שאלון 35471 — קיץ מועד ב׳ 2022

24 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · סדרות

   נועם שוחה באימונים, ובכל אימון החל מהשני הוא שוחה 50 מטר יותר מבאימון שקדם לו. המרחק באימון השמיני גדול פי 2 מהמרחק באימון הראשון. כמה מטרים שחה באימון הראשון?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. התוספת קבועה, ולכן זו סדרה חשבונית עם d = 50
   2. a₈ = 2a₁
   3. a₁ + 7d = 2a₁
   4. a₁ + 350 = 2a₁
   5. a₁ = 350 מטרים

   תשובה: 350 מטרים

2. שאלה 2 · סדרות

   נועם שוחה בסדרה חשבונית שאיברה הראשון 350 מטר וההפרש 50 מטר. האם ייתכן שבאחד האימונים שחה 830 מטרים בדיוק? נמקו.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. aₙ = a₁ + (n − 1)d
   2. 830 = 350 + 50(n − 1)
   3. 50(n − 1) = 480
   4. n − 1 = 9.6 → n = 10.6
   5. מספר האימון חייב להיות שלם וחיובי
   6. 10.6 אינו שלם, ולכן לא ייתכן

   תשובה: לא ייתכן

3. שאלה 3 · סדרות

   בסדרה חשבונית שאיברה הראשון 350 וההפרש 50, באיזה אימון שחה נועם 1,000 מטרים בדיוק?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. 1,000 = 350 + 50(n − 1)
   2. 50(n − 1) = 650
   3. n − 1 = 13
   4. n = 14

   תשובה: באימון ה-14

4. שאלה 4 · סדרות

   נועם שחה בסדרה חשבונית (a₁ = 350, d = 50) עד האימון ה-14, ומהאימון ה-15 שחה 1,000 מטרים בכל אימון. סך הכול שחה 25,450 מטרים. בכמה אימונים התאמן?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. סכום 14 האימונים הראשונים: S₁₄ = 14(2·350 + 13·50)/2
   2. = 7(700 + 650) = 7 · 1,350 = 9,450 מטרים
   3. נותר: 25,450 − 9,450 = 16,000 מטרים
   4. בכל אימון נוסף 1,000 מטרים: 16,000/1,000 = 16 אימונים
   5. סך הכול: 14 + 16 = 30 אימונים

   תשובה: 30 אימונים

5. שאלה 5 · סטטיסטיקה

   ביישוב א' התפלגות מספר המכוניות למשפחה: 30 משפחות ללא מכונית, y משפחות עם מכונית אחת, x משפחות עם שתיים ו-6 משפחות עם שלוש. הממוצע הוא מכונית אחת למשפחה. מצאו את x.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. כשהממוצע ידוע, סכום הסטיות ממנו הוא אפס
   2. משפחות ללא מכונית: סטייה של ‎−1 כל אחת ← 30 · (−1) = −30
   3. משפחות עם מכונית אחת: סטייה 0
   4. משפחות עם שתיים: סטייה +1 כל אחת ← x
   5. משפחות עם שלוש: סטייה +2 כל אחת ← 6 · 2 = 12
   6. −30 + x + 12 = 0
   7. x = 18

   תשובה: x = 18

6. שאלה 6 · סטטיסטיקה

   ביישוב א׳: 30 משפחות ללא מכונית, y משפחות עם מכונית אחת, 18 עם שתיים ו-6 עם שלוש. הממוצע הוא מכונית אחת למשפחה, וסטיית התקן היא 6/7. מצאו את מספר המשפחות ביישוב.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. סכום ריבועי הסטיות מהממוצע 1:
   2. 30·(0−1)² + y·(1−1)² + 18·(2−1)² + 6·(3−1)²
   3. = 30 + 0 + 18 + 24 = 72
   4. מספר המשפחות: N = 54 + y
   5. S² = (6/7)² = 36/49
   6. 72/(54 + y) = 36/49
   7. 72 · 49 = 36(54 + y) → 3,528 = 1,944 + 36y
   8. 36y = 1,584 → y = 44
   9. N = 54 + 44 = 98 משפחות
   10. אימות: 72/98 ≈ 0.7347 = 36/49 ✓

   תשובה: 98 משפחות

7. שאלה 7 · סטטיסטיקה

   ביישוב א' 98 משפחות: 30 ללא מכונית, 44 עם אחת, 18 עם שתיים ו-6 עם שלוש. מצאו את השכיח ואת החציון.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. השכיח: השכיחות הגבוהה ביותר היא 44, השייכת למכונית אחת
   2. מספר הנתונים 98 זוגי, ולכן החציון הוא ממוצע האיברים ה-49 וה-50
   3. שכיחות מצטברת: 0 מכוניות — מקומות 1 עד 30
   4. מכונית אחת — מקומות 31 עד 74
   5. האיברים ה-49 וה-50 נמצאים שניהם בטווח 31–74
   6. החציון: (1 + 1)/2 = 1

   תשובה: השכיח 1 והחציון 1

8. שאלה 8 · סטטיסטיקה

   ביישוב ב' יש 98 משפחות, כמו ביישוב א'. החציון של מספר המכוניות למשפחה ביישוב ב' הוא 0.5. כמה משפחות ביישוב ב' אין להן מכונית כלל?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. החציון 0.5 אינו מספר שלם, ולכן אינו מספר מכוניות של אף משפחה
   2. מספר הנתונים זוגי, ולכן החציון הוא ממוצע האיברים ה-49 וה-50
   3. 0.5 הוא ממוצע של 0 ושל 1
   4. כלומר האיבר ה-49 הוא 0 והאיבר ה-50 הוא 1
   5. לכן ל-49 המשפחות הראשונות אין מכונית כלל

   תשובה: 49 משפחות

9. שאלה 9 · הסתברות

   בסל x כדורים, מהם 12 ירוקים והשאר אדומים. ההסתברות להוציא שני כדורים ירוקים עם החזרה היא 0.36. מצאו את x.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נסמן ב-p את ההסתברות לכדור ירוק
   2. עם החזרה: p² = 0.36
   3. p = 0.6
   4. 12/x = 0.6
   5. x = 12/0.6 = 20 כדורים
   6. כלומר 12 ירוקים ו-8 אדומים

   תשובה: x = 20

10. שאלה 10 · הסתברות

    בסל 20 כדורים: 12 ירוקים ו-8 אדומים. שירה מוציאה כדור, ואם הוא אדום היא מחזירה אותו; אם הוא ירוק היא אינה מחזירה. היא מוציאה שני כדורים. מהי ההסתברות שהוציאה לפחות כדור ירוק אחד?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. המאורע המשלים: שני הכדורים אדומים
    2. האדום מוחזר, ולכן ההסתברות אינה משתנה
    3. P(שניהם אדומים) = (8/20)·(8/20) = 0.16
    4. P(לפחות ירוק אחד) = 1 − 0.16 = 0.84

    תשובה: 0.84

11. שאלה 11 · הסתברות

    בסל 20 כדורים: 12 ירוקים ו-8 אדומים. כדור אדום מוחזר, ירוק אינו מוחזר. ידוע ששירה הוציאה לפחות כדור ירוק אחד. מהי ההסתברות ששני הכדורים בצבעים שונים?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. מסלול ירוק ואז אדום: הירוק אינו מוחזר, לכן (12/20)·(8/19)
    2. מסלול אדום ואז ירוק: האדום מוחזר, לכן (8/20)·(12/20)
    3. P(צבעים שונים) = 96/380 + 96/400
    4. P(לפחות ירוק אחד) = 0.84
    5. P(שונים | לפחות ירוק) = P(שונים)/0.84
    6. = 78/133 ≈ 0.586

    תשובה: 78/133 ≈ 0.586

12. שאלה 12 · גיאומטריה אנליטית

    נתונים C(0 , 3) ו-A(4 , 0), והמשולש ABC שווה שוקיים כך ש-AC = AB, כאשר B על ציר ה-x. מצאו את שיעורי B.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. AC = √((4 − 0)² + (0 − 3)²) = √(16 + 9) = √25 = 5
    2. AB = AC = 5
    3. B על ציר ה-x מימין ל-A
    4. x_B = 4 + 5 = 9
    5. B(9 , 0)

    תשובה: B(9 , 0)

13. שאלה 13 · גיאומטריה אנליטית

    נתונים A(4 , 0) ו-C(0 , 3). הוכיחו כי AC הוא קוטר במעגל העובר דרך A, C והראשית O, ומצאו את משוואת המעגל.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. ∠COA = 90°, כי הצירים מאונכים זה לזה
    2. זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר, ולכן AC הוא קוטר
    3. מרכז המעגל הוא אמצע AC
    4. M = ((4 + 0)/2 , (0 + 3)/2) = (2 , 1.5)
    5. R = MA = √((2 − 4)² + (1.5 − 0)²) = √(4 + 2.25) = √6.25 = 2.5
    6. (x − 2)² + (y − 1.5)² = 6.25

    תשובה: AC קוטר ; המעגל (x − 2)² + (y − 1.5)² = 6.25

14. שאלה 14 · גיאומטריה אנליטית

    נתונים B(9 , 0) ו-C(0 , 3), והנקודה E היא אמצע BC. מצאו את שיעורי E ואת גודל הזווית EOB, כאשר O היא הראשית.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. E אמצע BC: ((9 + 0)/2 , (0 + 3)/2) = (4.5 , 1.5)
    2. שיפוע OE: (1.5 − 0)/(4.5 − 0) = 1/3
    3. הזווית עם הכיוון החיובי של ציר ה-x מקיימת tan∠EOB = 1/3
    4. ∠EOB ≈ 18.43°

    תשובה: E(4.5 , 1.5) ; הזווית כ-18.43°

15. שאלה 15 · גיאומטריה אנליטית

    במשולש COB הנקודה E היא אמצע BC. פי כמה גדול שטח המשולש COB משטח המשולש EOB?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. E אמצע BC, ולכן OE הוא תיכון לצלע BC במשולש COB
    2. תיכון מחלק משולש לשני משולשים שווי שטח
    3. S(EOB) = S(COE)
    4. S(COB) = S(EOB) + S(COE) = 2·S(EOB)
    5. כלומר גדול פי 2

    תשובה: פי 2

16. שאלה 16 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = 1 + (2x − b)/(x − 4). מצאו את תחום ההגדרה, ואת b אם הגרף עובר בנקודה (0 , 2.5).

    פתרון שלב אחר שלב

    1. המכנה שונה מאפס: x − 4 ≠ 0 → x ≠ 4
    2. נציב את שיעורי הנקודה: 2.5 = 1 + (0 − b)/(0 − 4)
    3. 1.5 = (−b)/(−4) = b/4
    4. b = 6

    תשובה: תחום x ≠ 4 ; b = 6

17. שאלה 17 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = 1 + (2x − 6)/(x − 4). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים ואת נקודת החיתוך עם ציר ה-x.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. x = 4 מאפס את המכנה ולא את המונה ← אסימפטוטה אנכית
    2. כאשר x ← ±∞ השבר שואף ליחס המקדמים המובילים: 2/1 = 2
    3. f(x) ← 1 + 2 = 3 ← אסימפטוטה אופקית y = 3
    4. חיתוך עם ציר ה-x: 1 + (2x − 6)/(x − 4) = 0
    5. x − 4 + 2x − 6 = 0 → 3x = 10 → x = 10/3 ≈ 3.33

    תשובה: אסימפטוטות x = 4 ו-y = 3 ; חיתוך ב-(10/3 , 0)

18. שאלה 18 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = 1 + (2x − 6)/(x − 4) בתחום x ≠ 4. מצאו את תחומי העלייה והירידה שלה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נגזור את השבר לפי כלל המנה
    2. f'(x) = [2(x − 4) − (2x − 6)]/(x − 4)²
    3. המונה: 2x − 8 − 2x + 6 = −2
    4. f'(x) = −2/(x − 4)²
    5. המכנה בריבוע ולכן חיובי, והמונה שלילי קבוע
    6. f'(x) < 0 בכל תחום ההגדרה ← יורדת תמיד
    7. אין נקודות קיצון

    תשובה: יורדת בכל תחום ההגדרה, ואינה עולה כלל

19. שאלה 19 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = 1 + (2x − 6)/(x − 4) שנגזרתה f'(x) = −2/(x − 4)², ונתון f(0) = 2.5 ו-f(1) = 7/3. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הנגזרת והצירים, בתחום שבין x = 0 ל-x = 1.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הנגזרת שלילית בתחום, ולכן השטח הוא מינוס האינטגרל
    2. S = −[f(1) − f(0)] = f(0) − f(1)
    3. f(1) = 1 + (2 − 6)/(1 − 4) = 1 + (−4)/(−3) = 1 + 4/3 = 7/3
    4. S = 2.5 − 7/3 = 15/6 − 14/6
    5. = 1/6

    תשובה: 1/6

20. שאלה 20 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = (x − 3)·√(2x). מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודות החיתוך עם הצירים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הביטוי בשורש אי-שלילי: 2x ≥ 0 → x ≥ 0
    2. חיתוך עם ציר ה-x: (x − 3)·√(2x) = 0
    3. √(2x) = 0 → x = 0
    4. x − 3 = 0 → x = 3
    5. הנקודות: (0 , 0) ו-(3 , 0)
    6. (0 , 0) הוא גם קצה תחום ההגדרה

    תשובה: תחום x ≥ 0 ; חיתוך ב-(0 , 0) וב-(3 , 0)

21. שאלה 21 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = (x − 3)·√(2x) בתחום x ≥ 0. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון וקבעו את סוגן.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נגזור לפי כלל המכפלה
    2. f'(x) = √(2x) + (x − 3)·(1/√(2x))
    3. מכנה משותף: f'(x) = [2x + x − 3]/√(2x) = (3x − 3)/√(2x)
    4. המכנה חיובי בתחום, לכן 3x − 3 = 0 → x = 1
    5. f(1) = (1 − 3)·√2 = −2√2 ≈ −2.83
    6. לפני x = 1 הנגזרת שלילית ואחריו חיובית ← מינימום
    7. x = 0 הוא קצה התחום: f(0) = 0
    8. הפונקציה יורדת מהקצה אל המינימום ← (0 , 0) מקסימום קצה

    תשובה: (1 , −2√2 ≈ −2.83) מינימום ו-(0 , 0) מקסימום קצה

22. שאלה 22 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = (x − 3)·√(2x), והשטח המוגבל בין גרפה לציר ה-x הוא S. נתונה g(x) = −f(x). מהו השטח המוגבל בין שני הגרפים?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. g היא שיקוף של f ביחס לציר ה-x
    2. שיקוף אינו משנה שטח, ולכן השטח בין g לציר הוא גם S
    3. שני הגרפים נמצאים משני צדי הציר באותו תחום
    4. השטח ביניהם הוא סכום שני השטחים: S + S = 2S
    5. נקודות האפס אינן משתנות, ולכן התחום זהה

    תשובה: 2S

23. שאלה 23 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = 3x⁴ − 4x³ − 12x² + 12. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון וקבעו את סוגן.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. f'(x) = 12x³ − 12x² − 24x
    2. נוציא 12x כגורם משותף: f'(x) = 12x(x² − x − 2)
    3. נפרק: x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1)
    4. f'(x) = 12x(x − 2)(x + 1)
    5. אפסים: x = 0 , x = 2 , x = −1
    6. f(0) = 12 ; f(2) = 48 − 32 − 48 + 12 = −20
    7. f(−1) = 3 + 4 − 12 + 12 = 7
    8. בדיקת סימנים: (−1 , 7) מינימום, (0 , 12) מקסימום, (2 , −20) מינימום

    תשובה: (0 , 12) מקסימום, (−1 , 7) מינימום ו-(2 , −20) מינימום

24. שאלה 24 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = 3x⁴ − 4x³ − 12x² + 12 שנקודת המינימום הנמוכה שלה היא (2 , −20). המשיק בנקודה זו הוא הישר y = −20. חשבו את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה למשיק, בתחום מ-x = −1 עד x = 2.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. ההפרש: f(x) − (−20) = 3x⁴ − 4x³ − 12x² + 32
    2. הפונקציה הקדומה: 3x⁵/5 − x⁴ − 4x³ + 32x
    3. הצבת x = 2: 96/5 − 16 − 32 + 64 = 19.2 + 16 = 35.2
    4. הצבת x = −1: −3/5 − 1 + 4 − 32 = −29.6
    5. S = 35.2 − (−29.6) = 64.8

    תשובה: 64.8