שאלון 35471 — קיץ מועד ב׳ 2024

19 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · סטטיסטיקה

   במשתלה אורכי גבעולי הפרחים מתפלגים נורמלית עם ממוצע 20 ס"מ. קבוצה א' היא פרחים שאורך הגבעול שלהם קצר מ-22 ס"מ, ושיעורם 65.5%. מצאו את סטיית התקן.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נתון P(X < 22) = 0.655
   2. מטבלת ההתפלגות הנורמלית, לשטח 0.655 משמאל מתאים ציון תקן z = 0.4
   3. z = (x − μ)/σ
   4. 0.4 = (22 − 20)/σ
   5. σ = 2 / 0.4
   6. σ = 5 ס"מ

   תשובה: 5 ס"מ

2. שאלה 2 · סטטיסטיקה

   אורכי גבעולי הפרחים מתפלגים נורמלית עם ממוצע 20 ס"מ וסטיית תקן 5 ס"מ. קבוצה ג' היא הפרחים שאורך הגבעול שלהם ארוך מ-26 ס"מ. מצאו את אחוז הפרחים בקבוצה ג'.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נחשב ציון תקן עבור 26: z = (26 − 20)/5 = 1.2
   2. מן הטבלה, השטח משמאל ל-1.2 הוא 0.8849
   3. קבוצה ג' היא מעל 26, כלומר השטח מימין
   4. P = 1 − 0.8849 = 0.1151
   5. כלומר כ-11.5% מן הפרחים

   תשובה: כ-11.5%

3. שאלה 3 · סטטיסטיקה

   במשתלה 2,000 פרחים. האורכים מתפלגים נורמלית עם ממוצע 20 ס"מ וסטיית תקן 5 ס"מ. קבוצה ב' היא הפרחים שאורך הגבעול שלהם בין 22 ל-26 ס"מ, ומכולם מכינים זרים של 10 פרחים כל אחד. כמה זרים הכינו?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. ציוני התקן: עבור 22 מתקבל z = 0.4 ועבור 26 מתקבל z = 1.2
   2. מן הטבלה: Φ(1.2) = 0.8849 ו-Φ(0.4) = 0.6554
   3. אחוז קבוצה ב': 0.8849 − 0.6554 = 0.2295, כלומר כ-22.95%
   4. מספר הפרחים: 0.2295 · 2,000 ≈ 459 פרחים
   5. מספר הזרים: 459 : 10 = 45.9
   6. אי אפשר להכין זר חלקי, ולכן הכינו 45 זרים

   תשובה: 45 זרים

4. שאלה 4 · סטטיסטיקה

   במשתלה אחרת האורכים מתפלגים נורמלית עם אותה סטיית תקן (5 ס"מ). אחוז הפרחים שאורך הגבעול שלהם ארוך מ-24 ס"מ שווה לאחוז הפרחים בקבוצה ב' של המשתלה הראשונה (22.95%). מצאו את הממוצע במשתלה האחרת.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נתון P(X > 24) = 0.2295, ולכן P(X < 24) = 0.7705
   2. מן הטבלה, לשטח 0.7705 משמאל מתאים ציון תקן z ≈ 0.74
   3. 0.74 = (24 − μ)/5
   4. 24 − μ = 3.7
   5. μ = 20.3 ס"מ

   תשובה: 20.3 ס"מ

5. שאלה 5 · סטטיסטיקה

   נתונות שלוש טבלאות. טבלה 1: הזוגות (1,2), (2,4), (3,6), (4,8), (5,10). טבלה 2: (4,9), (5,11), (6,19), (7,22), (8,17). טבלה 3: (16,35), (17,34), (18,33), (19,32), (20,31). התאימו לכל טבלה את ההיגד המתאים: I. 0 < r < 1 · II. r = 1 · III. r = −1.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. בטבלה 1 מתקיים y = 2x בכל שורה — קשר לינארי מושלם עולה
   2. לכן r = 1, כלומר היגד II
   3. בטבלה 3 כל עלייה של 1 ב-x מלווה בירידה של 1 ב-y — קשר לינארי מושלם יורד
   4. לכן r = −1, כלומר היגד III
   5. בטבלה 2 המגמה עולה בגדול אך אינה מושלמת (הערך האחרון יורד מ-22 ל-17)
   6. לכן 0 < r < 1, כלומר היגד I

   תשובה: טבלה 1 — II, טבלה 2 — I, טבלה 3 — III

6. שאלה 6 · סטטיסטיקה

   בטבלה 2 מתוארים 5 ספורטאים: x מספר האימונים בשבוע ו-y מספר שעות האימון בשבוע. הזוגות הם (4,9), (5,11), (6,19), (7,22), (8,17). מצאו כמה פעמים בשבוע בממוצע מתאמן ספורטאי, וכמה שעות בשבוע בממוצע.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. ממוצע x: (4 + 5 + 6 + 7 + 8) : 5 = 30 : 5 = 6
   2. ממוצע y: (9 + 11 + 19 + 22 + 17) : 5
   3. = 78 : 5 = 15.6

   תשובה: 6 אימונים בשבוע בממוצע, ו-15.6 שעות בשבוע בממוצע

7. שאלה 7 · סטטיסטיקה

   משוואת ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x היא y = 2.7x + b. ממוצע x הוא 6 וממוצע y הוא 15.6. מצאו את ערך הפרמטר b.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. ישר הרגרסיה עובר תמיד דרך נקודת הממוצעים (x̄ , ȳ)
   2. נציב את הנקודה (6 , 15.6) במשוואה
   3. 15.6 = 2.7 · 6 + b
   4. 15.6 = 16.2 + b
   5. b = −0.6

   תשובה: b = −0.6

8. שאלה 8 · סטטיסטיקה

   שיפוע ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x הוא 2.7, והיחס בין סטיות התקן הוא s_y/s_x = 3.45. חשבו את ערך מקדם המתאם r.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. הקשר בין שיפוע ישר הרגרסיה למקדם המתאם: a = r · s_y/s_x
   2. נבודד את r: r = a · s_x/s_y
   3. r = a : (s_y/s_x)
   4. r = 2.7 : 3.45
   5. r ≈ 0.78

   תשובה: r ≈ 0.78

9. שאלה 9 · הסתברות

   כל סיבוב במשחק מסתיים בניצחון של גלית, בניצחון של רועי או בתיקו. ההסתברות שגלית תנצח גדולה פי 3 מן ההסתברות שרועי ינצח, וההסתברות לתיקו היא 0.28. מצאו את ההסתברות שגלית תנצח בסיבוב.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נסמן ב-p את ההסתברות שרועי ינצח, ואז גלית מנצחת בהסתברות 3p
   2. שלוש האפשרויות ממצות את מרחב המדגם
   3. p + 3p + 0.28 = 1
   4. 4p = 0.72
   5. p = 0.18
   6. ההסתברות שגלית תנצח: 3 · 0.18 = 0.54

   תשובה: 0.54

10. שאלה 10 · הסתברות

    בכל סיבוב: גלית מנצחת בהסתברות 0.54, רועי בהסתברות 0.18 ותיקו בהסתברות 0.28. במשחק שני סיבובים בלתי תלויים. מהי ההסתברות ששום סיבוב לא יסתיים בתיקו?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. ההסתברות שסיבוב בודד לא יסתיים בתיקו: 1 − 0.28 = 0.72
    2. הסיבובים בלתי תלויים, ולכן מכפילים
    3. P = 0.72 · 0.72
    4. = 0.5184

    תשובה: 0.5184

11. שאלה 11 · הסתברות

    בכל סיבוב גלית מנצחת בהסתברות 0.54. במשחק שני סיבובים בלתי תלויים. מהי ההסתברות שגלית תנצח לפחות באחד מן הסיבובים?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נעבור למאורע המשלים: גלית לא ניצחה באף סיבוב
    2. ההסתברות שגלית לא מנצחת בסיבוב בודד: 1 − 0.54 = 0.46
    3. בשני הסיבובים: 0.46² = 0.2116
    4. P(לפחות אחד) = 1 − 0.2116
    5. = 0.7884

    תשובה: 0.7884

12. שאלה 12 · הסתברות

    בכל סיבוב: גלית 0.54, רועי 0.18, תיקו 0.28. במשחק שני סיבובים בלתי תלויים. ידוע שגלית ניצחה לפחות באחד מן הסיבובים. מהי ההסתברות שאחד מן הסיבובים הסתיים בתיקו?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. זו הסתברות מותנית: P(תיקו באחד | גלית ניצחה לפחות באחד)
    2. אם אחד הסיבובים הסתיים בתיקו וגלית ניצחה לפחות באחד, אז השני הוא ניצחון של גלית
    3. המקרה: גלית ותיקו, בשני סדרים אפשריים
    4. P(החיתוך) = 2 · 0.54 · 0.28 = 0.3024
    5. P(גלית לפחות אחד) = 0.7884 (מן הסעיף הקודם)
    6. P = 0.3024 : 0.7884 ≈ 0.3836

    תשובה: ≈ 0.3836

13. שאלה 13 · גיאומטריה אנליטית

    משולש ABC חסום במעגל שמרכזו M(4 , 8), והמעגל עובר דרך ראשית הצירים O. מצאו את משוואת המעגל ואת שיעורי הנקודה A, שהיא נקודת החיתוך של המעגל עם ציר ה-y (השונה מן הראשית).

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הרדיוס הוא המרחק מן המרכז אל הראשית: r² = 4² + 8² = 16 + 64 = 80
    2. משוואת המעגל: (x−4)² + (y−8)² = 80
    3. חיתוך עם ציר ה-y: נציב x = 0
    4. 16 + (y−8)² = 80 ולכן (y−8)² = 64
    5. y − 8 = ±8, כלומר y = 0 או y = 16
    6. y = 0 היא הראשית, ולכן A(0 , 16)

    תשובה: (x−4)² + (y−8)² = 80, והנקודה A(0 , 16)

14. שאלה 14 · גיאומטריה אנליטית

    המעגל (x−4)² + (y−8)² = 80 חוסם את המשולש ABC, כאשר A(0 , 16). הצלע AB מקבילה לציר ה-x, ושיפוע הישר BC הוא 1. מצאו את שיעורי B, את משוואת הישר BC ואת שיעורי C.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. AB מקבילה לציר ה-x, ולכן ל-B שיעור y = 16
    2. נציב במעגל: (x−4)² + 64 = 80 ולכן (x−4)² = 16
    3. x = 0 או x = 8, ומכיוון ש-B שונה מ-A נקבל B(8 , 16)
    4. משוואת BC בשיפוע 1 דרך B: y − 16 = 1·(x − 8) ולכן y = x + 8
    5. נציב במעגל: (x−4)² + (x+8−8)² = 80
    6. (x−4)² + x² = 80 ומכאן 2x² − 8x − 64 = 0, כלומר x² − 4x − 32 = 0
    7. x = 8 (זו B) או x = −4, ולכן C(−4 , 4)

    תשובה: B(8 , 16), הישר BC הוא y = x + 8, והנקודה C(−4 , 4)

15. שאלה 15 · גיאומטריה אנליטית

    במעגל שרדיוסו √80 חסום המשולש ABC, כאשר A(0 , 16) ו-B(8 , 16). מצאו את גודל הזווית ACB.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. AB מקבילה לציר ה-x, ולכן אורכה 8 − 0 = 8
    2. הזווית ACB היא זווית היקפית הנשענת על המיתר AB
    3. לפי משפט הסינוסים במשולש החסום: AB / sin(ACB) = 2r
    4. sin(ACB) = 8 / (2√80) = 8 / 17.889
    5. ≈ 0.4472
    6. ACB ≈ 26.57°

    תשובה: כ-26.57°

16. שאלה 16 · גיאומטריה אנליטית

    נתונות הנקודות A(0 , 16), B(8 , 16) ו-C(−4 , 4). הנקודה E היא אמצע הצלע BC. מצאו את אורך רדיוס המעגל החוסם את המשולש AEC.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. E אמצע BC: E((8−4)/2 , (16+4)/2) = E(2 , 10)
    2. אורכי הצלעות: AE = √(4 + 36) = √40, EC = √(36 + 36) = √72, AC = √(16 + 144) = √160
    3. שטח המשולש לפי שיעורים: S = ½|0(10−4) + 2(4−16) + (−4)(16−10)| = ½·48 = 24
    4. רדיוס המעגל החוסם: R = (a·b·c)/(4S)
    5. R = (√40 · √72 · √160)/(4·24) = √460,800 / 96
    6. R = 5√2 ≈ 7.07

    תשובה: 5√2 ≈ 7.07

17. שאלה 17 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = √(3x − 6). גרף הפונקצייה חותך את ציר ה-x בנקודה A. מן הנקודה B(8 , 0) העבירו אנך לציר ה-x. הנקודה C על הגרף ושיעור ה-x שלה הוא t (כאשר 2 < t < 8), ומ-C העבירו ישר המקביל לציר ה-x החותך את האנך בנקודה D. מצאו את שיעורי A, C ו-D.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. חיתוך עם ציר ה-x: √(3x − 6) = 0 ולכן 3x − 6 = 0
    2. x = 2, כלומר A(2 , 0)
    3. C נמצאת על הגרף ושיעור ה-x שלה t, ולכן C(t , √(3t − 6))
    4. D נמצאת על האנך שהועבר מ-B, ולכן שיעור ה-x שלה 8
    5. CD מקביל לציר ה-x, ולכן ל-D אותו שיעור y כמו ל-C
    6. D(8 , √(3t − 6))

    תשובה: A(2 , 0), C(t , √(3t−6)), D(8 , √(3t−6))

18. שאלה 18 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונות A(2 , 0), C(t , √(3t−6)) ו-D(8 , √(3t−6)) כאשר 2 < t < 8. מצאו את שיעורי הנקודה C שבעבורה שטח המשולש ACD מקסימלי.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הצלע CD מקבילה לציר ה-x ואורכה 8 − t
    2. הגובה מ-A אל CD הוא הפרש שיעורי ה-y: √(3t − 6)
    3. S(t) = ½ · (8 − t) · √(3t − 6)
    4. נגזור: S′(t) = ½[−√(3t−6) + (8−t)·3/(2√(3t−6))]
    5. נכפיל ב-√(3t−6) ונשווה לאפס: −(3t − 6) + 1.5(8 − t) = 0
    6. −3t + 6 + 12 − 1.5t = 0 ולכן 4.5t = 18
    7. t = 4, והוא בתחום 2 < t < 8
    8. C(4 , √6), והשטח: ½ · 4 · √6 = 2√6 ≈ 4.9

    תשובה: C(4 , √6), והשטח המקסימלי 2√6 ≈ 4.9

19. שאלה 19 · חשבון דיפרנציאלי

    שטח המשולש ACD הוא S(t) = ½(8 − t)√(3t − 6) בתחום 2 < t < 8, והשטח המקסימלי שלו הוא 2√6. קבעו אם ייתכן ששטח המשולש ACD שווה ל-1. נמקו.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. השטח המקסימלי הוא 2√6 ≈ 4.9
    2. בקצה t → 2 מתקבל √(3t−6) → 0 ולכן השטח שואף ל-0
    3. בקצה t → 8 מתקבל (8 − t) → 0 ולכן גם כאן השטח שואף ל-0
    4. הפונקצייה רציפה בתחום ועוברת מ-0 עד 4.9 ובחזרה ל-0
    5. 1 נמצא בין 0 ל-4.9, ולכן לפי רציפות קיים t שבעבורו השטח שווה 1
    6. התשובה: כן, וזה אף קורה בשני ערכי t שונים

    תשובה: כן — 1 קטן מן השטח המקסימלי, ולכן הוא מתקבל