שאלון 35571 — קיץ מועד ב׳ 2022

22 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · סדרות

   הוכיחו באינדוקציה מתמטית כי לכל n טבעי מתקיים 1² + 2² + 3² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שלב הבדיקה: עבור n = 1 אגף שמאל הוא 1² = 1
   2. אגף ימין: 1 · 2 · 3/6 = 1 ✓
   3. הנחת האינדוקציה: הסכום עד n = k שווה k(k+1)(2k+1)/6
   4. שלב הצעד: נוסיף (k+1)²
   5. k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)²
   6. מכנה משותף: [k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)²]/6
   7. נוציא (k+1): (k+1)[k(2k+1) + 6(k+1)]/6
   8. = (k+1)(2k² + 7k + 6)/6
   9. נפרק: 2k² + 7k + 6 = (2k+3)(k+2)
   10. = (k+1)(k+2)(2k+3)/6, וזהו אגף ימין עבור n = k+1

   תשובה: הטענה נכונה לכל n טבעי

2. שאלה 2 · גיאומטריה

   במשולש ABC הגבהים AD, BE ו-CF נחתכים בנקודה O. הוכיחו כי אפשר לחסום במעגל כל אחד מן המרובעים AEOF, BDOF ו-CDOE.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. כל גובה יוצר זווית של 90° עם הצלע שאליה הוא מאונך
   2. במרובע AEOF: הזווית ב-E ישרה (הגובה BE) והזווית ב-F ישרה (הגובה CF)
   3. סכומן: 90° + 90° = 180°
   4. מרובע שסכום זוויותיו הנגדיות 180° הוא בר-חסימה במעגל
   5. אותו נימוק חל על BDOF ועל CDOE

   תשובה: בכל מרובע סכום זוויות נגדיות הוא 180°

3. שאלה 3 · גיאומטריה

   במשולש ABC הגבהים נחתכים ב-O, וסכום המרחקים של O משלושת הקודקודים הוא 20. מצאו את סכום היקפי שלושת המעגלים החוסמים את המרובעים AEOF, BDOF ו-CDOE.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. בכל מרובע יש זווית היקפית ישרה, ולכן המיתר שמולה הוא קוטר
   2. במעגל החוסם את CDOE הקוטר הוא OC, וכך גם OB ו-OA בשניים האחרים
   3. היקף מעגל: L = π · קוטר
   4. סכום ההיקפים: π·OA + π·OB + π·OC
   5. = π(OA + OB + OC)
   6. = π · 20 = 20π

   תשובה: 20π

4. שאלה 4 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקציה f(x) = 3 + x/√(x² − 25). מצאו את תחום ההגדרה שלה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. השורש נמצא במכנה, ולכן הביטוי בתוכו חייב להיות חיובי ממש
   2. x² − 25 > 0
   3. (x − 5)(x + 5) > 0
   4. פרבולה עם מינימום, חיובית מחוץ לשורשיה
   5. x > 5 או x < −5

   תשובה: x > 5 או x < −5

5. שאלה 5 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה f(x) = 3 + x/√(x² − 25) בתחום x > 5 או x < −5. מצאו את ארבע האסימפטוטות המקבילות לצירים, וחשבו את השטח הכלוא ביניהן.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. x = ±5 מאפסים את המכנה ולא את המונה ← שתי אסימפטוטות אנכיות
   2. כאשר x ← +∞: √(x² − 25) מתנהג כמו x, ולכן השבר שואף ל-1
   3. f(x) ← 3 + 1 = 4 ← אסימפטוטה y = 4 מימין
   4. כאשר x ← −∞: השורש מתנהג כמו |x| = −x, ולכן השבר שואף ל-−1
   5. f(x) ← 3 − 1 = 2 ← אסימפטוטה y = 2 משמאל
   6. השטח: רוחב 5 − (−5) = 10, גובה 4 − 2 = 2
   7. S = 10 · 2 = 20

   תשובה: x = 5, x = −5, y = 4, y = 2 ; השטח 20

6. שאלה 6 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה f(x) = a·x/(x² − 4), כאשר a פרמטר, בתחום x ≠ ±2. הראו כי הפונקציה אי-זוגית, וקבעו את תחומי החיוביות שלה עבור a > 0.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. f(−x) = a(−x)/((−x)² − 4) = −ax/(x² − 4) = −f(x)
   2. לכן הפונקציה אי-זוגית והגרף סימטרי לראשית
   3. עבור a > 0 סימן הפונקציה נקבע מהמנה x/(x² − 4)
   4. x > 2: המונה חיובי והמכנה חיובי ← חיובית
   5. 0 < x < 2: המונה חיובי והמכנה שלילי ← שלילית
   6. −2 < x < 0: המונה שלילי והמכנה שלילי ← חיובית
   7. x < −2: המונה שלילי והמכנה חיובי ← שלילית

   תשובה: אי-זוגית ; חיובית עבור −2 < x < 0 ועבור x > 2

7. שאלה 7 · סדרות

   נתונה סדרה הנדסית אין-סופית A שמנתה q. הוכיחו כי לכל n טבעי מתקיים aₙ² = a₍ₙ₋₁₎ · a₍ₙ₊₁₎.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. aₙ = a₁·q^(n−1), ולכן aₙ² = a₁²·q^(2n−2)
   2. a₍ₙ₋₁₎ = a₁·q^(n−2)
   3. a₍ₙ₊₁₎ = a₁·q^n
   4. מכפלתם: a₁²·q^(n−2) · q^n = a₁²·q^(2n−2)
   5. שני האגפים שווים ← השוויון מתקיים

   תשובה: השוויון מתקיים

8. שאלה 8 · סדרות

   בסדרה הנדסית של 2k איברים, מכפלת שני האיברים האמצעיים היא 10,935·a₁, ונתון a₍₂ₖ₋₂₎ = 1,215. מצאו את המנה q.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שני האיברים האמצעיים בסדרה בת 2k איברים הם a_k ו-a₍ₖ₊₁₎
   2. לפי הסעיף הקודם, מכפלתם שווה ל-a₁·a₍₂ₖ₎
   3. a₁·a₍₂ₖ₎ = 10,935·a₁ → a₍₂ₖ₎ = 10,935
   4. a₁·q^(2k−1) = 10,935
   5. a₍₂ₖ₋₂₎ = a₁·q^(2k−3) = 1,215
   6. נחלק את המשוואות: q² = 10,935/1,215 = 9
   7. q = ±3

   תשובה: q = 3 או q = −3

9. שאלה 9 · סדרות

   בסדרה הנדסית נתון a₁ = 5, וכן a₍₂ₖ₋₂₎ = 1,215 שהוא איבר במקום זוגי. המנה היא 3 או ‎−3. קבעו את המנה ונמקו, וקבעו אם הסדרה עולה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. a₍₂ₖ₋₂₎ = 1,215 חיובי, והוא איבר במקום זוגי
   2. אם q = −3, כל האיברים במקומות הזוגיים היו שליליים
   3. לכן q = 3
   4. a₁ = 5 > 0 והמנה 3 > 1
   5. סדרה הנדסית עם איבר ראשון חיובי ומנה גדולה מ-1 היא עולה

   תשובה: q = 3, והסדרה עולה

10. שאלה 10 · סדרות

    בסדרה הנדסית a₁ = 5 ו-q = 3, ונתון a₍₂ₖ₋₂₎ = 1,215. מצאו את k.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. a₍₂ₖ₋₂₎ = a₁·q^(2k−3) = 1,215
    2. 5 · 3^(2k−3) = 1,215
    3. 3^(2k−3) = 243 = 3⁵
    4. 2k − 3 = 5
    5. 2k = 8 → k = 4

    תשובה: k = 4

11. שאלה 11 · סדרות

    מן הסדרה ההנדסית A (a₁ = 5, q = 3) בונים סדרה B שאיברה הכללי הוא bₙ = 1/aₙ. הוכיחו כי B הנדסית ומצאו את מנתה ואת איברה הראשון.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. b₍ₙ₊₁₎/bₙ = (1/a₍ₙ₊₁₎)/(1/aₙ) = aₙ/a₍ₙ₊₁₎
    2. = 1/q = 1/3
    3. היחס קבוע ← B הנדסית
    4. b₁ = 1/a₁ = 1/5
    5. 0 < 1/3 < 1, ולכן הסדרה מתכנסת

    תשובה: B הנדסית, מנתה 1/3 ואיברה הראשון 1/5

12. שאלה 12 · סדרות

    מן הסדרה B (b₁ = 1/5, q = 1/3) בונים סדרה C שבה כל איבר שני מחליף סימן: c₁ = −1/a₁, c₂ = +1/a₂ וכן הלאה. הוכיחו כי C הנדסית וחשבו את סכומה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. החלפת סימן לסירוגין מכפילה את המנה ב-(−1)
    2. מנת C: q = −1/3
    3. c₁ = −1/5
    4. |q| = 1/3 < 1, ולכן הסדרה מתכנסת
    5. S = c₁/(1 − q) = (−1/5)/(1 − (−1/3))
    6. = (−1/5)/(4/3) = −3/20 = −0.15

    תשובה: C הנדסית עם q = −1/3 ; הסכום −3/20 = −0.15

13. שאלה 13 · הסתברות

    בסקר על שליטה באנגלית, נסמן ב-p את ההסתברות לבחור באקראי צעיר ששולט באנגלית. מספר המבוגרים ששולטים גדול פי 3 ממספר הצעירים ששולטים, ומספר המבוגרים שאינם שולטים גדול פי 8 ממספר הצעירים ששולטים. מהי ההסתברות שמבוגר שנבחר באקראי שולט באנגלית?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. צעירים ששולטים: p
    2. מבוגרים ששולטים: 3p
    3. מבוגרים שאינם שולטים: 8p
    4. סך המבוגרים: 3p + 8p = 11p
    5. P(שולט | מבוגר) = P(שולט ∩ מבוגר)/P(מבוגר)
    6. = 3p/11p
    7. = 3/11 ≈ 0.273
    8. אימות: סך השולטים הוא p + 3p = 4p, כפי שנדרש בהמשך

    תשובה: 3/11

14. שאלה 14 · הסתברות

    ההסתברות שמבוגר שולט באנגלית היא 3/11. בוחרים באקראי שלושה מבוגרים. מהי ההסתברות שבדיוק שניים מהם שולטים באנגלית?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. התפלגות בינומית עם n = 3, k = 2, p = 3/11
    2. P = C(3,2)·(3/11)²·(8/11)
    3. = 3 · (9/121) · (8/11)
    4. = 216/1,331 ≈ 0.1623

    תשובה: 216/1,331 ≈ 0.1623

15. שאלה 15 · הסתברות

    בטבלת הסקר: מבוגרים ששולטים p, צעירים ששולטים 3p, מבוגרים שאינם שולטים 8p, וסך כל המשתתפים 1. מצאו את הביטוי להסתברות לבחור צעיר שאינו שולט באנגלית, ואת תחום הערכים האפשרי של p.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. סך התאים הידועים: p + 3p + 8p = 12p
    2. התא החסר: 1 − 12p
    3. כל הסתברות נמצאת בין 0 ל-1
    4. התא הקטן ביותר הוא 1 − 12p
    5. 1 − 12p > 0 → 12p < 1 → p < 1/12
    6. וכן p > 0
    7. התחום: 0 < p < 1/12

    תשובה: 1 − 12p ; והתחום 0 < p < 1/12

16. שאלה 16 · הסתברות

    בטבלת הסקר: מבוגרים שאינם שולטים 8p, צעירים שאינם שולטים 1 − 12p. ידוע שההסתברות לבחור מבוגר מבין מי שאינם שולטים שווה להסתברות לבחור צעיר מביניהם. מצאו את p.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. שתי ההסתברויות המותנות שוות, ולכן שני התאים שווים
    2. 8p = 1 − 12p
    3. 20p = 1
    4. p = 1/20 = 0.05

    תשובה: p = 0.05

17. שאלה 17 · הסתברות

    בטבלת הסקר עם p = 0.05: מבוגרים 11p = 0.55, שולטים באנגלית 4p = 0.2, ומבוגרים ששולטים 3p = 0.15. בדקו אם המאורעות 'לשלוט באנגלית' ו'להיות מבוגר' תלויים זה בזה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. מאורעות בלתי תלויים מקיימים P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
    2. P(מבוגר) = 0.55 ; P(שולט) = 0.2
    3. מכפלתם: 0.55 · 0.2 = 0.11
    4. P(מבוגר ∩ שולט) = 0.15
    5. 0.15 ≠ 0.11
    6. לכן המאורעות תלויים זה בזה

    תשובה: כן, תלויים

18. שאלה 18 · טריגונומטריה

    נתונה הפונקציה f(x) = sin²x − cos²x − 1. הראו כי אפשר לכתוב אותה כ-f(x) = −cos2x − 1, וקבעו אם היא זוגית.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. לפי זהות הזווית הכפולה: cos2x = cos²x − sin²x
    2. לכן sin²x − cos²x = −cos2x
    3. f(x) = −cos2x − 1
    4. f(−x) = −cos(−2x) − 1
    5. cos זוגית, ולכן cos(−2x) = cos2x
    6. f(−x) = f(x) ← הפונקציה זוגית והגרף סימטרי לציר ה-y

    תשובה: f(x) = −cos2x − 1 ; הפונקציה זוגית

19. שאלה 19 · טריגונומטריה

    נתונה f(x) = −cos2x − 1. מצאו את תחום הערכים שלה ואת נקודות הקיצון בתחום ‎−π ≤ x ≤ π.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. ‎−1 ≤ cos2x ≤ 1
    2. ‎−1 ≤ −cos2x ≤ 1
    3. ‎−2 ≤ −cos2x − 1 ≤ 0
    4. המינימום מתקבל כאשר cos2x = 1, כלומר x = 0 (וגם ±π)
    5. f(0) = −1 − 1 = −2
    6. המקסימום כאשר cos2x = −1, כלומר 2x = ±π → x = ±π/2
    7. f(±π/2) = 1 − 1 = 0

    תשובה: תחום הערכים ‎−2 ≤ f(x) ≤ 0 ; מינימום ב-(0,−2) ומקסימום ב-(±π/2 , 0)

20. שאלה 20 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = x³ + 4x². מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה x = t.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. f(t) = t³ + 4t²
    2. f'(x) = 3x² + 8x, ולכן שיפוע המשיק הוא m = 3t² + 8t
    3. y − (t³ + 4t²) = (3t² + 8t)(x − t)
    4. y = (3t² + 8t)x − 3t³ − 8t² + t³ + 4t²
    5. y = (3t² + 8t)x − 2t³ − 4t²

    תשובה: y = (3t² + 8t)x − 2t³ − 4t²

21. שאלה 21 · חשבון דיפרנציאלי

    המשיק לגרף f(x) = x³ + 4x² בנקודה x = t חותך את ציר ה-y בנקודה C. נתון ש-C נמצאת מתחת לציר ה-x ו-t < 0. מצאו את תחום הערכים של t.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. שיעור ה-y של C הוא האיבר החופשי: −2t³ − 4t²
    2. נדרוש שיהיה שלילי: −2t³ − 4t² < 0
    3. נוציא −2t²: −2t²(t + 2) < 0
    4. ‎−2t² שלילי לכל t ≠ 0
    5. לכן נדרש t + 2 > 0, כלומר t > −2
    6. יחד עם t < 0: התחום הוא ‎−2 < t < 0

    תשובה: −2 < t < 0

22. שאלה 22 · חשבון דיפרנציאלי

    המשיק לגרף f(x) = x³ + 4x² בנקודה B(t , t³+4t²) חותך את ציר ה-y בנקודה C(0 , −2t³−4t²). מצאו עבור איזה t שטח המשולש OBC מקסימלי, כאשר O היא הראשית ו-‎−2 < t < 0.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. OC = |−2t³ − 4t²| = 2t³ + 4t² בערך מוחלט
    2. הגובה מ-B אל ציר ה-y הוא |t| = −t
    3. S(t) = ½·(2t³ + 4t²)·(−t) = ½(−2t⁴ − 4t³)
    4. S'(t) = ½(−8t³ − 12t²)
    5. נשווה לאפס: −8t³ − 12t² = 0
    6. −4t²(2t + 3) = 0 → t = −1.5 (t = 0 נפסל)
    7. S''(−1.5) < 0 ← מקסימום

    תשובה: t = −1.5