שאלון 35472 — קיץ מועד ב׳ 2022

11 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · וקטורים

   בפירמידה משולשת ABCD הפאות ABD ו-ACD הן משולשים שווי צלעות. מסמנים u = AB, v = AC, w = AD, ונתון |u| = |v| = |w| = 6 והזווית BAC היא 45°. חשבו את המכפלות הסקלריות u·v, u·w ו-v·w.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מכפלה סקלרית: a·b = |a|·|b|·cos(הזווית ביניהם)
   2. u·v: הזווית BAC נתונה 45°
   3. u·v = 6 · 6 · cos45° = 36 · 0.7071 = 18√2 ≈ 25.46
   4. הפאה ABD היא משולש שווה צלעות, ולכן הזווית BAD היא 60°
   5. u·w = 6 · 6 · cos60° = 36 · 0.5 = 18
   6. הפאה ACD גם היא שווה צלעות, ולכן הזווית CAD היא 60°
   7. v·w = 6 · 6 · cos60° = 18

   תשובה: u·v = 18√2 ≈ 25.46, ו-u·w = v·w = 18

2. שאלה 2 · וקטורים

   בפירמידה ABCD מסמנים u = AB, v = AC, w = AD. הנקודה E היא אמצע המקצוע CD, והנקודה F על BD מחלקת אותו ביחס BF : FD = 1 : 2. הביעו באמצעות u, v ו-w את הווקטורים CD, BD, AE ו-AF.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. CD = AD − AC = w − v
   2. BD = AD − AB = w − u
   3. E אמצע CD, ולכן AE = AC + ½·CD
   4. AE = v + ½(w − v) = ½v + ½w = (v + w)/2
   5. F מחלקת את BD ביחס 1:2, ולכן BF = ⅓·BD
   6. AF = AB + ⅓·BD = u + ⅓(w − u)
   7. = ⅔u + ⅓w = (2u + w)/3

   תשובה: CD = w − v, BD = w − u, AE = (v + w)/2, AF = (2u + w)/3

3. שאלה 3 · וקטורים

   בפירמידה ABCD נתון |u| = |v| = |w| = 6, u·v = 18√2 ו-u·w = v·w = 18, כאשר CD = w − v ו-AE = (v + w)/2. הוכיחו כי CD מאונך ל-AE.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נחשב את המכפלה הסקלרית CD · AE
   2. = (w − v) · (v + w)/2
   3. = ½(w·v + w·w − v·v − v·w)
   4. w·v ו-v·w שווים ומצטמצמים
   5. = ½(|w|² − |v|²)
   6. = ½(36 − 36) = 0
   7. מכפלה סקלרית מתאפסת בין וקטורים שאינם אפס, ולכן CD מאונך ל-AE

   תשובה: המכפלה הסקלרית מתאפסת, ולכן CD ⊥ AE

4. שאלה 4 · סטטיסטיקה

   מנהל חברה בדק את הקשר בין ההוצאה על פרסום (X) ובין ההכנסות ממכירות בחודש שלאחר מכן (Y), באלפי שקלים. הנתונים: X = 9, 10, 13, 24, 28, 48 ו-Y = 180, 200, 300, 450, 400, 510. נתונים ארבעה מקדמי מתאם: −0.7, −0.9, 1, 0.9. קבעו איזה מהם מתאים לנתונים ונמקו.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. ככל שההוצאה על פרסום גדלה, ההכנסות נוטות לגדול — מגמה עולה
   2. מגמה עולה פירושה r חיובי, וזה פוסל את −0.7 ואת −0.9
   3. הקשר אינו לינארי מושלם: בהוצאה 28 ההכנסה ירדה ל-400 לעומת 450 בהוצאה 24
   4. לכן r אינו 1 בדיוק
   5. נותר r = 0.9

   תשובה: r = 0.9

5. שאלה 5 · סטטיסטיקה

   בנתוני הפרסום וההכנסות: ממוצע ההוצאות 22 וסטיית התקן 13.6, ממוצע ההכנסות 340 וסטיית התקן 123.4, ומקדם המתאם 0.9 (הכול באלפי שקלים). מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי ההכנסות כתלות בהוצאה על פרסום.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שיפוע ישר הרגרסיה: a = r · S_y/S_x
   2. a = 0.9 · 123.4 / 13.6 ≈ 8.17
   3. הישר עובר בנקודת הממוצעים (22 , 340)
   4. 340 = 8.17 · 22 + b
   5. b = 340 − 179.7 ≈ 160.3
   6. y = 8.17x + 160.3

   תשובה: y ≈ 8.17x + 160.3

6. שאלה 6 · סטטיסטיקה

   משוואת ישר הרגרסיה לניבוי ההכנסות (באלפי שקלים) כתלות בהוצאה על פרסום היא y ≈ 8.17x + 160.3. מהי ההערכה להכנסות ממכירות בעבור הוצאה של 19,000 שקלים לחודש על פרסום?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. הנתונים באלפי שקלים, ולכן 19,000 שקלים הם x = 19
   2. y = 8.17 · 19 + 160.3
   3. = 155.2 + 160.3
   4. ≈ 315.5 אלפי שקלים, כלומר כ-315,500 שקלים

   תשובה: כ-315 אלפי שקלים

7. שאלה 7 · סטטיסטיקה

   החברה המירה את ההוצאות וההכנסות משקלים לדולרים, ולכן כל המספרים בטבלה קטנו בערך פי 3. מה ההשפעה על כל אחד מן הגדלים: (1) ממוצע ההוצאות X, (2) סטיית התקן S_x, (3) מקדם המתאם r? נמקו.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. הכפלת כל הנתונים בקבוע ⅓ מכפילה גם את הממוצע באותו קבוע
   2. לכן הממוצע קטן פי 3, כלומר מ-22 לכ-7.33
   3. גם סטיית התקן מוכפלת בקבוע (בערכו המוחלט), ולכן היא קטנה פי 3, מ-13.6 לכ-4.53
   4. מקדם המתאם הוא גודל חסר יחידות המודד את חוזק הקשר הלינארי
   5. שינוי יחידות אינו משנה את מידת הצמידות של הנקודות לישר
   6. לכן r נשאר 0.9

   תשובה: הממוצע קטן פי 3, סטיית התקן קטנה פי 3, ומקדם המתאם לא משתנה

8. שאלה 8 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = x²/eˣ. מצאו את תחום ההגדרה שלה ואת שיעורי נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-x.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. המכנה eˣ חיובי לכל x ואינו מתאפס לעולם
   2. לכן תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים
   3. חיתוך עם ציר ה-x: נדרש f(x) = 0
   4. שבר מתאפס כשהמונה מתאפס: x² = 0
   5. x = 0, ולכן נקודת החיתוך היא (0 , 0)

   תשובה: תחום ההגדרה הוא כל x, ונקודת החיתוך היא (0 , 0)

9. שאלה 9 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = x²/eˣ. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון שלה וקבעו את סוגן.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נגזור לפי כלל המנה: f′(x) = [2x·eˣ − x²·eˣ]/(eˣ)²
   2. נוציא גורם משותף eˣ במונה ונצמצם
   3. f′(x) = (2x − x²)/eˣ = x(2 − x)/eˣ
   4. eˣ > 0 תמיד, ולכן הסימן נקבע על ידי x(2 − x)
   5. f′(x) = 0 כאשר x = 0 או x = 2
   6. לפני 0 הנגזרת שלילית ואחריה חיובית, ולכן (0 , 0) מינימום
   7. לפני 2 הנגזרת חיובית ואחריה שלילית, ולכן (2 , 4/e²) מקסימום

   תשובה: מינימום ב-(0 , 0) ומקסימום ב-(2 , 4/e²) ≈ (2 , 0.541)

10. שאלה 10 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = x²/eˣ שנקודות הקיצון שלה הן (0 , 0) מינימום ו-(2 , 4/e²) מקסימום. מצאו את תחומי העלייה והירידה שלה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הנגזרת היא f′(x) = x(2 − x)/eˣ, וסימנה נקבע על ידי x(2 − x)
    2. עבור x < 0: הגורם x שלילי ו-(2−x) חיובי, ולכן המכפלה שלילית — הפונקצייה יורדת
    3. עבור 0 < x < 2: שני הגורמים חיוביים, ולכן המכפלה חיובית — הפונקצייה עולה
    4. עבור x > 2: הגורם x חיובי ו-(2−x) שלילי, ולכן המכפלה שלילית — הפונקצייה יורדת

    תשובה: יורדת ב-x < 0 ו-x > 2, עולה ב-0 < x < 2

11. שאלה 11 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = x²/eˣ, ונתונה g(x) = −2·f(x) לכל x. נסמן ב-S את השטח המוגבל על ידי גרף f, ציר ה-x והישר x = 3. הביעו באמצעות S את השטח המוגבל על ידי גרף f, גרף g והישר x = 3. נמקו.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. f(x) ≥ 0 בכל תחומה (מונה x² אי-שלילי ומכנה חיובי), ולכן גרף f מעל ציר ה-x
    2. g(x) = −2f(x), ולכן גרף g מתחת לציר ה-x
    3. השטח בין גרף g לציר ה-x גדול פי 2 מן השטח שבין f לציר, כלומר 2S
    4. שני הגרפים נפגשים רק היכן ש-f(x) = 0, כלומר בנקודה x = 0
    5. השטח בין שני הגרפים הוא סכום שני השטחים: S + 2S
    6. = 3S

    תשובה: 3S