שאלון 35471 — מועד מיוחד 2023

23 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · סטטיסטיקה

   ציוני מבחן מתכונת מתפלגים נורמלית עם ממוצע 65.05 וסטיית תקן 15. שירה קיבלה 70. איזה אחוז מן התלמידים קיבלו ציון נמוך משלה?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. z = (70 − 65.05)/15 = 4.95/15 = 0.33
   2. מטבלת ההתפלגות הנורמלית: P(z < 0.33) = 0.629
   3. באחוזים: 62.9%

   תשובה: כ-62.9%

2. שאלה 2 · סטטיסטיקה

   במתכונת השנייה קיבלה שירה 78, וגם בה 62.9% מן התלמידים קיבלו ציון נמוך משלה. סטיית התקן במתכונת השנייה היא 10. מצאו את הציון הממוצע במתכונת השנייה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. אותו אחוז פירושו אותו ציון תקן: z = 0.33
   2. z = (x − x̄)/S
   3. 0.33 = (78 − x̄)/10
   4. 3.3 = 78 − x̄
   5. x̄ = 78 − 3.3 = 74.7

   תשובה: 74.7

3. שאלה 3 · סטטיסטיקה

   במתכונת הראשונה הממוצע 65.05 וסטיית התקן 15. אריאל קיבל ציון שמעליו נמצאים 29.8% מן התלמידים. מצאו את הציון של אריאל.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. אם 29.8% מעליו, אז 100% − 29.8% = 70.2% מתחתיו
   2. P(z < a) = 0.702 ← מטבלת ההתפלגות הנורמלית z = 0.53
   3. 0.53 = (x − 65.05)/15
   4. x − 65.05 = 7.95
   5. x = 73

   תשובה: 73

4. שאלה 4 · סטטיסטיקה

   אריאל קיבל 73 בשתי המתכונות. במתכונת הראשונה הממוצע 65.05 וסטיית התקן 15; בשנייה הממוצע 74.7 וסטיית התקן 10. באיזו מתכונת הצליח יותר יחסית לכלל התלמידים? נמקו.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. במתכונת הראשונה: z = (73 − 65.05)/15 = 0.53, ציון מעל הממוצע
   2. במתכונת השנייה: z = (73 − 74.7)/10 = −0.17, ציון מתחת לממוצע
   3. 0.53 > −0.17
   4. במתכונת הראשונה יותר מ-50% מהתלמידים קיבלו ציון נמוך ממנו
   5. בשנייה יותר מ-50% קיבלו ציון גבוה ממנו
   6. לכן הצליח יותר במתכונת הראשונה

   תשובה: במתכונת הראשונה

5. שאלה 5 · סטטיסטיקה

   מורה בדקה את הקשר בין ציוני הבגרות (x) לציוני ההגשה (y) של 5 תלמידים. ציוני הבגרות היו 59, 60, 60, 60 ו-61. מצאו את הממוצע.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. x̄ = (59 + 60 + 60 + 60 + 61)/5
   2. = 300/5 = 60
   3. אפשר גם לראות זאת מיד: שלושה ציונים הם 60, והשניים האחרים סימטריים סביבו

   תשובה: 60

6. שאלה 6 · סטטיסטיקה

   בקשר בין ציוני הבגרות (x) לציוני ההגשה (y), שיפוע ישר הרגרסיה הוא 0.5, ועבור x = 60 מנובא הערך y = 80. מצאו את משוואת ישר הרגרסיה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נתונה נקודה על הישר (60 , 80) ושיפוע 0.5
   2. y − 80 = 0.5(x − 60)
   3. y − 80 = 0.5x − 30
   4. y = 0.5x + 50

   תשובה: y = 0.5x + 50

7. שאלה 7 · סטטיסטיקה

   משוואת ישר הרגרסיה היא y = 0.5x + 50, וממוצע ציוני הבגרות הוא 60. ציוני ההגשה של ארבעה מחמשת התלמידים הם 78, 81, 81 ו-81. מצאו את ציון ההגשה של התלמיד החמישי.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. ישר הרגרסיה עובר בנקודת הממוצעים
   2. ȳ = 0.5 · 60 + 50 = 80
   3. סכום ציוני ההגשה: 80 · 5 = 400
   4. סכום ארבעת הידועים: 78 + 81 + 81 + 81 = 321
   5. החמישי: 400 − 321 = 79

   תשובה: 79

8. שאלה 8 · סטטיסטיקה

   בשנה אחרת גילתה המורה שציון ההגשה של כל תלמיד זהה בדיוק לציון המנובא לו על ידי ישר הרגרסיה. מה אפשר לומר על מקדם המתאם?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. אם כל נקודה נמצאת בדיוק על ישר הרגרסיה, הקשר ליניארי מושלם
   2. קשר ליניארי מושלם פירושו |r| = 1
   3. הכיוון אינו נתון, ולכן r = 1 (עולה) או r = −1 (יורד)

   תשובה: r = 1 או r = −1

9. שאלה 9 · הסתברות

   בקופסה 9 כפתורים: 5 אדומים ו-4 כחולים. דנה מוציאה כפתור, ואם הוא כחול היא מחזירה אותו; אם הוא אדום היא אינה מחזירה. לאחר מכן היא מוציאה כפתור שני. מהי ההסתברות ששני הכפתורים בצבעים שונים?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מסלול א׳: אדום ואז כחול. האדום אינו מוחזר, ולכן נותרו 8 כפתורים
   2. P = (5/9) · (4/8) = 20/72
   3. מסלול ב׳: כחול ואז אדום. הכחול מוחזר, ולכן נותרו 9 כפתורים
   4. P = (4/9) · (5/9) = 20/81
   5. מכנה משותף 162: 20/72 = 45/162 ; 20/81 = 40/162
   6. P = 45/162 + 40/162 = 85/162

   תשובה: 85/162

10. שאלה 10 · הסתברות

    בקופסה 9 כפתורים: 5 אדומים ו-4 כחולים. כפתור כחול מוחזר, כפתור אדום אינו מוחזר. מוציאים שני כפתורים. מהי ההסתברות שיצא לכל היותר כפתור אדום אחד?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. המאורע המשלים: שני הכפתורים אדומים
    2. האדום הראשון אינו מוחזר, ולכן נותרו 8 כפתורים ובהם 4 אדומים
    3. P(שניהם אדומים) = (5/9) · (4/8) = 20/72 = 5/18
    4. P(לכל היותר אחד אדום) = 1 − 5/18 = 13/18

    תשובה: 13/18

11. שאלה 11 · הסתברות

    דנה משחקת לפי כללים שבהם ההסתברות לשני צבעים שונים היא 85/162. רותי משחקת עם החזרה תמיד, בקופסה של 5 אדומים ו-4 כחולים. מטילים מטבע הוגן כדי לקבוע מי משחקת. מהי ההסתברות ששני הכפתורים היו בצבעים שונים?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. אצל רותי, עם החזרה מלאה: P = 2 · (5/9) · (4/9) = 40/81
    2. המטבע הוגן, ולכן לכל אחת הסתברות 0.5
    3. P = 0.5 · (85/162) + 0.5 · (40/81)
    4. 40/81 = 80/162
    5. P = 0.5 · (85 + 80)/162 = 0.5 · 165/162
    6. = 165/324 = 55/108

    תשובה: 55/108

12. שאלה 12 · גיאומטריה אנליטית

    נתונה הנקודה A(6 , 6) והקודקוד B נמצא על ציר ה-y, כאשר AB = √40 ו-y_B < 6. מצאו את שיעורי B.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. B על ציר ה-y, ולכן B(0 , y)
    2. AB² = (0 − 6)² + (y − 6)² = 40
    3. 36 + (y − 6)² = 40
    4. (y − 6)² = 4
    5. y − 6 = 2 → y = 8 (נפסל, כי y < 6)
    6. y − 6 = −2 → y = 4
    7. B(0 , 4)

    תשובה: B(0 , 4)

13. שאלה 13 · גיאומטריה אנליטית

    נתונים A(6 , 6) ו-B(0 , 4). הנקודה E היא אמצע הצלע BC ונמצאת על ציר ה-x. הצלע AC מקבילה לציר ה-y. מצאו את שיעורי C ו-E.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. AC מקבילה לציר ה-y, ולכן ל-C אותו שיעור x כמו ל-A: x_C = 6
    2. E אמצע BC ונמצאת על ציר ה-x, כלומר y_E = 0
    3. 0 = (4 + y_C)/2 → y_C = −4
    4. C(6 , −4)
    5. x_E = (0 + 6)/2 = 3
    6. E(3 , 0)

    תשובה: C(6 , −4) ו-E(3 , 0)

14. שאלה 14 · גיאומטריה אנליטית

    במשולש ABC נתונים A(6,6), B(0,4) ו-C(6,−4). D היא אמצע AC ו-E היא אמצע BC. מן הנקודה E מעבירים ישר המקביל לציר ה-y החותך את AB בנקודה F. הוכיחו כי FADE הוא מקבילית, וחשבו את שטחו.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. DE הוא קטע אמצעים במשולש ABC, ולכן DE מקביל ל-AB, כלומר ל-FA
    2. EF מקביל לציר ה-y, וגם AC (שעליו נמצא AD) מקביל לציר ה-y
    3. לכן EF מקביל ל-AD
    4. שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות ← מקבילית
    5. D אמצע AC: y_D = (6 + (−4))/2 = 1, כלומר D(6 , 1)
    6. AD = |6 − 1| = 5
    7. הגובה מ-E אל AD: |6 − 3| = 3
    8. S = AD · h = 5 · 3 = 15

    תשובה: מקבילית ששטחה 15

15. שאלה 15 · גיאומטריה אנליטית

    נתונים D(6 , 1) ו-E(3 , 0), והקטע EF מקביל לציר ה-y. מצאו את גודל הזווית DEF.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. שיפוע DE: (1 − 0)/(6 − 3) = 1/3
    2. הזווית של DE עם הכיוון החיובי של ציר ה-x: tan α = 1/3 → α ≈ 18.43°
    3. EF מקביל לציר ה-y, כלומר יוצר 90° עם ציר ה-x
    4. ∠DEF = 90° − 18.43° = 71.57°

    תשובה: כ-71.57°

16. שאלה 16 · גיאומטריה אנליטית

    מעגל שמרכזו M(6 , 10) משיק לציר ה-x בנקודה A. מצאו את שיעורי A ואת משוואת המעגל.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. רדיוס לנקודת השקה מאונך למשיק
    2. המשיק הוא ציר ה-x, ולכן הרדיוס אנכי ו-A נמצאת ישירות מתחת ל-M
    3. x_A = x_M = 6, ו-A על ציר ה-x, כלומר A(6 , 0)
    4. R = |y_M − y_A| = 10
    5. (x − 6)² + (y − 10)² = 100

    תשובה: A(6 , 0) ; המעגל (x − 6)² + (y − 10)² = 100

17. שאלה 17 · גיאומטריה אנליטית

    נתון המעגל (x − 6)² + (y − 10)² = 100. הנקודה B היא חיתוך המעגל עם ציר ה-y, כאשר y_B > 10. מצאו את שיעורי B ואת משוואת המשיק למעגל ב-B.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. B על ציר ה-y: x = 0
    2. 36 + (y − 10)² = 100 → (y − 10)² = 64
    3. y = 18 או y = 2, ולפי התנאי y > 10 נבחר B(0 , 18)
    4. שיפוע הרדיוס BM: (18 − 10)/(0 − 6) = −8/6 = −4/3
    5. המשיק מאונך לרדיוס, ולכן שיפועו 3/4
    6. y − 18 = (3/4)(x − 0) → y = (3/4)x + 18

    תשובה: B(0 , 18) ; המשיק y = (3/4)x + 18

18. שאלה 18 · גיאומטריה אנליטית

    נתון מעגל שמרכזו M(6,10), הנקודות A(6,0) ו-B(0,18) עליו, והזווית BCA היא 90°. הוכיחו כי AB חוצה את הזווית CAM.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. BC מאונך ל-AC (נתון) וגם BC מאונך ל-BM (משיק מאונך לרדיוס)
    2. שני ישרים המאונכים לישר שלישי מקבילים זה לזה, ולכן AC מקביל ל-MB
    3. ∠MBA = ∠BAC כזוויות מתחלפות בין מקבילים
    4. MB = MA = 10 (שניהם רדיוסים)
    5. לכן המשולש MBA שווה שוקיים ו-∠MBA = ∠MAB
    6. מכלל המעבר: ∠MAB = ∠BAC
    7. כלומר AB חוצה את הזווית CAM

    תשובה: ההוכחה מתבססת על מקבילות ועל משולש שווה שוקיים

19. שאלה 19 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = 2x/(x² − a), והגרף שלה עובר בנקודה (3 , 1.2). מצאו את a ואת תחום ההגדרה של הפונקציה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נציב את שיעורי הנקודה: 2·3/(9 − a) = 1.2
    2. 6 = 1.2(9 − a)
    3. 5 = 9 − a → a = 4
    4. הפונקציה: f(x) = 2x/(x² − 4)
    5. המכנה שונה מאפס: x² ≠ 4 → x ≠ ±2

    תשובה: a = 4 ; תחום ההגדרה x ≠ ±2

20. שאלה 20 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = 2x/(x² − 4). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים, והראו כי הפונקציה אי-זוגית.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. x = ±2 מאפסים את המכנה ולא את המונה, ולכן שתי אסימפטוטות אנכיות
    2. חזקת המונה (1) קטנה מחזקת המכנה (2), ולכן y = 0 אסימפטוטה אופקית
    3. f(−x) = 2(−x)/((−x)² − 4) = −2x/(x² − 4) = −f(x)
    4. לכן הפונקציה אי-זוגית והגרף סימטרי לראשית הצירים

    תשובה: אסימפטוטות x = 2 , x = −2 ו-y = 0 ; הפונקציה אי-זוגית

21. שאלה 21 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = 2x/(x² − 4) בתחום x ≠ ±2. מצאו את תחומי העלייה והירידה שלה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נגזור לפי כלל המנה
    2. f'(x) = [2(x² − 4) − 2x · 2x] / (x² − 4)²
    3. המונה: 2x² − 8 − 4x² = −2x² − 8
    4. f'(x) = (−2x² − 8)/(x² − 4)²
    5. המונה שלילי לכל x, והמכנה בריבוע ולכן חיובי
    6. f'(x) < 0 בכל תחום ההגדרה ← הפונקציה יורדת תמיד
    7. אין נקודות קיצון

    תשובה: יורדת בכל תחום ההגדרה, ואינה עולה כלל

22. שאלה 22 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = 6x·(√x − m), כאשר m > 0 פרמטר. נתון כי לפונקציה יש נקודת קיצון פנימית ב-x = 4. מצאו את m ואת נקודות החיתוך עם הצירים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. תחום ההגדרה: x ≥ 0 בשל השורש
    2. נגזור לפי כלל המכפלה: f'(x) = 6(√x − m) + 6x·(1/(2√x))
    3. 6x/(2√x) = 3√x
    4. f'(x) = 6√x − 6m + 3√x = 9√x − 6m
    5. נציב x = 4: 9·2 − 6m = 0 → 18 = 6m → m = 3
    6. הפונקציה: f(x) = 6x(√x − 3)
    7. חיתוך עם הצירים: 6x = 0 → x = 0, או √x = 3 → x = 9
    8. הנקודות: (0 , 0) ו-(9 , 0)

    תשובה: m = 3 ; חיתוך ב-(0 , 0) וב-(9 , 0)

23. שאלה 23 · חשבון דיפרנציאלי

    הפרבולה f(x) = −x² + 16x חותכת את ציר ה-x, והישר y = 4x עובר בראשית. הנקודה A(t , −t² + 16t) על הפרבולה והנקודה B(t , 4t) על הישר, כאשר AB מקביל לציר ה-y. מצאו עבור איזה t שטח המקבילית ABOC מקסימלי.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. AB = (−t² + 16t) − 4t = −t² + 12t
    2. הגובה ל-AB (מקביל לציר ה-x) הוא t
    3. S(t) = AB · t = (−t² + 12t)·t = −t³ + 12t²
    4. S'(t) = −3t² + 24t
    5. נשווה לאפס: −3t(t − 8) = 0
    6. t = 0 (נפסל) או t = 8
    7. S'(7) = −147 + 168 > 0 ו-S'(9) = −243 + 216 < 0 ← מקסימום
    8. t = 8

    תשובה: t = 8