מורה מתמטיקה AI
דילוג לתוכן הראשי

שאלון 35471 — קיץ מועד ב׳ 2026

18 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

לתרגל מבחן מלא בזמן אמתלשאול את נועה על שאלה

  1. שאלה 1 · סטטיסטיקה

    במחקר ארצי נמצא שמספר הצעדים היומי מתפלג נורמלית עם סטיית תקן 800, ו-37.5% מן המשתתפים הולכים פחות מ-6,944 צעדים ביום. מצאו את הממוצע ואת אחוז המשתתפים שהולכים יותר מ-8,400 צעדים ביום.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב
    1. Φ(z) = 0.375 → z ≈ −0.32
    2. 6,944 = μ − 0.32·800 → μ = 7,200
    3. z(8,400) = (8,400 − 7,200)/800 = 1.5
    4. P(X > 8,400) = 1 − Φ(1.5) = 1 − 0.9332 = 0.0668

    תשובה: ממוצע 7,200; ≈ 6.68%

  2. שאלה 2 · סטטיסטיקה

    במחקר ארצי נמצא שמספר הצעדים היומי מתפלג נורמלית עם סטיית תקן 800, ו-37.5% מן המשתתפים הולכים פחות מ-6,944 צעדים ביום. ממוצע הצעדים 7,200. 14,722 משתתפים הולכים בין 7,200 ל-8,400 צעדים. כמה משתתפים היו במחקר? בנוסף, שעות השינה מתפלגות נורמלית עם ממוצע 7. לשרית 8,416 צעדים ו-9.28 שעות שינה, וציוני התקן שלה זהים — מצאו את סטיית התקן של שעות השינה.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב
    1. P(7,200 < X < 8,400) = Φ(1.5) − 0.5 = 0.4332
    2. N = 14,722/0.4332 ≈ 33,985 ≈ 34,000
    3. z של הצעדים: (8,416 − 7,200)/800 = 1.52
    4. (9.28 − 7)/σ = 1.52 → σ = 2.28/1.52 = 1.5

    תשובה: ≈ 34,000 משתתפים (33,985); סטיית תקן 1.5 שעות

  3. שאלה 3 · סטטיסטיקה

    חוקר בדק ב-6 ערים את הקשר בין השטח הירוק לנפש (x, במ"ר) ובין רמת זיהום האוויר (y). ממוצע x הוא 15 וממוצע y הוא 30, ומשוואת ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x היא y = −1.8x + b. מצאו את b ואת הניבוי לרמת הזיהום בעיר שהשטח הירוק בה 18 מ"ר לנפש.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב
    1. ישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים (15, 30)
    2. 30 = −1.8·15 + b → b = 57
    3. y(18) = −1.8·18 + 57 = 24.6

    תשובה: b = 57; ניבוי 24.6

  4. שאלה 4 · סטטיסטיקה

    חוקר בדק ב-6 ערים את הקשר בין השטח הירוק לנפש (x, במ"ר) ובין רמת זיהום האוויר (y). ממוצע x הוא 15 וממוצע y הוא 30, ומשוואת ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x היא y = −1.8x + b. b = 57, סטיית התקן של x היא 5√15/3 ≈ 6.455, וסטיית התקן של y היא √(500/3). מצאו את r. אחר כך התגלה שרמת הזיהום בכל עיר גבוהה ב-4 ממה שנמדד — האם השיפוע השתנה? כתבו את ישר הרגרסיה החדש.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב
    1. שיפוע = r·S_y/S_x → r = −1.8·S_x/S_y
    2. r = −1.8·6.455/12.91 = −0.9
    3. הוספת 4 לכל y לא משנה את הפיזור — השיפוע נשאר −1.8
    4. ȳ החדש 34: 34 = −1.8·15 + b → b = 61

    תשובה: r = −0.9; השיפוע לא השתנה; y = −1.8x + 61

  5. שאלה 5 · הסתברות

    במפעל מחשבים, 80% מהמחשבים נמצאים תקינים בבדיקה הראשונה. מחשב שנמצא תקין בבדיקה הראשונה יימצא תקין בשנייה בהסתברות 0.9, ומחשב שלא נמצא תקין בראשונה — בהסתברות 0.35. מהי ההסתברות שמחשב נמצא תקין בדיוק באחת הבדיקות? ולפחות באחת?

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב
    1. בדיוק אחת: 0.8·0.1 + 0.2·0.35 = 0.08 + 0.07 = 0.15
    2. אף אחת: 0.2·0.65 = 0.13
    3. לפחות אחת: 1 − 0.13 = 0.87

    תשובה: 0.15; 0.87

  6. שאלה 6 · הסתברות

    במפעל מחשבים, 80% מהמחשבים נמצאים תקינים בבדיקה הראשונה. מחשב שנמצא תקין בבדיקה הראשונה יימצא תקין בשנייה בהסתברות 0.9, ומחשב שלא נמצא תקין בראשונה — בהסתברות 0.35. רק מחשב שתקין בשתי הבדיקות עובר למכירה. ידוע שמחשב נמצא תקין לפחות באחת — מה ההסתברות שעבר למכירה? ואם יוצרו 250 מחשבים, כמה עברו למכירה?

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב
    1. P(שתיהן) = 0.8·0.9 = 0.72
    2. P(שתיהן | לפחות אחת) = 0.72/0.87 = 72/87
    3. 250·0.72 = 180

    תשובה: 72/87 ≈ 0.828; 180 מחשבים

  7. שאלה 7 · הסתברות

    במפעל מחשבים, 80% מהמחשבים נמצאים תקינים בבדיקה הראשונה. מחשב שנמצא תקין בבדיקה הראשונה יימצא תקין בשנייה בהסתברות 0.9, ומחשב שלא נמצא תקין בראשונה — בהסתברות 0.35. מתוך 250 מחשבים, 180 עברו למכירה. בוחרים שני מחשבים ללא החזרה. מהי ההסתברות שבדיוק אחד מהם עבר למכירה?

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב
    1. שני סדרים: (נמכר, לא) או (לא, נמכר)
    2. 2·(180/250)·(70/249) = 25,200/62,250
    3. = 168/415 ≈ 0.4048

    תשובה: 168/415 ≈ 0.4048

  8. שאלה 8 · גיאומטריה אנליטית

    מרכז מעגל M על ציר ה-x, והנקודה A(−16, 6) על המעגל. המשך הקטע MA חותך את ציר ה-y בנקודה B(0, 18). מצאו את משוואת AB ואת משוואת המעגל. דרך A מעבירים משיק למעגל, החותך את ציר ה-y ב-D — מצאו את D.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב
    1. m_AB = (18 − 6)/(0 + 16) = 0.75 → y = 0.75x + 18
    2. M על ציר ה-x: 0 = 0.75x + 18 → M(−24, 0)
    3. R² = 8² + 6² = 100 → (x + 24)² + y² = 100
    4. המשיק ⊥ MA: שיפוע −4/3 → y − 6 = −4/3(x + 16)
    5. x = 0: y = 6 − 64/3 = −46/3

    תשובה: AB: y = 0.75x + 18; (x + 24)² + y² = 100; D(0, −46/3)

  9. שאלה 9 · גיאומטריה אנליטית

    מרכז מעגל M על ציר ה-x, והנקודה A(−16, 6) על המעגל. המשך הקטע MA חותך את ציר ה-y בנקודה B(0, 18). M(−24, 0), רדיוס 10, D(0, −46/3) על המשיק דרך A. AC קוטר במעגל. הראו ש-CD = BD, ומצאו את הזווית ABD.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב
    1. C = 2M − A = (−32, −6)
    2. BD = 18 + 46/3 = 100/3
    3. CD = √(32² + (28/3)²) = √(10,000/9) = 100/3
    4. BA = (−16, −12), BD כלפי מטה (0, −1): cos∢ABD = 12/20 = 0.6
    5. ∢ABD ≈ 53.13°

    תשובה: CD = BD = 100/3; ∢ABD ≈ 53.13°

  10. שאלה 10 · גיאומטריה אנליטית

    ABCD טרפז ישר זווית (AD ∥ BC, ∢ABC = 90°). A(0, 4), אורך AB הוא 5, והקודקוד B על החלק השלילי של ציר ה-x. מצאו את B, את משוואת BC, ואת אורך BC אם משוואת האלכסון AC היא y = −x/3 + 4.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב
    1. OB² = 5² − 4² = 9 → B(−3, 0)
    2. m_AB = 4/3, BC ⊥ AB → m_BC = −3/4
    3. BC: y = −0.75(x + 3)
    4. חיתוך עם AC: −x/3 + 4 = −0.75x − 2.25 → x = −15, y = 9 → C(−15, 9)
    5. BC = √(12² + 9²) = 15

    תשובה: B(−3, 0); BC: y = −0.75x − 2.25; BC = 15

  11. שאלה 11 · גיאומטריה

    ABCD טרפז ישר זווית (AD ∥ BC, ∢ABC = 90°). A(0, 4), אורך AB הוא 5, והקודקוד B על החלק השלילי של ציר ה-x. BC = 15, M נקודת החיתוך של האלכסונים, ו-AD = 3. הוכיחו שהמשולשים BMC ו-DMA דומים, ומצאו פי כמה גדול שטח BMC משטח DMA.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב
    1. ∢BMC = ∢DMA (קודקודיות)
    2. ∢MBC = ∢MDA (מתחלפות, AD ∥ BC)
    3. יחס הדמיון: BC/AD = 15/3 = 5
    4. יחס השטחים: 5² = 25

    תשובה: דומים (ז.ז); פי 25

  12. שאלה 12 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = ((a + 4)x² − 9a)/(x² − 9), כאשר a פרמטר. מצאו את תחום ההגדרה, הוכיחו שהפונקצייה זוגית, ומצאו את a אם הגרף חותך את ציר ה-x ב-x = √3.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב
    1. x² − 9 ≠ 0 → x ≠ ±3
    2. x מופיע רק בריבוע: f(−x) = f(x)
    3. f(√3) = 0 → 3(a + 4) − 9a = 0 → 12 = 6a → a = 2

    תשובה: x ≠ ±3; f(−x) = f(x); a = 2

  13. שאלה 13 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = ((a + 4)x² − 9a)/(x² − 9), כאשר a פרמטר. a = 2, כלומר f(x) = (6x² − 18)/(x² − 9). מצאו נקודות חיתוך עם הצירים, נקודת קיצון, תחומי עלייה וירידה ואסימפטוטות.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב
    1. f(x) = 6 + 36/(x² − 9)
    2. חיתוכים: 6x² = 18 → x = ±√3; f(0) = 2
    3. f′(x) = −72x/(x² − 9)²
    4. f′ > 0 כש-x < 0, f′ < 0 כש-x > 0 → מקסימום ב-(0, 2)
    5. אסימפטוטות: x = ±3, y = 6

    תשובה: (±√3, 0), (0, 2); מקסימום (0, 2); עולה ב-x < −3 ו-−3 < x < 0, יורדת ב-0 < x < 3 ו-x > 3; x = ±3, y = 6

  14. שאלה 14 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = ((a + 4)x² − 9a)/(x² − 9), כאשר a פרמטר. a = 2, ו-g(x) = f(x − 7). מצאו את האסימפטוטות של g. האם g זוגית?

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב
    1. הזזה ימינה ב-7: x = −3 + 7 = 4, x = 3 + 7 = 10
    2. האסימפטוטה האופקית לא משתנה: y = 6
    3. האסימפטוטות האנכיות לא סימטריות סביב ציר ה-y — g אינה זוגית

    תשובה: x = 4, x = 10, y = 6; לא זוגית

  15. שאלה 15 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = 2x − 4√(5x − 16). מצאו את תחום ההגדרה, את נקודות החיתוך עם ציר ה-x ואת נקודות הקיצון.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב
    1. 5x − 16 ≥ 0 → x ≥ 3.2
    2. f = 0: x = 2√(5x − 16) → x² = 20x − 64 → x = 4 או 16 (שניהם מקיימים)
    3. f′(x) = 2 − 10/√(5x − 16) = 0 → √(5x − 16) = 5 → x = 8.2
    4. f(8.2) = 16.4 − 20 = −3.6 — מינימום
    5. f(3.2) = 6.4 — מקסימום קצה

    תשובה: x ≥ 3.2; (4, 0), (16, 0); מקסימום קצה (3.2, 6.4), מינימום (8.2, −3.6)

  16. שאלה 16 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = 2x − 4√(5x − 16). חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הנגזרת f′(x), ציר ה-x והישרים x = 4 ו-x = 13. (f(4) = 0, f(8.2) = −3.6, f(13) = −2.)

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב
    1. f′ < 0 ב-4 < x < 8.2 ו-f′ > 0 ב-8.2 < x < 13
    2. השטח = |f(8.2) − f(4)| + |f(13) − f(8.2)|
    3. = 3.6 + 1.6 = 5.2

    תשובה: 5.2

  17. שאלה 17 · חשבון דיפרנציאלי

    מתחם ציבורי: מבואה מלבנית ABCD, שביל מלבני BEFC וגן פסלים ריבועי EGHK; A, B, E, G על ישר אחד, AG = 8 מטרים, EG = 2·AB, ונסמן AB = x. שטח המבואה 1 מ"ר. הביעו באמצעות x את BE, את AD ואת השטח הכולל של המתחם.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב
    1. AG = AB + BE + EG = x + BE + 2x = 8 → BE = 8 − 3x
    2. x·AD = 1 → AD = 1/x
    3. S = 1 + (8 − 3x)·(1/x) + (2x)²
    4. S = 4x² + 8/x − 2

    תשובה: BE = 8 − 3x; AD = 1/x; S = 4x² + 8/x − 2

  18. שאלה 18 · חשבון דיפרנציאלי

    מתחם ציבורי: מבואה מלבנית ABCD, שביל מלבני BEFC וגן פסלים ריבועי EGHK; A, B, E, G על ישר אחד, AG = 8 מטרים, EG = 2·AB, ונסמן AB = x. שטח המבואה 1 מ"ר. השטח הכולל הוא S(x) = 4x² + 8/x − 2. מצאו את x שבעבורו השטח מינימלי. האם ייתכן ששטח המתחם 9 מ"ר?

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב
    1. S′(x) = 8x − 8/x² = 0 → x³ = 1 → x = 1
    2. S″ > 0 — מינימום
    3. S(1) = 4 + 8 − 2 = 10
    4. 10 > 9 — לא ייתכן

    תשובה: x = 1; לא — השטח המינימלי 10

מועדים נוספים בשאלון 35471

וואטסאפ