שאלון 35471 — חורף 2023

13 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · סדרות

   יוסי רץ במסלול. בדקה הראשונה רץ 75 מטרים, ובכל דקה שאחריה הוא רץ מרחק הגדול פי 1.02 מן המרחק שרץ בדקה הקודמת. מהו המרחק שרץ במשך הדקה הרביעית? דייקו שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. המרחקים בכל דקה יוצרים סדרה הנדסית עם a₁ = 75 ומנה q = 1.02
   2. המרחק בדקה הרביעית הוא האיבר הרביעי: a₄ = a₁ · q³
   3. a₄ = 75 · 1.02³
   4. 1.02³ = 1.061208
   5. a₄ = 75 · 1.061208 = 79.5906
   6. לאחר עיגול לשתי ספרות: 79.59 מטרים

   תשובה: 79.59 מטרים

2. שאלה 2 · סדרות

   יוסי רץ 75 מטרים בדקה הראשונה, ובכל דקה שאחריה מרחק הגדול פי 1.02 מן הקודם. מהו המרחק הכולל שרץ במשך ארבע הדקות הראשונות? דייקו שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית: Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1)
   2. S₄ = 75 · (1.02⁴ − 1)/(1.02 − 1)
   3. 1.02⁴ = 1.08243216
   4. S₄ = 75 · 0.08243216 / 0.02
   5. S₄ = 75 · 4.121608 = 309.1206
   6. לאחר עיגול לשתי ספרות: 309.12 מטרים

   תשובה: 309.12 מטרים

3. שאלה 3 · סדרות

   יוסי רץ 75 מטרים בדקה הראשונה, ובכל דקה שאחריה מרחק הגדול פי 1.02 מן הקודם. כתבו נוסחה לחישוב המרחק הכולל שירוץ במשך n הדקות הראשונות.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נציב בנוסחת סכום סדרה הנדסית: Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1)
   2. Sₙ = 75 · (1.02ⁿ − 1)/(1.02 − 1)
   3. המכנה הוא 0.02
   4. 75 / 0.02 = 3750
   5. לכן Sₙ = 3750 · (1.02ⁿ − 1)

   תשובה: Sₙ = 3750 · (1.02ⁿ − 1)

4. שאלה 4 · סדרות

   יוסי רץ 75 מטרים בדקה הראשונה ובכל דקה שאחריה מרחק הגדול פי 1.02 מן הקודם. הוא רוצה לרוץ 2,500 מטרים, אך עומדות לרשותו 25 דקות בלבד. הסבירו מדוע לא יצליח.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נציב n = 25 בנוסחת הסכום: S₂₅ = 3750 · (1.02²⁵ − 1)
   2. 1.02²⁵ ≈ 1.640606
   3. S₂₅ = 3750 · 0.640606
   4. S₂₅ ≈ 2402.27 מטרים
   5. 2402.27 < 2500, ולכן המרחק שיצליח לרוץ ב-25 דקות קטן מן הנדרש

   תשובה: ב-25 דקות ירוץ כ-2402.27 מטרים בלבד, פחות מ-2,500

5. שאלה 5 · סדרות

   דני רץ באותו מסלול: בדקה הראשונה מרחק מסוים, ובכל דקה שאחריה מרחק הגדול פי 1.02 מן הקודם. חשבו מהו המרחק הקצר ביותר שעליו לרוץ בדקה הראשונה כדי לעבור 2,500 מטרים ב-25 דקות.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נסמן ב-a₁ את המרחק בדקה הראשונה ונדרוש S₂₅ ≥ 2500
   2. a₁ · (1.02²⁵ − 1)/0.02 ≥ 2500
   3. a₁ ≥ 2500 · 0.02 / (1.02²⁵ − 1)
   4. 1.02²⁵ − 1 ≈ 0.640606
   5. a₁ ≥ 50 / 0.640606
   6. a₁ ≥ 78.049… ולכן המרחק הקצר ביותר הוא 78.05 מטרים

   תשובה: 78.05 מטרים

6. שאלה 6 · סטטיסטיקה

   במטע דובדבנים המשקל הממוצע של הדובדבנים שמניב עץ הוא 40 ק"ג, וההתפלגות נורמלית. מהו החציון של משקל הדובדבנים שמניב עץ במטע?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. בהתפלגות נורמלית העקומה סימטרית סביב הממוצע
   2. בהתפלגות סימטרית הממוצע, החציון והשכיח מתלכדים
   3. לכן החציון שווה לממוצע: 40 ק"ג

   תשובה: 40 ק"ג

7. שאלה 7 · סטטיסטיקה

   משקל הדובדבנים שמניב עץ במטע מתפלג נורמלית עם ממוצע 40 ק"ג. אחוז העצים שמניבים פחות מ-30 ק"ג הוא 18.1%. מהי סטיית התקן? דייקו שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נתון P(X < 30) = 0.181
   2. מטבלת ההתפלגות הנורמלית, לשטח 0.181 משמאל מתאים ציון תקן z = −0.91
   3. נשתמש בנוסחה z = (x − μ)/σ
   4. −0.91 = (30 − 40)/σ
   5. σ = −10 / (−0.91)
   6. σ ≈ 10.99 ק"ג

   תשובה: 10.99 ק"ג

8. שאלה 8 · סטטיסטיקה

   במטע 300 עצי דובדבן. משקל הדובדבנים שמניב עץ מתפלג נורמלית עם ממוצע 40 ק"ג וסטיית תקן 10.99 ק"ג. עבור עצים שמניבים יותר מ-55 ק"ג מתבצע סבב קטיף נוסף. בעבור כמה עצים (בקירוב) מתבצע סבב נוסף?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נחשב את ציון התקן של 55: z = (55 − 40)/10.99
   2. z ≈ 1.36
   3. מטבלת ההתפלגות הנורמלית, השטח משמאל ל-1.36 הוא כ-0.9131
   4. P(X > 55) = 1 − 0.9131 = 0.0869
   5. מספר העצים = 300 · 0.0869 ≈ 26
   6. כ-26 עצים

   תשובה: כ-26 עצים

9. שאלה 9 · סטטיסטיקה

   במטע 300 עצי דובדבן, וסטיית התקן של משקל הדובדבנים לעץ היא 10.99 ק"ג. בשנה מסוימת ירד הממוצע ב-20% לעומת 40 ק"ג, וסטיית התקן לא השתנתה. כמה עצים (בקירוב) הניבו יותר מ-55 ק"ג באותה שנה?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. הממוצע החדש: 40 · 0.8 = 32 ק"ג
   2. נחשב ציון תקן: z = (55 − 32)/10.99
   3. z ≈ 2.09
   4. מן הטבלה, השטח משמאל ל-2.09 הוא כ-0.9817
   5. P(X > 55) = 1 − 0.9817 = 0.0183
   6. מספר העצים = 300 · 0.0183 ≈ 5

   תשובה: כ-5 עצים

10. שאלה 10 · הסתברות

    בקופה 36 מטבעות: 18 מטבעות של 2 שקלים, 12 מטבעות של 5 שקלים ו-6 מטבעות של 10 שקלים. מוציאים באקראי שני מטבעות ללא החזרה. מהי ההסתברות ששני המטבעות זהים?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. מספר הדרכים לבחור שני מטבעות מתוך 36: C(36,2) = 630
    2. שני מטבעות של 2 שקלים: C(18,2) = 153
    3. שני מטבעות של 5 שקלים: C(12,2) = 66
    4. שני מטבעות של 10 שקלים: C(6,2) = 15
    5. סך הזוגות הזהים: 153 + 66 + 15 = 234
    6. P = 234/630 = 13/35 ≈ 0.3714

    תשובה: 13/35 ≈ 0.3714

11. שאלה 11 · הסתברות

    בקופה 18 מטבעות של 2 שקלים, 12 של 5 שקלים ו-6 של 10 שקלים. הוציאו שני מטבעות ללא החזרה, וידוע ששניהם היו זהים. מהי ההסתברות שסכומם היה גבוה מ-5 שקלים?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. זו הסתברות מותנית: המרחב מצטמצם ל-234 הזוגות הזהים
    2. שני מטבעות של 2 שקלים נותנים סכום 4 — אינו גבוה מ-5
    3. שני מטבעות של 5 שקלים נותנים 10 — מתאים, ויש 66 זוגות כאלה
    4. שני מטבעות של 10 שקלים נותנים 20 — מתאים, ויש 15 זוגות כאלה
    5. המקרים המתאימים: 66 + 15 = 81
    6. P = 81/234 = 9/26 ≈ 0.3462

    תשובה: 9/26 ≈ 0.3462

12. שאלה 12 · הסתברות

    בקופה 18 מטבעות של 2 שקלים, 12 של 5 שקלים ו-6 של 10 שקלים. מוסיפים x מטבעות של 10 שקלים. לאחר ההוספה, ההסתברות להוציא ללא החזרה שני מטבעות של 5 שקלים היא 1/15. מצאו את x.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. אחרי ההוספה יש בקופה 36 + x מטבעות, ומספר מטבעות ה-5 שקלים נשאר 12
    2. P = [12/(36+x)] · [11/(35+x)] = 1/15
    3. 132 · 15 = (36 + x)(35 + x)
    4. 1980 = x² + 71x + 1260
    5. x² + 71x − 720 = 0
    6. הדיסקרימיננטה: 71² + 4·720 = 5041 + 2880 = 7921, ושורשה 89
    7. x = (−71 + 89)/2 = 9 (הפתרון השני שלילי ונפסל)

    תשובה: x = 9

13. שאלה 13 · הסתברות

    בקופה היו 18 מטבעות של 2 שקלים, 12 של 5 שקלים ו-6 של 10 שקלים, והוסיפו 9 מטבעות של 10 שקלים. האם ההסתברות להוציא ללא החזרה שני מטבעות זהים גדלה, קטנה או נשארה ללא שינוי? נמקו.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. אחרי ההוספה יש 45 מטבעות: 18 של 2 שקלים, 12 של 5 שקלים ו-15 של 10 שקלים
    2. מספר הזוגות האפשריים: C(45,2) = 990
    3. זוגות זהים: C(18,2) + C(12,2) + C(15,2) = 153 + 66 + 105 = 324
    4. P = 324/990 ≈ 0.3273
    5. לפני ההוספה ההסתברות הייתה 234/630 ≈ 0.3714
    6. 0.3273 < 0.3714, ולכן ההסתברות קטנה

    תשובה: קטנה — מ-0.3714 ל-0.3273