שאלון 35471 — קיץ מועד א׳ 2024

8 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · סטטיסטיקה

   במפעל אורזים מלפפונים לפי אורכם, והאורכים מתפלגים נורמלית. האורך הממוצע הוא 10.56 ס"מ וסטיית התקן 3 ס"מ. כל מלפפון שאורכו קטן מ-12 ס"מ נארז בקופסת שימורים רגילה. מצאו את אחוז המלפפונים הנארזים בקופסאות רגילות.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. z = (12 − 10.56) / 3 = 1.44 / 3 = 0.48
   2. מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(0.48) ≈ 0.6844
   3. כלומר כ-68.4% מן המלפפונים נארזים בקופסאות רגילות
   4. שימו לב ש-z יוצא 0.48 בדיוק — סימן טוב שהנתונים נקראו נכון

   תשובה: כ-68%

2. שאלה 2 · סטטיסטיקה

   אורכי המלפפונים מתפלגים נורמלית עם ממוצע 10.56 ס"מ וסטיית תקן 3 ס"מ, וכ-68.4% מהם קצרים מ-12 ס"מ. רבע מן המלפפונים שאורכם קטן מ-12 ס"מ נחשבים קצרים במיוחד. מצאו את אחוז המלפפונים הקצרים במיוחד ואת אורכו של הארוך שבהם.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. אחוז הקצרים במיוחד = 0.6844 / 4 ≈ 0.1711, כלומר כ-17.1%
   2. המלפפון הארוך ביותר בקבוצה הזו הוא הערך שמתחתיו נמצאים 17.11% מן המלפפונים
   3. מהטבלה: Φ(z) = 0.1711 מתקבל בעבור z ≈ −0.95
   4. X = μ + z·σ = 10.56 + (−0.95)(3) = 10.56 − 2.85 = 7.71 ס"מ

   תשובה: כ-17.1% , והארוך שבהם כ-7.71 ס"מ

3. שאלה 3 · סטטיסטיקה

   במשלוח חדש של מלפפונים האורכים מתפלגים נורמלית. 50% מן המלפפונים היו קצרים מ-11.5 ס"מ, ו-12.5% מהם היו ארוכים מ-14.26 ס"מ. מצאו את סטיית התקן של אורכי המלפפונים במשלוח החדש.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. בהתפלגות נורמלית 50% נמצאים מתחת לממוצע, ולכן μ = 11.5
   2. 12.5% ארוכים מ-14.26 פירושו ש-87.5% קצרים ממנו
   3. מהטבלה: Φ(z) = 0.875 מתקבל בעבור z ≈ 1.15
   4. 1.15 = (14.26 − 11.5) / σ
   5. σ = 2.76 / 1.15 = 2.4 ס"מ
   6. בדיקה: התוצאה יוצאת עגולה בדיוק, מה שמאשר את הקריאה

   תשובה: 2.4 ס"מ

4. שאלה 4 · סטטיסטיקה

   סטטיסטיקאית בדקה את הקשר בין מספר הילדים של זוג (המשתנה x) ובין ההוצאה החודשית על דלק בשקלים (המשתנה y). ארבעת הזוגות במדגם: (0, 1500), (1, 1800), (3, 2900), (4, 3800). מצאו את הממוצע של כל אחד מן המשתנים ואת מקדם המתאם ביניהם.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. ממוצע x = (0 + 1 + 3 + 4) / 4 = 8/4 = 2
   2. ממוצע y = (1500 + 1800 + 2900 + 3800) / 4 = 10000/4 = 2500
   3. סטיות x: −2, −1, 1, 2 — וסטיות y: −1000, −700, 400, 1300
   4. S_x = √((4+1+1+4)/4) = √2.5 ≈ 1.5811
   5. S_y = √((1,000,000 + 490,000 + 160,000 + 1,690,000)/4) ≈ 913.8
   6. שונות משותפת = (2000 + 700 + 400 + 2600)/4 = 5700/4 = 1425
   7. r = 1425 / (1.5811 · 913.8) ≈ 0.9863

   תשובה: ממוצע ילדים 2, ממוצע הוצאה 2,500 ש"ח, r ≈ 0.986

5. שאלה 5 · סטטיסטיקה

   עבור המדגם (0, 1500), (1, 1800), (3, 2900), (4, 3800) — שבו ממוצע הילדים 2, ממוצע ההוצאה 2,500 ומקדם המתאם כ-0.986 — מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי ההוצאה החודשית על דלק לפי מספר הילדים.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שיפוע: b = r · S_y / S_x = 0.9863 · 913.8 / 1.5811 = 570
   2. חותך: a = ȳ − b·x̄ = 2500 − 570 · 2 = 2500 − 1140 = 1360
   3. משוואת הישר: y = 570x + 1360
   4. שני המקדמים יוצאים שלמים לגמרי, וזו אינדיקציה שהנתונים נקראו נכון
   5. פירוש: כל ילד נוסף מוסיף בממוצע 570 ש"ח לחודש להוצאת הדלק

   תשובה: y = 570x + 1360

6. שאלה 6 · סטטיסטיקה

   בעקבות עליית מחירי הדלק, ההוצאה החודשית של כל אחד מן הזוגות על דלק עלתה ב-6%. קבעו עבור כל אחד מן המדדים אם ערכו גדל, קטן או לא השתנה: סטיית התקן של המשתנה y, ומקדם המתאם r.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. עלייה של 6% היא כפל בקבוע 1.06, ולא הוספת קבוע — זה ההבדל המכריע
   2. כפל בקבוע מותח את כל הפיזור, ולכן S_y גדלה ומתקבל 1.06 · S_y
   3. מקדם המתאם מחושב מיחס שבו הקבוע מופיע גם במונה וגם במכנה
   4. 1.06 מצטמצם, ולכן r אינו משתנה כלל
   5. כלל כללי: טרנספורמציה לינארית עם מקדם חיובי אינה משנה את r לעולם

   תשובה: סטיית התקן גדלה, מקדם המתאם לא השתנה

7. שאלה 7 · הסתברות

   במתחם דירות ההסתברות שדירה פונה לכיוון הפארק היא 3/4, והשאר פונות לכיוון הכביש. מספר הדירות המשופצות גדול פי 4 ממספר הדירות שאינן משופצות, ו-28% מן הדירות הפונות לכיוון הכביש הן משופצות. בוחרים דירה באקראי — מהי ההסתברות שהיא משופצת, ומהי ההסתברות שהיא גם פונה לכיוון הכביש וגם משופצת?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. 'גדול פי 4' פירושו יחס 4:1, ולכן המשופצות הן 4/5 מן הדירות
   2. P(משופצת) = 4/5 = 0.8
   3. P(כביש) = 1 − 3/4 = 1/4 = 0.25
   4. P(כביש ומשופצת) = P(משופצת | כביש) · P(כביש) = 0.28 · 0.25 = 0.07

   תשובה: P(משופצת) = 0.8 , P(כביש ומשופצת) = 0.07

8. שאלה 8 · הסתברות

   במתחם דירות P(פארק) = 3/4, P(משופצת) = 0.8 ו-P(כביש ומשופצת) = 0.07. בוחרים באקראי דירה מבין הדירות שאינן משופצות — מהי ההסתברות שהיא פונה לכיוון הכביש? ואם 35 דירות גם פונות לכיוון הכביש וגם משופצות, כמה דירות גם פונות לכיוון הפארק וגם משופצות?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. P(כביש ולא משופצת) = P(כביש) − P(כביש ומשופצת) = 0.25 − 0.07 = 0.18
   2. P(לא משופצת) = 1 − 0.8 = 0.2
   3. P(כביש | לא משופצת) = 0.18 / 0.2 = 0.9
   4. 35 דירות הן 0.07 מן הכלל, ולכן סך הדירות = 35 / 0.07 = 500
   5. P(פארק ומשופצת) = 0.8 − 0.07 = 0.73
   6. מספר הדירות = 0.73 · 500 = 365

   תשובה: P(כביש | לא משופצת) = 0.9 , ו-365 דירות פונות לפארק ומשופצות