/σ
   4. 1.5 = (94 − μ)/8
   5. 94 − μ = 12
   6. μ = 82

   תשובה: 82

2. שאלה 2 · סטטיסטיקה

   הציונים מתפלגים נורמלית עם ממוצע 82 וסטיית תקן 8. 44% מן הנבחנים, בעלי הציונים הגבוהים ביותר, התקבלו לאוניברסיטה. האם נבחן שהציון שלו 84 התקבל? נמקו.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. 44% העליונים פירושם שמתחתיהם 56%
   2. מן הטבלה, לשטח 0.56 משמאל מתאים ציון תקן z ≈ 0.15
   3. ציון הסף: 82 + 0.15 · 8 = 83.2
   4. ציון התקן של הנבחן: (84 − 82)/8 = 0.25
   5. 0.25 > 0.15 (וגם 84 > 83.2), ולכן הנבחן התקבל

   תשובה: כן — 84 גבוה מציון הסף שהוא כ-83.2

3. שאלה 3 · סטטיסטיקה

   הציונים מתפלגים נורמלית עם ממוצע 82 וסטיית תקן 8. 44% מן הנבחנים התקבלו לאוניברסיטה, ונבחנים שציונם גבוה מ-92 מוגדרים מצטיינים. מצאו כמה אחוזים מן הנבחנים התקבלו לאוניברסיטה ואינם מצטיינים.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נחשב את אחוז המצטיינים: z = (92 − 82)/8 = 1.25
   2. מן הטבלה Φ(1.25) = 0.8944
   3. אחוז המצטיינים: 1 − 0.8944 = 0.1056, כלומר 10.56%
   4. כל המצטיינים התקבלו (הציון שלהם מעל הסף 83.2)
   5. התקבלו ואינם מצטיינים: 44% − 10.56%
   6. = 33.44%

   תשובה: כ-33.44%

4. שאלה 4 · סטטיסטיקה

   2,171 נבחנים התקבלו לאוניברסיטה ואינם מצטיינים, והם מהווים 33.44% מן הנבחנים. כמה נבחנים סך הכול ניגשו למבחן הכניסה?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נסמן ב-n את מספר הנבחנים
   2. 0.3344 · n = 2,171
   3. n = 2,171 : 0.3344
   4. n ≈ 6,493 נבחנים

   תשובה: כ-6,493 נבחנים

5. שאלה 5 · סטטיסטיקה

   במבחן הראשון הממוצע 82 וסטיית התקן 8. במבחן נוסף הציונים מתפלגים נורמלית והממוצע שלהם 80. נדב ניגש לשני המבחנים וקיבל 74 בכל אחד מהם, וציון התקן שלו בשניהם זהה. מצאו את סטיית התקן במבחן הנוסף.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. ציון התקן של נדב במבחן הראשון: (74 − 82)/8 = −1
   2. במבחן הנוסף ציון התקן זהה, כלומר גם −1
   3. −1 = (74 − 80)/σ
   4. −σ = −6
   5. σ = 6

   תשובה: 6

6. שאלה 6 · סטטיסטיקה

   יואב בדק את הקשר בין מרחק הריצה (x, בק"מ) ובין מהירות הריצה (y, בקמ"ש) בשישה מסלולים. המרחקים הם: 2, 4.5, 6, 7, 8, 8.5. חשבו את מרחק הריצה הממוצע.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. ממוצע = (2 + 4.5 + 6 + 7 + 8 + 8.5) : 6
   2. = 36 : 6
   3. = 6 ק"מ

   תשובה: 6 ק"מ

7. שאלה 7 · סטטיסטיקה

   מרחקי הריצה בשישה מסלולים הם 2, 4.5, 6, 7, 8, 8.5 ק"מ, והממוצע הוא 6. הראו כי סטיית התקן של מרחק הריצה היא √(59/12).

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נחשב את הסטיות מן הממוצע: −4, −1.5, 0, 1, 2, 2.5
   2. נעלה בריבוע: 16, 2.25, 0, 1, 4, 6.25
   3. סכום הריבועים: 29.5
   4. השונות: 29.5 : 6 = 4.91666…
   5. נבדוק: 59/12 = 4.91666… ✓
   6. לכן סטיית התקן היא √(59/12) ≈ 2.217

   תשובה: סטיית התקן היא √(59/12) ≈ 2.217

8. שאלה 8 · סטטיסטיקה

   מהירויות הריצה בחמישה מסלולים הן 12, 11, 11.5, 8.5 ו-7 קמ"ש, והמהירות במסלול ד' אינה ידועה. יואב מצא כי ממוצע המהירויות בששת המסלולים שווה למהירות במסלול ד'. חשבו את המהירות במסלול ד'.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נסמן ב-d את המהירות במסלול ד'
   2. (12 + 11 + 11.5 + d + 8.5 + 7) : 6 = d
   3. 50 + d = 6d
   4. 5d = 50
   5. d = 10 קמ"ש
   6. בדיקה: הממוצע של 12, 11, 11.5, 10, 8.5, 7 הוא אכן 10 ✓

   תשובה: 10 קמ"ש

9. שאלה 9 · סטטיסטיקה

   בנתוני הריצה של יואב, ככל שהמרחק גדל המהירות נוטה לרדת, אך הקשר אינו מדויק לחלוטין. מבין המספרים 0.95, 0.24, −1, −0.86 — קבעו איזה מהם הוא מקדם המתאם r ונמקו.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. המגמה יורדת (מרחק גדול יותר — מהירות קטנה יותר), ולכן r שלילי
   2. זה פוסל את 0.95 ואת 0.24
   3. הקשר אינו לינארי מושלם — למשל במסלול ג' המהירות עלתה מ-11 ל-11.5 למרות שהמרחק גדל
   4. לכן r אינו −1 בדיוק
   5. נותר r = −0.86

   תשובה: r = −0.86

10. שאלה 10 · סטטיסטיקה

    נתון r = −0.86, ממוצע x הוא 6 וממוצע y הוא 10, סטיית התקן של x היא √(59/12) ≈ 2.217 ושל y היא √(37/12) ≈ 1.756. מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x, ואת הניבוי למהירות במרחק של 4 ק"מ.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. שיפוע ישר הרגרסיה: a = r · s_y/s_x
    2. a = −0.86 · 1.756 / 2.217 ≈ −0.68
    3. הישר עובר בנקודת הממוצעים (6 , 10)
    4. 10 = −0.68 · 6 + b ומכאן b ≈ 14.09
    5. y = −0.68x + 14.09
    6. ניבוי ל-x = 4: y = −0.68 · 4 + 14.09 ≈ 11.36 קמ"ש

    תשובה: y ≈ −0.68x + 14.09, והניבוי ל-4 ק"מ הוא כ-11.36 קמ"ש

11. שאלה 11 · הסתברות

    במגירה א' יש 5 תפוחים ו-11 אגסים, ובמגירה ב' יש 4 תפוחים ו-6 אגסים. מוציאים באקראי פרי אחד מכל מגירה. מהי ההסתברות להוציא שני פירות מסוגים שונים?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. שני מקרים זרים: תפוח מ-א' ואגס מ-ב', או אגס מ-א' ותפוח מ-ב'
    2. תפוח מ-א' ואגס מ-ב': (5/16) · (6/10) = 30/160
    3. אגס מ-א' ותפוח מ-ב': (11/16) · (4/10) = 44/160
    4. סך הכול: 74/160
    5. = 0.4625

    תשובה: 0.4625

12. שאלה 12 · הסתברות

    במגירה א' 5 תפוחים ו-11 אגסים, ובמגירה ב' 4 תפוחים ו-6 אגסים. מוציאים פרי אחד מכל מגירה. מהי ההסתברות להוציא לפחות תפוח אחד?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נעבור למאורע המשלים: לא הוציאו אף תפוח, כלומר שני אגסים
    2. P(שני אגסים) = (11/16) · (6/10) = 66/160 = 0.4125
    3. P(לפחות תפוח אחד) = 1 − 0.4125
    4. = 0.5875

    תשובה: 0.5875

13. שאלה 13 · הסתברות

    מוציאים פרי אחד מכל מגירה (א': 5 תפוחים ו-11 אגסים; ב': 4 תפוחים ו-6 אגסים). ידוע שהוציאו לפחות תפוח אחד. מהי ההסתברות שהוציאו שני תפוחים?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. P(שני תפוחים) = (5/16) · (4/10) = 20/160 = 0.125
    2. P(לפחות תפוח אחד) = 0.5875 (מן הסעיף הקודם)
    3. "שני תפוחים" מוכל ב"לפחות תפוח אחד", ולכן המונה נשאר כפי שהוא
    4. P = 0.125 : 0.5875
    5. ≈ 0.2128

    תשובה: ≈ 0.2128

14. שאלה 14 · הסתברות

    העבירו את כל הפירות משתי המגירות (סך הכול 9 תפוחים ו-17 אגסים) למגירה ג' הריקה, והוסיפו לה x תפוחים. מוציאים באקראי שני פירות בזה אחר זה ללא החזרה, וההסתברות להוציא שני אגסים היא 8/33. מצאו את x.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. במגירה ג' יש 17 אגסים ו-(9 + x) תפוחים, סך הכול 26 + x פירות
    2. P(שני אגסים) = [17/(26+x)] · [16/(25+x)]
    3. נשווה: 272 / [(26+x)(25+x)] = 8/33
    4. 8(26+x)(25+x) = 272 · 33 = 8,976
    5. (26+x)(25+x) = 1,122
    6. x² + 51x + 650 = 1,122 ומכאן x² + 51x − 472 = 0
    7. הדיסקרימיננטה: 51² + 4·472 = 2,601 + 1,888 = 4,489, ושורשה 67
    8. x = (−51 + 67)/2 = 8 (הפתרון השני שלילי ונפסל)
    9. בדיקה: (17/34)·(16/33) = 8/33 ✓

    תשובה: x = 8