מורה מתמטיקה AI
דילוג לתוכן הראשי

שאלון 35471 — קיץ מועד א׳ 2023

30 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

לתרגל מבחן מלא בזמן אמתלשאול את נועה על שאלה

  1. שאלה 1 · סטטיסטיקה

    זמני השחייה של שחיינים במשחה 100 מטר חופשי מתפלגים נורמלית עם ממוצע 57 שניות וסטיית תקן 2 שניות. השיא הקודם במשחה זה היה 51 שניות. מהי ההסתברות ששחיין שנבחר באקראי שבר את השיא?

    פתרון שלב אחר שלב
    1. שבירת שיא פירושה זמן קטן מ-51 שניות
    2. z = (51 − 57)/2 = −6/2 = −3
    3. מטבלת ההתפלגות הנורמלית: P(z < −3) = 0.0013

    תשובה: 0.0013

  2. שאלה 2 · סטטיסטיקה

    בבריכה מתאמנות שתי קבוצות שחייה, 150 שחיינים בכל אחת. ממוצע הזמנים בקבוצה הראשונה הוא 57 שניות ובשנייה 58 שניות. מצאו את הממוצע של כל 300 השחיינים.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. ממוצע משוקלל: x̄ = (57·150 + 58·150)/300
    2. = (8,550 + 8,700)/300 = 17,250/300
    3. = 57.5 שניות
    4. מאחר ששתי הקבוצות שוות בגודלן, זהו פשוט הממוצע של שני הממוצעים

    תשובה: 57.5 שניות

  3. שאלה 3 · סטטיסטיקה

    זמני השחייה של 300 שחיינים מתפלגים נורמלית עם ממוצע 57.5 שניות. הזמן של 50 מהם קטן מ-54 שניות. מצאו את סטיית התקן.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. P(x < 54) = 50/300 ≈ 0.167
    2. מטבלת ההתפלגות הנורמלית: z ≈ −0.965
    3. z = (x − x̄)/S
    4. −0.965 = (54 − 57.5)/S
    5. −0.965S = −3.5
    6. S ≈ 3.627 שניות

    תשובה: כ-3.627 שניות

  4. שאלה 4 · סטטיסטיקה

    זמני השחייה של 300 שחיינים מתפלגים נורמלית עם ממוצע 57.5 שניות וסטיית תקן 3.627. השיא הקודם הוא 51 שניות. מהי ההסתברות ששחיין שנבחר באקראי מבין כל 300 שבר את השיא?

    פתרון שלב אחר שלב
    1. z = (51 − 57.5)/3.627 = −6.5/3.627 ≈ −1.792
    2. מטבלת ההתפלגות הנורמלית: P(z < −1.792) ≈ 0.0367

    תשובה: כ-0.0367

  5. שאלה 5 · סטטיסטיקה

    חוקרים בדקו את הקשר בין משקל מנת המזון היומית של עכבר (X) ובין משקלו (Y). משקלי מנות המזון של 10 עכברים היו: 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 גרם. הממוצע הוא 3.4. חשבו את סטיית התקן של X.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. סכום ריבועי הסטיות מהממוצע:
    2. (1−3.4)²·1 + (2−3.4)²·1 + (3−3.4)²·3 + (4−3.4)²·3 + (5−3.4)²·2
    3. = 5.76 + 1.96 + 0.48 + 1.08 + 5.12 = 14.4
    4. S² = 14.4/10 = 1.44
    5. S = √1.44 = 1.2 גרם

    תשובה: 1.2 גרם

  6. שאלה 6 · סטטיסטיקה

    בבדיקת הקשר בין משקל מנת המזון (X) למשקל העכבר (Y): x̄ = 3.4, Sx = 1.2, ȳ = 19.4, Sy = 6.086, ומקדם המתאם הוא 0.923. מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי Y מתוך X.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. שיפוע: m = r · (Sy/Sx) = 0.923 · (6.086/1.2)
    2. m = 0.923 · 5.0717 ≈ 4.681
    3. ישר הרגרסיה עובר בנקודת הממוצעים (3.4 , 19.4)
    4. Y − 19.4 = 4.681(X − 3.4)
    5. Y − 19.4 = 4.681X − 15.92
    6. Y = 4.681X + 3.484

    תשובה: Y = 4.681X + 3.484

  7. שאלה 7 · סטטיסטיקה

    משוואת ישר הרגרסיה היא Y = 4.681X + 3.484, כאשר ȳ = 19.4. התברר שעקב אי כיול המאזניים יש להפחית 2 גרם ממשקלו של כל עכבר, בלי שינוי במשקלי מנות המזון. מצאו את משוואת ישר הרגרסיה החדשה.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. הפחתת קבוע מכל ערכי Y מורידה את הממוצע באותו קבוע: ȳ = 19.4 − 2 = 17.4
    2. סטיית התקן אינה משתנה, כי הפיזור נשמר
    3. מקדם המתאם והשיפוע אינם משתנים: m = 4.681
    4. נקודת הממוצעים החדשה: (3.4 , 17.4)
    5. Y − 17.4 = 4.681(X − 3.4)
    6. Y = 4.681X + 1.484

    תשובה: Y = 4.681X + 1.484

  8. שאלה 8 · סטטיסטיקה

    משוואת ישר הרגרסיה המתוקנת היא Y = 4.681X + 1.484, ומשקלי מנות המזון שנצפו נעים בין 1 ל-5 גרם. נבאו את משקלו של עכבר שמשקל מנת המזון היומית שלו הוא 3.5 גרם.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. 3.5 נמצא בתוך טווח הנתונים (1 עד 5), ולכן הניבוי תקף
    2. Y = 4.681 · 3.5 + 1.484
    3. = 16.3835 + 1.484
    4. ≈ 17.87 גרם

    תשובה: כ-17.87 גרם

  9. שאלה 9 · הסתברות

    20% מן הסטודנטים סיימו בגרות בהצטיינות. מבין המצטיינים, 80% הגיעו להישגים גבוהים באוניברסיטה. מבין מי שסיימו בציונים רגילים, 25% הגיעו להישגים גבוהים. מהי ההסתברות שסטודנט שנבחר באקראי הגיע להישגים גבוהים?

    פתרון שלב אחר שלב
    1. P(מצטיין) = 0.2 ; P(רגיל) = 0.8
    2. P(הישגים גבוהים ∩ מצטיין) = 0.2 · 0.8 = 0.16
    3. P(הישגים גבוהים ∩ רגיל) = 0.8 · 0.25 = 0.2
    4. P(הישגים גבוהים) = 0.16 + 0.2 = 0.36

    תשובה: 0.36

  10. שאלה 10 · הסתברות

    בטבלת הסטודנטים: P(הישגים גבוהים ומצטיין) = 0.16, P(הישגים גבוהים וציונים רגילים) = 0.2, וסך ההישגים הגבוהים 0.36. מצאו את ההסתברות שסטודנט סיים בגרות בציונים רגילים, בהינתן שהגיע להישגים גבוהים.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. זו הסתברות מותנית
    2. P(רגיל | הישגים גבוהים) = P(רגיל ∩ גבוהים)/P(גבוהים)
    3. = 0.2 / 0.36
    4. = 20/36 = 5/9 ≈ 0.556

    תשובה: 5/9

  11. שאלה 11 · הסתברות

    בטבלת הסטודנטים: הישגים גבוהים ומצטיין 0.16, הישגים גבוהים ורגיל 0.2, הישגים רגילים ומצטיין 0.04, הישגים רגילים ורגיל 0.6. בדקו את שתי הטענות: (I) מבין בעלי ההישגים הגבוהים, רוב סיימו בהצטיינות. (II) מבין מי שלא הגיעו להישגים גבוהים, רוב סיימו בציונים רגילים.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. (I) P(מצטיין | גבוהים) = 0.16/0.36 = 4/9 ≈ 0.444
    2. 0.444 < 0.5, ולכן אינם רוב ← הטענה אינה נכונה
    3. (II) סך מי שלא הגיעו להישגים גבוהים: 0.04 + 0.6 = 0.64
    4. P(רגיל | לא גבוהים) = 0.6/0.64 = 15/16 ≈ 0.9375
    5. 0.9375 > 0.5 ← הטענה נכונה

    תשובה: I אינה נכונה, II נכונה

  12. שאלה 12 · הסתברות

    רות וענבל סיימו את בחינות הבגרות בציונים רגילים. ההסתברות להישגים גבוהים באוניברסיטה, בהינתן ציוני בגרות רגילים, היא 0.25. מצאו את ההסתברות שבדיוק אחת מהן הגיעה להישגים גבוהים.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. P(גבוהים) = 0.25 ; P(לא גבוהים) = 0.75
    2. שני מסלולים: רות גבוהים וענבל לא, או להפך
    3. P = 0.25 · 0.75 + 0.75 · 0.25
    4. = 0.1875 + 0.1875 = 0.375

    תשובה: 0.375

  13. שאלה 13 · גיאומטריה אנליטית

    ABCD הוא טרפז שבו AB מקביל ל-DC, כל קודקודיו על הצירים ומפגש אלכסוניו בראשית O(0,0). נתון A(0 , 6) ושטח המשולש ABD הוא 45. מצאו את אורך BD ואת שיעורי B ו-D.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. S(ABD) = (BD · AO)/2, כאשר AO = 6 הוא הגובה מ-A אל BD
    2. 45 = (BD · 6)/2 → BD = 15
    3. האלכסונים נחתכים בראשית, ולכן AO = OD = 6
    4. D על ציר ה-x משמאל לראשית: D(−6 , 0)
    5. BD = 15, ולכן x_B = −6 + 15 = 9
    6. B(9 , 0)

    תשובה: BD = 15 , D(−6 , 0) , B(9 , 0)

  14. שאלה 14 · גיאומטריה אנליטית

    בטרפז ABCD נתונים A(0 , 6), B(9 , 0) ו-D(−6 , 0), כאשר AB מקביל ל-DC. מצאו את משוואת הצלע DC.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. שיפוע AB: (0 − 6)/(9 − 0) = −6/9 = −2/3
    2. לישרים מקבילים שיפועים שווים, לכן m(DC) = −2/3
    3. DC עובר ב-D(−6 , 0)
    4. y − 0 = −(2/3)(x + 6)
    5. y = −(2/3)x − 4

    תשובה: y = −(2/3)x − 4

  15. שאלה 15 · גיאומטריה אנליטית

    הצלע DC מונחת על הישר y = −(2/3)x − 4, והקודקוד C נמצא על ציר ה-y. נתון B(9 , 0). מצאו את שיעורי C ואת גודל הזווית OBC.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. C על ציר ה-y, כלומר x = 0
    2. y = −(2/3)·0 − 4 = −4 → C(0 , −4)
    3. המשולש OBC ישר זווית בראשית
    4. tan∠OBC = OC/OB = 4/9
    5. ∠OBC ≈ 23.96°

    תשובה: C(0 , −4) , ∠OBC ≈ 23.96°

  16. שאלה 16 · גיאומטריה אנליטית

    בטרפז ABCD נתונים A(0 , 6), B(9 , 0) ו-C(0 , −4), והזווית OBC היא 23.96°. מצאו את גודל הזווית ABC.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. במשולש ABO ישר הזווית בראשית
    2. tan∠ABO = AO/BO = 6/9 = 2/3
    3. ∠ABO ≈ 33.69°
    4. הזווית ABC מורכבת משתי הזוויות: ∠ABO + ∠OBC
    5. ∠ABC = 33.69° + 23.96° = 57.65°

    תשובה: כ-57.65°

  17. שאלה 17 · גיאומטריה אנליטית

    נתונים D(−6 , 0) ו-C(0 , −4). הנקודה E נמצאת על המשך הצלע BC כך ש-DC = DE, והזווית DCE שווה לזווית ABC שהיא 57.65°. חשבו את היקף המשולש CDE.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. DC = √(6² + 4²) = √52 = 2√13 ≈ 7.211
    2. DC = DE, ולכן המשולש שווה שוקיים וזוויות הבסיס שוות
    3. ∠DCE = ∠DEC = 57.65°
    4. ∠EDC = 180° − 2·57.65° = 64.7°
    5. משפט הסינוסים: EC/sin 64.7° = DC/sin 57.65°
    6. EC = 2√13 · sin64.7°/sin57.65° ≈ 7.717
    7. ההיקף: 2 · 7.211 + 7.717 ≈ 22.14

    תשובה: כ-22.14

  18. שאלה 18 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = x + 4/x². מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודת החיתוך עם ציר ה-x.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. המכנה x² שונה מאפס, ולכן x ≠ 0
    2. חיתוך עם ציר ה-x: x + 4/x² = 0
    3. נכפול ב-x²: x³ + 4 = 0
    4. x³ = −4
    5. x = −∛4 ≈ −1.59

    תשובה: תחום x ≠ 0 ; חיתוך ב-(−∛4 , 0) ≈ (−1.59 , 0)

  19. שאלה 19 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = x + 4/x² בתחום x ≠ 0. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון וקבעו את סוגה.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. נכתוב f(x) = x + 4x^(−2)
    2. f'(x) = 1 − 8x^(−3) = 1 − 8/x³
    3. מכנה משותף: f'(x) = (x³ − 8)/x³
    4. נשווה את המונה לאפס: x³ = 8 → x = 2
    5. f(2) = 2 + 4/4 = 3
    6. בדיקת סימנים: לפני x = 2 הנגזרת שלילית ואחריו חיובית ← מינימום
    7. הנקודה: (2 , 3)

    תשובה: (2 , 3) מינימום

  20. שאלה 20 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = x + 4/x². חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר ה-x והישרים x = 1 ו-x = 2.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. S = ∫ מ-1 עד 2 של (x + 4x^(−2)) dx
    2. הפונקציה הקדומה: x²/2 + 4x^(−1)/(−1) = x²/2 − 4/x
    3. הצבת הגבול העליון x = 2: 4/2 − 4/2 = 2 − 2 = 0
    4. הצבת הגבול התחתון x = 1: 1/2 − 4 = −3.5
    5. S = 0 − (−3.5) = 3.5

    תשובה: 3.5

  21. שאלה 21 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = ½x + 1 − √(2x + b). גרף הפונקציה חותך את ציר ה-x בנקודה (8 , 0) בלבד. מצאו את b.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. נציב את שיעורי הנקודה: 0 = ½·8 + 1 − √(16 + b)
    2. 0 = 4 + 1 − √(16 + b)
    3. √(16 + b) = 5
    4. בהעלאה בריבוע: 16 + b = 25 → b = 9
    5. בדיקה חובה בשל ההעלאה בריבוע: √(16 + 9) = √25 = 5 ✓

    תשובה: b = 9

  22. שאלה 22 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = ½x + 1 − √(2x + 9). מצאו את תחום ההגדרה ואת שיעורי נקודות הקיצון, וקבעו את סוגן.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. הביטוי בשורש אי-שלילי: 2x + 9 ≥ 0 → x ≥ −4.5
    2. f'(x) = ½ − 1/√(2x + 9)
    3. נשווה לאפס: √(2x + 9) = 2
    4. בהעלאה בריבוע: 2x + 9 = 4 → x = −2.5
    5. בדיקה: √(2·(−2.5) + 9) = √4 = 2 ✓
    6. f(−2.5) = −1.25 + 1 − 2 = −2.25 → (−2.5 , −2.25) מינימום
    7. x = −4.5 הוא קצה התחום: f(−4.5) = −2.25 + 1 − 0 = −1.25
    8. הפונקציה יורדת מהקצה אל המינימום, ולכן (−4.5 , −1.25) הוא מקסימום קצה

    תשובה: תחום x ≥ −4.5 ; (−2.5 , −2.25) מינימום ו-(−4.5 , −1.25) מקסימום קצה

  23. שאלה 23 · חשבון דיפרנציאלי

    טרפז ישר זווית ABCD שבו AB מקביל ל-DC. גובה הטרפז BE חוצה את הבסיס DC, כך ש-AB = DE = EC = x ו-DC = 2x. שטח הטרפז הוא 12√2. מצאו את גובה הטרפז כפונקציה של x, ואז מצאו עבור איזה x סכום ריבועי השוקיים מינימלי.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. שטח טרפז: S = ((AB + DC)·BE)/2
    2. 12√2 = ((x + 2x)·BE)/2 = (3x·BE)/2
    3. BE = 24√2/(3x) = 8√2/x
    4. AD = BE (במלבן ABED), ולכן AD² = 128/x²
    5. BC² = BE² + EC² = 128/x² + x²
    6. סכום ריבועי השוקיים: f(x) = 256/x² + x²
    7. f'(x) = −512/x³ + 2x = (2x⁴ − 512)/x³
    8. 2x⁴ = 512 → x⁴ = 256 → x = 4 (x > 0)
    9. f'(3) < 0 ו-f'(5) > 0 ← מינימום

    תשובה: BE = 8√2/x , והסכום מינימלי כאשר x = 4

  24. שאלה 24 · חשבון דיפרנציאלי

    בטרפז ישר זווית סכום ריבועי השוקיים הוא f(x) = 256/x² + x², והוא מינימלי כאשר x = 4. בדקו אם ייתכן שסכום ריבועי השוקיים הוא 30.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. נציב x = 4: f(4) = 256/16 + 16
    2. = 16 + 16 = 32
    3. זהו הערך המינימלי האפשרי של הסכום
    4. 30 < 32, ולכן אינו בר-השגה

    תשובה: לא ייתכן — הסכום המינימלי הוא 32

  25. שאלה 25 · גיאומטריה אנליטית

    המשולש ABC חסום במעגל שמרכזו M, כאשר AC הוא קוטר. הישר DC משיק למעגל בנקודה C, ונתון ∠BAC = ∠ADC. הוכיחו כי המשולשים ABC ו-DCA דומים.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. ∠ABC = 90°, כי זו זווית היקפית הנשענת על קוטר
    2. ∠DCA = 90°, כי רדיוס לנקודת השקה מאונך למשיק ו-AC עובר במרכז
    3. לכן ∠ABC = ∠DCA
    4. נתון ∠BAC = ∠ADC
    5. שני זוגות זוויות שוות ← ABC ∼ DCA לפי משפט זווית-זווית

    תשובה: לפי משפט דמיון זווית-זווית

  26. שאלה 26 · גיאומטריה אנליטית

    נתון כי המשולשים ABC ו-DCA דומים, ובשניהם יש זווית ישרה. הוכיחו כי BC מקביל ל-AD.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. במשולשים דומים כל שלושת זוגות הזוויות שווים
    2. הוכחנו ∠ABC = ∠DCA ו-∠BAC = ∠ADC
    3. סכום הזוויות בכל משולש 180°, ולכן גם ∠BCA = ∠DAC
    4. הזוויות BCA ו-DAC הן זוויות מתחלפות בין הישרים BC ו-AD ביחס לחותך AC
    5. זוויות מתחלפות שוות ← BC מקביל ל-AD

    תשובה: זוויות מתחלפות שוות, ולכן הישרים מקבילים

  27. שאלה 27 · גיאומטריה אנליטית

    נתונים B(−2 , 0) ו-C(0 , 4), והצלע AB מאונכת ל-BC. מצאו את משוואת הצלע AB.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. שיפוע BC: (4 − 0)/(0 − (−2)) = 4/2 = 2
    2. AB ⊥ BC, ולכן מכפלת השיפועים היא ‎−1
    3. שיפוע AB: ‎−1/2
    4. הישר עובר ב-B(−2 , 0):
    5. y − 0 = −½(x + 2)
    6. y = −½x − 1

    תשובה: y = −½x − 1

  28. שאלה 28 · גיאומטריה אנליטית

    נתונים C(0 , 4) ומשוואת AB היא y = −½x − 1, כאשר AC מאונך לציר ה-y. מצאו את שיעורי הקודקוד A.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. AC מאונך לציר ה-y, ולכן הוא אופקי ול-A אותו שיעור y כמו ל-C
    2. y_A = 4
    3. נציב במשוואת AB: 4 = −½x − 1
    4. 5 = −½x
    5. x = −10
    6. A(−10 , 4)

    תשובה: A(−10 , 4)

  29. שאלה 29 · גיאומטריה אנליטית

    נתונים A(−10 , 4) ו-C(0 , 4), ו-AC הוא קוטר במעגל שמרכזו M. מצאו את שיעורי M ואת משוואת המעגל.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. M הוא אמצע הקוטר AC
    2. M = ((−10 + 0)/2 , (4 + 4)/2) = (−5 , 4)
    3. הרדיוס הוא המרחק מ-M ל-C
    4. שניהם באותו גובה, ולכן R = |0 − (−5)| = 5
    5. (x + 5)² + (y − 4)² = 25

    תשובה: M(−5 , 4) ; המעגל (x + 5)² + (y − 4)² = 25

  30. שאלה 30 · גיאומטריה אנליטית

    המשולשים ABC ו-DCA דומים, כאשר B(−2,0), C(0,4) ו-A(−10,4). מצאו את יחס הדמיון ביניהם ואת שטח המרובע ABCD.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. BC = √((0−(−2))² + (4−0)²) = √(4 + 16) = √20 = 2√5
    2. CA = |0 − (−10)| = 10
    3. יחס הדמיון: BC/CA = 2√5/10 = 1/√5
    4. שטח ABC: הבסיס AC = 10, והגובה מ-B הוא |0 − 4| = 4
    5. S(ABC) = (10 · 4)/2 = 20
    6. יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון: (√5)² = 5
    7. S(DCA) = 20 · 5 = 100
    8. S(ABCD) = 20 + 100 = 120

    תשובה: יחס הדמיון 1:√5 ; השטח 120

מועדים נוספים בשאלון 35471

וואטסאפ