שאלון 35471 — חורף 2025

26 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · סטטיסטיקה

   אורך החיים של טלפונים המיוצרים במפעל מתפלג נורמלית. ידוע כי 22.7% מן הטלפונים הם בעלי אורך חיים גדול מ-18 חודשים, ו-22.7% מן הטלפונים הם בעלי אורך חיים קטן מ-12 חודשים. מצאו את הממוצע ואת סטיית התקן של אורך החיים.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. גרף ההתפלגות הנורמלית סימטרי סביב הממוצע
   2. שני האחוזים שווים (22.7%), לכן 12 ו-18 נמצאים במרחק שווה מהממוצע
   3. x̄ = (12 + 18)/2 = 15 חודשים
   4. P(x < 12) = 0.227 ← מטבלת ההתפלגות הנורמלית z = −0.75
   5. z = (x − x̄)/S → −0.75 = (12 − 15)/S
   6. −0.75S = −3 → S = 4 חודשים

   תשובה: ממוצע 15 חודשים, סטיית תקן 4 חודשים

2. שאלה 2 · סטטיסטיקה

   אורך החיים של טלפונים מתפלג נורמלית עם ממוצע 15 חודשים וסטיית תקן 4 חודשים. 3.5% מן הטלפונים, אלה שאורך החיים שלהם הקטן ביותר, נחשבים פגומים. מהו אורך החיים הגדול ביותר של טלפון שנחשב פגום?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. P(x < a) = 0.035 ← מטבלת ההתפלגות הנורמלית z = −1.81
   2. z = (x − x̄)/S
   3. −1.81 = (x − 15)/4
   4. x − 15 = −7.24
   5. x = 7.76 חודשים

   תשובה: 7.76 חודשים

3. שאלה 3 · סטטיסטיקה

   אורך החיים של טלפונים מתפלג נורמלית עם ממוצע 15 חודשים וסטיית תקן 4 חודשים. בחודש מסוים ייצרו במפעל 2,000 טלפונים. לכמה מהם צפוי אורך חיים גדול מ-20 חודשים?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. z = (20 − 15)/4 = 1.25
   2. מטבלת ההתפלגות הנורמלית: P(z < 1.25) = 0.894
   3. P(z > 1.25) = 1 − 0.894 = 0.106
   4. מספר הטלפונים: 0.106 · 2,000 ≈ 212

   תשובה: כ-212 טלפונים

4. שאלה 4 · סטטיסטיקה

   אורך החיים של טלפונים מתפלג נורמלית עם ממוצע 15 חודשים וסטיית תקן 4 חודשים. מהנדסים הצליחו להגדיל פי 1.5 את אורך החיים של כל הטלפונים. מצאו את הממוצע ואת סטיית התקן החדשים.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. זו טרנספורמציה ליניארית של הכפלה בקבוע 1.5
   2. בהכפלה בקבוע הממוצע מוכפל באותו קבוע: 15 · 1.5 = 22.5
   3. גם הפיזור גדל באותו יחס: 4 · 1.5 = 6
   4. ממוצע 22.5 חודשים, סטיית תקן 6 חודשים

   תשובה: ממוצע 22.5 חודשים, סטיית תקן 6 חודשים

5. שאלה 5 · סטטיסטיקה

   לאחר שיפור, אורך החיים של הטלפונים מתפלג נורמלית עם ממוצע 22.5 חודשים וסטיית תקן 6 חודשים. איזה אחוז מן הטלפונים הם בעלי אורך חיים קטן מ-12 חודשים?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. z = (12 − 22.5)/6 = −10.5/6 = −1.75
   2. מטבלת ההתפלגות הנורמלית: P(z < −1.75) = 0.0401
   3. באחוזים: 0.0401 · 100% ≈ 4.01%

   תשובה: כ-4.01%

6. שאלה 6 · סטטיסטיקה

   בבית מרקחת א' נבדק במשך 5 חודשים הקשר בין מספר ימי הגשם בחודש (x) ובין ההכנסה החודשית באלפי שקלים (y). הנתונים: נובמבר 6 ימים ו-60, דצמבר 10 ימים ו-72, ינואר 20 ימים ו-85, פברואר 14 ימים ו-73, מרץ 10 ימים ו-65. מצאו את ממוצע ימי הגשם ואת סטיית התקן שלהם.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. x̄ = (6 + 10 + 20 + 14 + 10)/5 = 60/5 = 12 ימים
   2. סכום ריבועי הסטיות: (6−12)² + (10−12)² + (20−12)² + (14−12)² + (10−12)²
   3. = 36 + 4 + 64 + 4 + 4 = 112
   4. S = √(112/5) = √22.4 ≈ 4.733

   תשובה: ממוצע 12 ימים, סטיית תקן 4.733

7. שאלה 7 · סטטיסטיקה

   בבית מרקחת נבדק הקשר בין ימי גשם בחודש (x) ובין ההכנסה באלפי שקלים (y): (6,60), (10,72), (20,85), (14,73), (10,65). ידוע כי מקדם המתאם r הוא אחד מן המספרים 0.959 , 1 , −0.959. קבעו מהו ונמקו.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. ככל שמספר ימי הגשם גדל ההכנסה גדלה, לכן הקשר חיובי ו-r > 0
   2. זה פוסל את −0.959
   3. r = 1 פירושו קשר ליניארי מושלם, שבו לכל x יש בדיוק y אחד על הישר
   4. בנתונים יש שתי תצפיות עם x = 10 אך עם y שונה (72 ו-65)
   5. לכן הקשר אינו מושלם ו-r = 0.959

   תשובה: r = 0.959

8. שאלה 8 · סטטיסטיקה

   בבית מרקחת א' ממוצע ימי הגשם הוא 12 וסטיית התקן 4.733. ממוצע ההכנסות החודשי הוא 71 אלפי שקלים וסטיית התקן 8.46. מקדם המתאם הוא 0.959. מצאו את שיפוע ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שיפוע ישר הרגרסיה: m = r · (Sy / Sx)
   2. m = 0.959 · (8.46 / 4.733)
   3. m = 0.959 · 1.7874
   4. m ≈ 1.714

   תשובה: 1.714

9. שאלה 9 · סטטיסטיקה

   ממוצע ימי הגשם בבית מרקחת א' הוא 12 וממוצע ההכנסות הוא 71 אלפי שקלים. שיפוע ישר הרגרסיה לניבוי ההכנסה על פי ימי הגשם הוא 1.714. מצאו את משוואת ישר הרגרסיה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. ישר הרגרסיה עובר תמיד בנקודת הממוצעים (12 , 71)
   2. y − 71 = 1.714(x − 12)
   3. y − 71 = 1.714x − 20.568
   4. y = 1.714x + 50.432

   תשובה: y = 1.714x + 50.432

10. שאלה 10 · סטטיסטיקה

    משוואת ישר הרגרסיה לניבוי ההכנסה החודשית (באלפי שקלים) על פי מספר ימי הגשם היא y = 1.714x + 50.432. נבאו את ההכנסה בחודש שבו יהיו 15 ימי גשם.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. 15 נמצא בתוך טווח הנתונים (6 עד 20), לכן הניבוי תקף
    2. y = 1.714 · 15 + 50.432
    3. y = 25.71 + 50.432
    4. y = 76.142 אלפי שקלים

    תשובה: 76.142 אלפי שקלים (כ-76,142 שקלים)

11. שאלה 11 · סטטיסטיקה

    בבית מרקחת א' משוואת ישר הרגרסיה היא y = 1.714x + 50.432, כאשר x ימי גשם ו-y הכנסה באלפי שקלים. בבית מרקחת ב', באותה עיר ובאותם חודשים, ההכנסה בכל חודש הייתה קטנה ב-10,000 שקלים מזו של בית מרקחת א'. מצאו את משוואת ישר הרגרסיה של בית מרקחת ב'.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. החסרת קבוע של 10 אלפי שקלים מכל ערכי y
    2. הממוצע יורד ב-10: ȳ = 71 − 10 = 61, אך סטיית התקן אינה משתנה
    3. ימי הגשם זהים, לכן x̄ = 12 ו-Sx = 4.733 ללא שינוי
    4. מקדם המתאם והשיפוע אינם משתנים: m = 1.714
    5. נקודת הממוצעים החדשה: (12 , 61)
    6. y − 61 = 1.714(x − 12) → y = 1.714x + 40.432

    תשובה: y = 1.714x + 40.432

12. שאלה 12 · הסתברות

    בשכבת י"א בבית ספר, ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי הוא בן וגם חסר רישיון נהיגה היא 0.25. ידוע כי מבין הבנים, שני שלישים חסרי רישיון נהיגה. איזה אחוז מתלמידי השכבה הם בנים?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נסמן A = בן, B = חסר רישיון
    2. נתון P(A ∩ B) = 0.25 ו-P(B|A) = 2/3
    3. נוסחת ההסתברות המותנית: P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A)
    4. 2/3 = 0.25 / P(A)
    5. P(A) = 0.25 · 3/2 = 0.375
    6. באחוזים: 37.5%

    תשובה: 37.5%

13. שאלה 13 · הסתברות

    בשכבת י"א, 37.5% מן התלמידים הם בנים, וההסתברות שתלמיד הוא בן וחסר רישיון היא 0.25. נתון גם כי ההסתברות שתלמיד הוא בן ובעל רישיון שווה להסתברות שהוא בת ובעלת רישיון. בוחרים באקראי תלמיד מבין חסרי רישיון הנהיגה. מהי ההסתברות שהוא בן?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. בן ובעל רישיון: 0.375 − 0.25 = 0.125
    2. לפי הנתון גם בת ובעלת רישיון: 0.125
    3. סך בעלי הרישיון: 0.125 + 0.125 = 0.25
    4. סך חסרי הרישיון: 1 − 0.25 = 0.75
    5. P(בן | חסר רישיון) = 0.25 / 0.75 = 1/3

    תשובה: 1/3

14. שאלה 14 · הסתברות

    בשכבת י"א הבנים מהווים 37.5% מכלל התלמידים. בשכבה יש 69 בנים. כמה תלמידים יש בשכבה סך הכול?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. 0.375 · N = 69
    2. N = 69 / 0.375
    3. N = 184 תלמידים

    תשובה: 184 תלמידים

15. שאלה 15 · הסתברות

    בשכבה היו 184 תלמידים, מהם 69 בנים. לשכבה הצטרפו 26 תלמידים חדשים, בנים ובנות. בוחרים באקראי שני תלמידים מן השכבה החדשה (ללא החזרה), וההסתברות ששניהם בנים היא 2/15. כמה בנים הצטרפו לשכבה?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נסמן ב-x את מספר הבנים שהצטרפו, אז יש 69 + x בנים
    2. סך התלמידים: 184 + 26 = 210
    3. ((69+x)/210) · ((68+x)/209) = 2/15
    4. (69+x)(68+x) = 2 · 210 · 209 / 15 = 5852
    5. x² + 137x + 4692 = 5852
    6. x² + 137x − 1160 = 0
    7. x = 8 או x = −145 (נפסל, מספר בנים אינו שלילי)

    תשובה: 8 בנים

16. שאלה 16 · גיאומטריה אנליטית

    נתון מעגל שמרכזו M(−5,0). הנקודה C(−15,0) נמצאת על המעגל, והקטע MC — שהוא רדיוס — מונח על ציר ה-x. מצאו את משוואת המעגל.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הרדיוס הוא המרחק בין המרכז M(−5,0) לנקודה C(−15,0) שעל המעגל
    2. שתי הנקודות על ציר ה-x, לכן R = |−5 − (−15)| = 10
    3. משוואת מעגל: (x − a)² + (y − b)² = R²
    4. (x + 5)² + y² = 100

    תשובה: (x + 5)² + y² = 100

17. שאלה 17 · גיאומטריה אנליטית

    נתון המעגל (x + 5)² + y² = 100. הישר y = 2x הוא מיתר במעגל וחותך אותו בנקודות A ו-B. מצאו את שיעורי הנקודות A ו-B.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נציב y = 2x במשוואת המעגל
    2. (x + 5)² + (2x)² = 100
    3. x² + 10x + 25 + 4x² = 100
    4. 5x² + 10x − 75 = 0 → x² + 2x − 15 = 0
    5. x = 3 → y = 6 ← A(3,6)
    6. x = −5 → y = −10 ← B(−5,−10)

    תשובה: A(3,6) ו-B(−5,−10)

18. שאלה 18 · גיאומטריה אנליטית

    נתונות הנקודות A(3,6), C(−15,0) וראשית הצירים O. מצאו את גודל הזווית ACO ואת גודל הזווית AOC, כאשר AO מונח על הישר y = 2x.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. שיפוע AC: m = (6 − 0)/(3 − (−15)) = 6/18 = 1/3
    2. tan(∠ACO) = 1/3 → ∠ACO ≈ 18.435°
    3. שיפוע AO הוא 2 → זווית עם כיוון חיובי של ציר ה-x: tan⁻¹(2) ≈ 63.435°
    4. ∠AOC צמודה לה: 180° − 63.435° = 116.565°

    תשובה: ∠ACO ≈ 18.435° , ∠AOC ≈ 116.565°

19. שאלה 19 · גיאומטריה אנליטית

    נתונות הנקודות A(3,6), B(−5,−10) ו-C(−15,0). ידוע כי הזווית CAB היא 45°. מצאו את שטח המשולש ABC.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. AB = √((3−(−5))² + (6−(−10))²) = √(64 + 256) = √320 = 8√5
    2. AC = √((3−(−15))² + (6−0)²) = √(324 + 36) = √360 = 6√10
    3. S = (AB · AC · sin∠CAB)/2
    4. S = (8√5 · 6√10 · sin45°)/2
    5. S = (48√50 · 0.7071)/2 = 120

    תשובה: 120

20. שאלה 20 · גיאומטריה אנליטית

    במשולש ABC נתון AB = 8√5, הזווית שבקודקוד A היא 45°, והנקודה E נמצאת על הצלע AC. שטח המשולש EAB הוא 56. מצאו את אורך הקטע AE.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. S(EAB) = (AE · AB · sin∠A)/2
    2. 56 = (AE · 8√5 · sin45°)/2
    3. 112 = AE · 8√5 · 0.7071
    4. 112 = AE · 12.649
    5. AE ≈ 8.85

    תשובה: AE ≈ 8.85

21. שאלה 21 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = (x² + x + a)/x כאשר a הוא פרמטר. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה-x.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. בפונקציית מנה המכנה חייב להיות שונה מאפס
    2. x ≠ 0
    3. x = 0 מאפס את המכנה ואינו מאפס את המונה (המונה שווה a)
    4. לכן הישר x = 0 הוא אסימפטוטה אנכית
    5. חזקת המונה (2) גדולה מחזקת המכנה (1), לכן אין אסימפטוטה אופקית

    תשובה: תחום ההגדרה x ≠ 0 ; האסימפטוטה x = 0

22. שאלה 22 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = (x² + x + a)/x. גרף הפונקציה עובר בנקודה (5 , 9.2). מצאו את הפרמטר a.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נציב את שיעורי הנקודה בתבנית הפונקציה
    2. (5² + 5 + a)/5 = 9.2
    3. (30 + a)/5 = 9.2
    4. 30 + a = 46
    5. a = 16

    תשובה: a = 16

23. שאלה 23 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = (x² + x + 16)/x. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נגזור לפי כלל המנה: f'(x) = [(2x+1)·x − (x²+x+16)] / x²
    2. f'(x) = (2x² + x − x² − x − 16)/x² = (x² − 16)/x²
    3. נשווה לאפס: x² − 16 = 0 → x = ±4
    4. f(4) = (16 + 4 + 16)/4 = 9 ← (4 , 9)
    5. f(−4) = (16 − 4 + 16)/(−4) = −7 ← (−4 , −7)
    6. בטבלת סימני הנגזרת: משמאל ל-−4 הנגזרת חיובית ואחריה שלילית ← מקסימום
    7. משמאל ל-4 הנגזרת שלילית ואחריה חיובית ← מינימום

    תשובה: (4 , 9) מינימום ו-(−4 , −7) מקסימום

24. שאלה 24 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = (x² + x + 16)/x, ופונקציה g(x) המוגדרת גם היא בתחום x ≠ 0, שהנגזרת שלה מקיימת g'(x) = f(x) − 11. מצאו את שיעורי ה-x של נקודות הקיצון של g(x) וקבעו את סוגן.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נקודות קיצון של g מתקבלות כאשר g'(x) = 0
    2. (x² + x + 16)/x − 11 = 0
    3. (x² + x + 16)/x = 11
    4. x² + x + 16 = 11x
    5. x² − 10x + 16 = 0
    6. x = 2 או x = 8
    7. g' חיובית לפני x = 2 ושלילית אחריה ← מקסימום
    8. g' שלילית לפני x = 8 וחיובית אחריה ← מינימום

    תשובה: x = 2 מקסימום ו-x = 8 מינימום

25. שאלה 25 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = (x + 3)/(x − 6). מצאו את תחום ההגדרה ואת משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. המכנה חייב להיות שונה מאפס: x − 6 ≠ 0 → x ≠ 6
    2. x = 6 מאפס את המכנה ולא את המונה, לכן x = 6 אסימפטוטה אנכית
    3. חזקות המונה והמכנה שוות (שתיהן 1)
    4. האסימפטוטה האופקית היא מנת המקדמים: y = 1/1 = 1

    תשובה: תחום ההגדרה x ≠ 6 ; אסימפטוטות x = 6 ו-y = 1

26. שאלה 26 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = (x + 3)/(x − 6). הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה בתחום x > 6, הנקודה C(t , 0) היא ההיטל של A על ציר ה-x, והנקודה B(−3 , 0) היא חיתוך הגרף עם ציר ה-x. מצאו עבור איזה t שטח המשולש ABC מינימלי, ומהו השטח המינימלי.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. A(t , (t+3)/(t−6)) ו-C(t , 0), לכן AC = (t+3)/(t−6)
    2. CB = t − (−3) = t + 3
    3. S(t) = ½ · (t+3) · (t+3)/(t−6) = (t+3)²/(2(t−6))
    4. נגזור ונשווה לאפס: S'(t) = (t+3)(t−15) / (2(t−6)²)
    5. t + 3 = 0 נפסל (מחוץ לתחום), נשאר t = 15
    6. בדיקת סימנים: S'(14) < 0 ו-S'(16) > 0 ← מינימום
    7. A(15 , 18/9) = A(15 , 2)
    8. S = ½ · 18 · 2 = 18

    תשובה: t = 15, הנקודה A(15 , 2), והשטח המינימלי 18